2-ой постулат, мир Минковского и Логунов

[Mark1]

Someone в сообщении #231965 писал(а):

Mark1 в сообщении #231949 писал(а):

И теперь мне не совсем понятна Ваша «физическая» позиция. Вы смирились с этой анизотропией и, тем самым, с необходимостью усечения 2-го постулата, или все же считаете, что изотропия скорости света физический закон (усекать 2-ой постулат нельзя) и тем самым, физически допустимы только метрики, в которых временная координата не смешивается с пространственными, т.е. «необходимо сначала исправлить пространственные базисные векторы так, чтобы они были ортогональны временному»?

Во-первых, выбор системы координат - это вовсе не физический вопрос. Во-вторых, метрика у нас всё время одна, от перехода к другой системе координат метрика не меняется.

Да, лучше было бы сказать, что при переходе к другой системе координат меняется вид (форма) интервала. Но это с Вашей стооны явная предирка, так как Вы , надеюсь, поняли, что я имел в виду. И кроме того, такие обороты речи порой употребляет и Логунов, например, "метрика (12.11) должна перейти в метрику (13.2)" - см. Логунов. Учебник МГУ,2005, стр. 126.
Someone, не уподобляйтесь Мунину. Вы не ответили по существу на мои доводы. Я Вам уже писал, что согласен с Вами, что Выбор системы координат не физический вопрос. Но я также писал, что вопрос разбиения 2-го постулата (если он дествительно с «анизотропией») на физическую часть и математическую – это не математических вопрос. И проблема, которую я поставил состоит в том, какова реальная формулировка 2-го постулата с позиции "физики". Если она включает утверждение «в любой ИСО по величине и всем направлениям», то эти координатные штучки «физически не уместны». Svv вначале считал, что никакой анизотропии в мире Минковского не возникает. Из Ваших объяснений и самостоятельных размышлений он понял, как она формально возникает. Вот я его и спрашиваю: стал ли он на Вашу сторону признания 2-го постулата только в усеченной форме или нет. Если нет, то он должен признать негалилеевы координатные сетки, порождающие анизотропию, физически недопустимыми. Это не мешает Вам ими для чего-то пользоваться, но физические выводы из этого делать будет нельзя.
Я думаю, что Вы прекрасно поняли, о чем я говорю. И я надеюсь, что Вы прокомментируете по существу написанное мною. Повторю вопрос, который я поставил в сообщении #231655":
«Возможны варианты:
1. Признать, что в рамках "УгарСТО" (условное обозначение для теории на базе 2-го постулата с постоянством скорости света во всех ИСО по величине и всем направления) действительно допустимы только формы интервала, в которых время отделено от пространственных компонент (так, кстати, считал Эйнштейн). Это также означает, что ,УгарСТО надо не все математически допустимые преобразования координат, совместимые с псевдоевклидовой геометрией, имеющие математический смысл, имеют физический смысл. И, тем самым, признать, что порочна литература, которая признает исходные постулаты УгарСТО и одновременно утверждает, что за счет выбора координат возможна, имеющая физический смысл анизотропии скорости света.
2. Заявить, что нам математикам без этого геометрического смысла в его полном объеме никак нельзя. Поэтому УгарСТО надо заменить другой теорией, в которой исправить трактовку 2-го постулата (это Ваша точка зрения). Именно другой теорией (!), так как неверно, что «две части 2-го постулата вместе совершенно эквивалентны общепринятой формулировке». Они физически не эквивалентны: физическая суть 2-го постулата другая, а математическая формулировка, будучи не включенной в состав 2-го постулата, дает иные следствия в отношении выбора физически допустимых систем координат».
Вы, как математик, стоите на варианте (2), но почему-то не можете набраться мужества и согласиться с (1) в отношении УгарСТО.

[Munin]

svv в сообщении #231926 писал(а):

Года два-три назад я придумал простое определение "скорости тела относительно системы координат".

Вот что случается, когда вместо изучения учебников люди фигнёй маются. Сплошные изобретения велосипедов. Хорошо если ещё с круглыми колёсами, а то часто с квадратными.

svv в сообщении #231926 писал(а):

Года два-три назад я придумал простое определение "скорости тела относительно системы координат"... Пусть $\mathbf R$ - вектор в точке $O$, касательный к мировой линии (произвольная константа не важна)... Представим $\mathbf R$ в виде суммы $\mathbf T + \mathbf L$, где "временная" часть $\mathbf T$ параллельна $\mathbf e_0$, а "пространственная" часть $\mathbf L$ ортогональна $\mathbf e_0$. Тогда по определению
$\mathbf v = \dfrac {1} {T} \mathbf L,$
где $T = \sqrt {\mathbf T\cdot\mathbf T}$. Абсолютной величиной скорости буду считать $v = \sqrt {-\mathbf v\cdot\mathbf v}$.

