Определители

[BVR]

Мне тоже кажется, что с ориентацией не надо спешить. Ведь два базиса называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода больше нуля. А насчёт "мы же видим" - я уже попадал. Мне задали вопрос: А если у нас глаз нету?.



А мотивация приходит постепенно. Просто надо в дальнейшем на это внимание обращать. Особенно это получается в геометрии.
А при решении систем, нахождении обратной, проверки на линейную зависимость и т. п. - они почему-то предпочитают манипулировать со строчками...

[Eugene]

Хоть обсуждение уже и утихло, позволю себе высказаться. Нам вводили оперделитель, как индикатор линейной зависимости системы векторов. И хотя вывод выражения для него получается довольно громоздкий, мне кажется это пояснение смысла наиболее наглядным. Можно, к примеру, ввести само понятие любым вышеперечисленным способом, а потом пояснить, зачем оно вообще было нужно - чтобы оперделять, зависима ли система.

[BVR]

Eugene писал(а):

любым вышеперечисленным способом,

Любым не получится. Ведь, если давать, использу подстановки, то ведь сначала надо сказать о подстановках - а это время. Если у математиков, например, есть отдельный предмет типа "Линейная алгебра", то у инженеров просто что-то вроде "Алгебра и геометрия" и т. п.
А "потом пояснить, зачем оно нужно" - это очень неопределённая фраза. Ведь области применения определителей огромны.
Можно ведь вообще сказать: вот, ребята, чтобы найти обратную матрицу, надо проверить, не равна ли нулю вот такая штука. Вот она называется определителем". Ну или " чтобы проверить является ли вон та система векторов линейно зависимой, надо ...." и т. д. Но мы ведь все хотим икакие-то общие вещи рассказать, да ещё и за минимальное время.
По сути мы все здесь ищем ответ на вопрос: чем можно пожертвовать при изложении этой важной темы.

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #232905 писал(а):

у меня сложностей с определением$\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}$ не возникает

+ 1. Тоже всегда предпочитал такой подход.

Кстати, с таким определением формула $\mathrm{det}(A \cdot B) = \mathrm{det}(A) \cdot \mathrm{det}(B)$ легко доказывается не только для матриц над полем, но и для матриц над произвольным коммутативным ассоциативным кольцом.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #242358 писал(а):

terminator-II в сообщении #232905 писал(а):

у меня сложностей с определением$\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}$ не возникает

+ 1. Тоже всегда предпочитал такой подход.

И почему никто не написал, что в формуле ошибка?
P.S. Тоже за явную формулу; возможно, поскольку меня так учили.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #242371 писал(а):

И почему никто не написал, что в формуле ошибка?

А ведь и правда ошибка!!!

Никто не написал, потому что все поверхностно глянули и поняли, что за формула имеется в виду. В детали, как всегда, никто не вчитывался

[terminator-II]

опечатка а не ошибка
написано $\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}$
должно быть $\sum_{\sigma\in S_n}sgn\, \sigma a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}$

[ewert]

Формула замечательная. И я тоже её всегда привожу. Но -- безо всякого вывода, и даже что такое "$\mathop\mathrm{sign}}\sigma$" -- толком не объясняю. Привожу просто по аналогии с формулой для определителя 3-го порядка. Которую, в свою очередь, тоже не вывожу, а выписываю по аналогии со 2-м порядком. А вот для 2-го порядка вывожу уже честно. После чего говорю что-то типа: "и если мы проделаем аналогичные операции для..., то получим...". Ибо, как метко заметил BVR -- катастрофически не хватает времени.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #242933 писал(а):

Формула замечательная. И я тоже её всегда привожу. Но -- безо всякого вывода, и даже что такое "$\mathop\mathrm{sign}}\sigma$" -- толком не объясняю.

А Вы на матфаке лекции читаете или на каком-то другом факультете? Если на матфаке, то приводить подобные вещи без доказательства --- преступление. На физфаке, думаю, тоже. С другими факультетами сложнее...

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #243049 писал(а):

А Вы на матфаке лекции читаете

Нет. На матфаке я бы, разумеется, доказывал. На физфаке -- трудно сказать.

Дело в том, что если исходить из аксиоматического определения, то там только две тяжёлые теоремы: о транспонировании и об определителе произведения. Для которых эта формула и нужна (сама по себе она никому не интересна). Просто же теорем -- много. И гробить полраздела на эти две -- для нематематиков не рационально.

[BVR]

ewert писал(а):

И гробить полраздела на эти две -- для нематематиков не рационально.

+1. Хотя, являются ли математиками студенты специальности "Информационные системы"? Может в прямом смысле и не являются, но математики им требуется много. О чём составители госстандарта для этой специальности вроде как и не догадываются почему-то (тут я больше имею в виду казахстанский стандарт; российский от 2003г. вроде понасыщеннее)