В нормальных обозначениях вместо $\mathbf R$ записывают $ku^{\mu}$ - 4-скорость с произвольной константой. Далее очевидно, вместо $\mathbf T$ будет $k\,dx^0,$ вместо $\mathbf L$ - $k\,dx^i,$ (не ортогональная, зато той же ковариантности) и наконец, вместо $\mathbf v$ -
$v^i=\dfrac{k\,dx^i}{k\,dx^0}=\dfrac{dx^i}{dx^0},$
что и называется во всём цивилизованном мире просто-напросто координатной скоростью. Очевидно, в ортогональных координатах она совпадает с просто скоростью, и $v^i=u^i/\gamma,$ $v=\sqrt{v_i v^i}.$

svv в сообщении #231926 писал(а):

Определение корректное.

Не-а. В косоугольных базисах будут проблемы, так как у вас используются величины разной ковариантности. В частности, и ваше любимое условие $v=1$ для света нарушится.

[svv]

Munin писал(а):

В косоугольных базисах будут проблемы, так как у вас используются величины разной ковариантности.

Поясните, пожалуйста, в каком именно месте мои формулы станут некорректными в косоугольном базисе. Что такое ковариантные и контравариантные компоненты, я знаю.

[Munin]

Ну, например, если $0$ ось расположить изотропно, то разложение в два нормальных вектора станет неединственным (и не всегда возможным).

[svv]

Но это уже не такое страшное обвинение, как приравнивание величин разной ковариантности, или что-то вроде этого, что вы имели в виду! Хорошо, будем считать, что базисный вектор $\mathbf e_0$ времениподобный. Я так и считал Еще грубые ошибки есть?

[Munin]

svv в сообщении #232093 писал(а):

Но это уже не такое страшное обвинение, как приравнивание величин разной ковариантности, или что-то вроде этого, что вы имели в виду!

Да? Примерно такое же, как приравнивание величин разной размерности. В результате получаются не осмысленные выражения, а чушь. При приравнивании разной размерности эта чушь зависит от произвола выбора едииниц измерения, а при приравнивании разной ковариантности - от произвола выбора базиса.

svv в сообщении #232093 писал(а):

Хорошо, будем считать, что базисный вектор $\mathbf e_0$ времениподобный. Я так и считал :-)

А без разницы, какой он. В косоугольном базисе все четыре базисных вектора могут быть времениподобными. При этом у вас всё равно остаются те же проблемы, я же только пример проблемы указал.

svv в сообщении #232093 писал(а):

Еще грубые ошибки есть?

А вам мало???

[svv]

Munin писал(а):

svv писал(а):

Но это уже не такое страшное обвинение, как приравнивание величин разной ковариантности, или что-то вроде этого, что вы имели в виду!

Да? Примерно такое же, как приравнивание величин разной размерности. В результате получаются не осмысленные выражения, а чушь. При приравнивании разной размерности эта чушь зависит от произвола выбора едииниц измерения, а при приравнивании разной ковариантности - от произвола выбора базиса.

Нет, что-то вы меня совсем не понимаете. И я постараюсь это исправить.

Я знаком с тензорным анализом, и хорошо знаю, какие проблемы влечет приравнивание величин с разным законом преобразования.

Смотрите, что происходило:
1) Сначала вы сказали, что у меня используются величины разной ковариантности, что повлечет проблемы с косоугольным базисом.
2) Я вас спросил, в каком месте (ожидая, что вы покажете мне, где именно я приравниваю ковариантные и контравариантные компоненты).
3) Вы мне этого не показали, а в качестве моей проблемы указали то, что в случае изотропности оси 0 ортогональное разложение неединственно или не существует (с чем я вполне согласен).
4) Я облегченно вздохнул и сказал, что это обвинение (а вовсе не смешение разновариантных величин) уже не такое страшное.
Действительно, я могу ограничиться рассмотрением "хороших" (но притом косоугольных, и даже криволинейных) систем координат. См. ниже.

Munin писал(а):

В косоугольном базисе все четыре базисных вектора могут быть времениподобными.

Munin, я сам об этом говорил вчера в этой теме, в сообщении post231706.html#p231706:

svv писал(а):

Кстати, времениподобной может быть и координата $x'$ (при преобразовании $t=x', x=t'$). Времениподобных координат может быть и две, и три, и четыре. Их может и вовсе не быть.

Так что мне об этом известно.

Итак, что мы имеем:
1) Я не понимаю, где Вы увидели у меня нарушение ковариантности. Покажите!
2) Я признаю проблемы в случае изотропной оси. Такие базисы я не рассматриваю.
3) Я признаю проблемы и в том случае, когда времениподобных базисных векторов 0, 2, 3, 4. Я также их не рассматриваю.
Однако я думаю, что в случаях 2) и 3) у вас с определением скорости также будут проблемы, поэтому не считаю это ошибками, тем более грубыми. На всякий случай говорю: здесь я имею в виду ту скорость, о которой мы говорили с Someone, а то еще предъявите мне 4-скорость и скажете, что все в порядке.

[Munin]

svv в сообщении #232126 писал(а):

1) Сначала вы сказали, что у меня используются величины разной ковариантности, что повлечет проблемы с косоугольным базисом.
2) Я вас спросил, в каком месте (ожидая, что вы покажете мне, где именно я приравниваю ковариантные и контравариантные компоненты).

Вы не спросили, в каком месте вы приравниваете. А я не говорил, что вы приравниваете. Вы делите, что, впрочем, не лучше.

svv в сообщении #232126 писал(а):

4) Я облегченно вздохнул и сказал, что это обвинение (а вовсе не смешение разновариантных величин) уже не такое страшное.

То есть вы не поняли, что первое обвинение не снято. Да и второе достаточно страшное.

svv в сообщении #232126 писал(а):

1) Я не понимаю, где Вы увидели у меня нарушение ковариантности. Покажите!

Ковариантность - это спецтермин. Он, вообще говоря, не относится к ковариантным и контравариантным величинам (для них говорят просто "вариантность", хотя этот термин мало распространён). До ковариантности ещё дожить надо, пока у вас всё вообще локально.

svv в сообщении #232126 писал(а):

2) Я признаю проблемы в случае изотропной оси. Такие базисы я не рассматриваю.
3) Я признаю проблемы и в том случае, когда времениподобных базисных векторов 0, 2, 3, 4. Я также их не рассматриваю.

Вы должны понимать, что если проблемы есть в каких-то базисах, от которых вы отказываетесь, то они есть и во всех вообще косоугольных базисах. А перечисленные - это просто те, в которых ваши проблемы выступают наиболее выпукло и наглядно. Поэтому я их и приводил для примера. Либо конструкция сформулирована корректно - и тогда никакой базис её не берёт - либо некорректно, и тогда она даст ошибку всегда, только не всегда ясную и наглядную.

svv в сообщении #232126 писал(а):

Однако я думаю, что в случаях 2) и 3) у вас с определением скорости также будут проблемы

С определением координатной скорости - никаких проблем :-) Это всегда направление в пространстве $(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3),$ независимо от того, как оно конкретно повёрнуто.

svv в сообщении #232126 писал(а):

На всякий случай говорю: здесь я имею в виду ту скорость, о которой мы говорили с Someone, а то еще предъявите мне 4-скорость и скажете, что все в порядке.

Я не знаю, о какой скорости вы говорили с Someone, мне казалось, что он говорил о координатной, а о какой вы с ним говорили - мне неведомо.

[svv]

Munin писал(а):

То есть вы не поняли, что первое обвинение не снято.

В таком случае начнем с него, как с самого страшного.

Munin писал(а):

Вы делите, что, впрочем, не лучше.

Значит, вам не понравилось вот это:

svv писал(а):

Тогда по определению

$$\mathbf v = \frac {1} {T} \mathbf L,$$

где $T = \sqrt {\mathbf T\cdot\mathbf T}$.

Комментирую:

Вектор $\mathbf v$ равен произведению скаляра $1/T$ (а я ещё специально оформил это как множитель, чтобы не возникло вопросов!) на вектор $\mathbf L$,
где скаляр $T$ равен корню из скаляра $\mathbf T\cdot\mathbf T$ - скалярного произведения вектора $\mathbf T$ на себя.

Что такого вы здесь увидели?

[Mark1]

Munin в сообщении #232141 писал(а):

svv в сообщении #232126 писал(а):

… где Вы увидели у меня нарушение ковариантности. Покажите!
…. в случаях 2) и 3) у вас с определением скорости также будут проблемы

Ковариантность - это спецтермин. Он, вообще говоря, не относится к ковариантным и контравариантным величинам (для них говорят просто "вариантность", хотя этот термин мало распространён). До ковариантности ещё дожить надо, пока у вас всё вообще локально.

С определением координатной скорости - никаких проблем Это всегда направление в пространстве $(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3),$ независимо от того, как оно конкретно повёрнуто.

Стиль и логика ответов – обхохочешься.

[svv]

Mark1, простите, что не уделяю Вам внимание, мои обещания остаются в силе, но сейчас на два канала я не смогу. Работа ещё...

[Munin]

svv в сообщении #232143 писал(а):

Вектор $\mathbf v$ равен произведению скаляра $1/T$

Это не скаляр. Преобразуйте систему координат, и сами увидите.

-- 31.07.2009 12:55:21 --

Mark1 в сообщении #232171 писал(а):

Стиль и логика ответов – обхохочешься.

Ну да, над чем вам ещё смеяться, если смысла произносимого не понимаете. А посмеяться хочется - отомстить... :-)

[svv]

Mark1, парадоксальная ситуация: сейчас я буду защищать перед Вами Muninа, который, наверное, готов меня съесть (но – честное слово – делаю это не для собственного спасения, а ради торжества истины).

Munin писал(а):

Ковариантность - это спецтермин. Он, вообще говоря, не относится к ковариантным и контравариантным величинам (для них говорят просто "вариантность", хотя этот термин мало распространён).

Да, Munin прав. Надо было сказать "вариантность". Кстати, я в другом месте так и написал: "это обвинение (а вовсе не смешение разновариантных величин) уже не такое страшное". Так что это почти описка.

Вариантность – это закон преобразования компонент при замене координат. А ковариантность – это свойство уравнения сохранять форму при замене координат. Некоторые уравнения сохраняют форму только при частных преобразованиях координат (например, линейных с постоянными коэффициентами), тогда они не обладают общей ковариантностью.

Munin писал(а):

До ковариантности ещё дожить надо, пока у вас всё вообще локально.

Munin, скорее всего, имел в виду следующее: если бы я рассматривал векторные поля, то возникали бы вопросы, связанные с обеспечением общей ковариантности (например, обычная частная производная по координате нарушает ковариантность). Но так как у меня все векторы относятся к одной точке $O$ (к "касательному векторному пространству", соответствующему этой точке), то этих вопросов не возникает.

Munin писал(а):

С определением координатной скорости - никаких проблем Это всегда направление в пространстве $(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3),$ независимо от того, как оно конкретно повёрнуто.

Munin, скорее всего, имел в виду следующее. Направление - это вектор, определенный с точностью до коэффициента (нулевой вектор исключается). Вектор $(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3)$, касательный к мировой линии материальной точки, полностью характеризует скорость материальной точки. Но если домножить все его компоненты на $k$, он будет соответствовать той же скорости. Так что это как раз "направление".

Из-за этой "определенности с точностью до коэффициента" многообразие всех скоростей трехмерно, а не четырехмерно. Устранять неопределенность можно разными способами. Если мы потребуем, чтобы длина скорости (в четырехмерном смысле) была единичной, мы получим 4-скорость. В случае света это невозможно. Если мы потребуем, чтобы единичной была нулевая (временнАя) компонента, мы получим координатную скорость.

-- Пт июл 31, 2009 13:32:51 --

Munin писал(а):

Это не скаляр. Преобразуйте систему координат, и сами увидите.

Munin, Вы любите давать лаконичные ответы с налетом парадоксальности, которые предполагают способность оппонента шевелить мозгами. Я попробую в Вашем духе.

Той системы координат, при преобразованиях которой менялись бы компоненты $T^i$, у меня нет. Я работаю с бескоординатным представлением векторов. Есть другая система координат (от которой базисный вектор), но она жестко задана как параметр построения.

P.S. Само понятие "базисный вектор" должно быть Вам подсказкой. Базисный вектор - это вектор? Да. Тогда почему контравариантные компоненты $k$-го базисного вектора в любой системе равны единица на $k$-м месте, остальные нули? Разберётесь – поймёте и то, что делается у меня.

[Munin]

svv в сообщении #232197 писал(а):

Mark1, парадоксальная ситуация: сейчас я буду защищать перед Вами Muninа

Скорее, это называется, разжёвывать для отстающих.

svv в сообщении #232197 писал(а):

который, наверное, готов меня съесть

Я уверен, вы невкусный :-)

svv в сообщении #232197 писал(а):

(но – честное слово – делаю это не для собственного спасения, а ради торжества истины).

Уважаю.

svv в сообщении #232197 писал(а):

А ковариантность – это свойство уравнения сохранять форму при замене координат.

Ну, в калибровочных теориях она понимается ещё шире.

svv в сообщении #232197 писал(а):

Направление - это вектор, определенный с точностью до коэффициента (нулевой вектор исключается).

В общем, да, хотя точно так же можно говорить о подпространстве, о множестве векторов, да мало ли способов представить одно и то же.

svv в сообщении #232197 писал(а):

Из-за этой "определенности с точностью до коэффициента" многообразие всех скоростей трехмерно, а не четырехмерно. Устранять неопределенность можно разными способами. Если мы потребуем, чтобы длина скорости (в четырехмерном смысле) была единичной, мы получим 4-скорость. В случае света это невозможно. Если мы потребуем, чтобы единичной была нулевая (временнАя) компонента, мы получим координатную скорость.

А можно вообще отвлечься от векторов, и рассматривать это многообразие скоростей (точнее, 4-мерных направлений) само по себе. Очевидно, что топологически оно попросту сфера (но не метрически!), точно так же как и пространство направлений в обычном евклидовом 4-мерном пространстве. Задав на этой сфере любую точку, можно дальше о ней говорить, независимо от того, какие введены координаты. А можно, при желании, использовать базис в пространстве $(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3),$ и задать эту точку четырьмя координатами. А можно пойти дальше и "устранять неопределённость" в этих четырёх координатах, что уже, разумеется, не всегда возможно (например, если $dx^0=0,$ то поделить на него нельзя).

svv в сообщении #232197 писал(а):

Той системы координат, при преобразованиях которой менялись бы компоненты $T^i$, у меня нет.

Есть. Проверьте.

svv в сообщении #232197 писал(а):

Есть другая система координат (от которой базисный вектор), но она жестко задана как параметр построения.

Вот если её менять, то всё и поплывёт.

svv в сообщении #232197 писал(а):

P.S. Само понятие "базисный вектор" должно быть Вам подсказкой. Базисный вектор - это вектор?

Нет. Это вектор базиса. Если меняется базис - то меняются и базисные векторы вслед за ним. Меняется и направление $0$-й оси, проекцией на которую является ваш вектор $\mathbf{T}.$ Значит - ?

[Mark1]

svv в сообщении #232197 писал(а):

…Munin, скорее всего, имел в виду следующее.
….Munin[/b], скорее всего, имел в виду следующее: если бы я рассматривал векторные поля, то..
…Munin, Вы любите давать лаконичные ответы с налетом парадоксальности,..

.
Да, уж в парадоксальности и лаконичности Мунин гигант.
Он, ведь, Вам конкретно написал: «В косоугольных базисах будут проблемы, так как у вас используются величины разной ковариантности». А на Вашу просьбу показать, где у Вас нарушение ковариантности, ответ состоял в том, что «до ковариантности ещё дожить надо, пока у вас всё вообще локально». Т.е. что-то будет не так в «нелокальном случае», который Вы не рассматривали, но обвинение к Вашему анализу прозвучало. И Вы теперь должны соображать, чтобы его первое обвинение означало.
Вот эта «лаконичность» и «парадоксальность» и есть стиль Мунина, неуважительный к собеседнику, нацеленный на оскорбления.
Вспомним первое с чего Мунин начал с Вами общение: «Вот что случается, когда вместо изучения учебников люди фигнёй маются. Сплошные изобретения велосипедов. Хорошо если ещё с круглыми колёсами, а то часто с квадратными». А повод, как можно понять, лишь в том, что Вы изложили свое понимание в своих обозначениях и что-то «не-а». Но как потом выясняется, это «не-а» касается случая (не сказано какого), который Вы не рассматривали. С одной стороны, Вы по Мунину учебников не читаете и фигней маетесь, с другой стороны, Вы должны догадываться о том, что у него в голове от его больших знаний. Такой творческий метод-стиль естественно дает Мунину возможность вволюшку поиздеваться над собеседником.