Полное решение континуум-проблемы

[epros]

Инт в сообщении #230137 писал(а):

Да. Как только мне укажут способ такого пересчёта, я укажу конкретный способ извлечения ещё одного, не пересчитанного ординалами числа. Приветствую вопрос.

А если "способ" пересчёта Вам не укажут, а укажут строгий математический вывод утверждения о существовании такового - из аксиом ZFC с помощью стандартных правил вывода исчисления предикатов?

Или может быть у Вас есть вывод противоречия из данного предположения?

[Инт]

Утверждаю, что указанный Вами вывод и тогда приводится к противоречию. Поскольку он всё равно предполагает существование конкретного пересчёта. Т.е. к противоречию приводится и общее предположение о пересчёте ординалами.

-- Пн июл 20, 2009 11:57:27 --

Вы до аксиомы II хотя бы дойдите, тогда и поймёте, как доказывается при помощи строгого вывода, опирающегося на предикаты теории, что мощность континуума превышает, например, $\aleph_1$.

-- Пн июл 20, 2009 12:07:12 --

Кстати я просил, чтобы кто-нибудь выложил доказательство существования вполнепорядка на любом множестве. Это чтобы меня не обвинили в специальном изложении. Но эту тему надо открывать отдельно, не здесь.

[conviso]

Я думаю, здесь не все так просто.
Когда происходит "пересчет" даже по натуральным числам, сопоставляя четные с нечетными, мы молчаливо исходим из предположения, что "так будет всегда". Конечно, кто бы возражал..., ведь не произойдет же превращения четных в нечетные или вдруг у них у всех вместе появится некое новое неожиданное свойство. Хотя..., позвольте спросить, откуда такая уверенность о том, что будет "там"..., "в бесконечности"? Дальше в лес - больше дров!

Цитата:

Можно указать конкретную функцию.

..
Что такое "конкретную"? Это значит, судя по предыдущим нашим беседам, можно предложить "запись". Но в этой записи Вы, конечно же примените некий значок, который обозначит Ваше согласие на возможность "пересчитать все" действительные числа. Не так ли?
То "противоречие", которое предложил Кантор в его "лесенке" есть следствие той его внутренней позиции, которую он разрешил себе занять. В другом посте я назвал такое мировосприятие "Über alles". Не очень приятное словосочетание..., но деваться некуда. Оно вполне отражает методологическое основание для пересчета "всего и вся", включая людей...! Мы знаем, как это делалось и делается до сего дня...
В нашем диалоге мне чрезвычайно важно ваше замечание "до конца...", "к чему они... ведут". Вы демонстрируете, так сказать, "нелокальную" заинтересованность "результатом" общего нашего дела. Думаю..., "записью" не обойдемся. А, вообще говоря, я готов был встретить в беседе обычную доминанту: есть - нет совпадение с привычной нормой речи. И все! В крайнем случае, при максимальной доброжелательности, меня могли послать... "почитать книжки"..., спасибо, что еще как-то общаемся...!
Именно эта "нелокальность", как мне представляется, есть залог действительно серьезной личной заинтересованности, что-то серьезное обнаружить в совместном труде, хотя бы и в рамках Форума.

[Инт]

conviso в сообщении #230148 писал(а):

Цитата:

Можно указать конкретную функцию.

Что такое "конкретную"?

$f(n) = 2n$. Вы вправе утверждать, например, что не известно, что будет на бесконечности, или что это только запись. Но тогда только записью является, например, и такая: $f(n) = n$, т.е. можно сомневаться в бесконечности обычных натуральных чисел, что они пересчитывают сами себя. Но в такой бесконечности математики, как правило, не сомневаются. И такое понимание ситуации уже - вне любых записей. Во всяком случае, если возможен иной мир чисел, то возможен и классический.

[epros]

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Утверждаю, что указанный Вами вывод и тогда приводится к противоречию.

Ну и логика.
Выводы не приводятся к противоречию - они либо есть, либо их нет.
Приводятся к противоречию предположения.
А если в теории есть и один вывод, и противоположный ему, то это называется "противоречивая теория".

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Поскольку он всё равно предполагает существование конкретного пересчёта.

Я не понимаю этой мешанины слов. Либо давайте уж рассуждать в рамках конструктивного анализа, требуя для каждого утверждения о существании - примера конкретного объекта, либо давайте останемся в рамках неконструктивной формальной теории - ZFC, в которой утверждение о существовании объекта - это просто вывод теории, который никакого примера объекта для своего подтверждения не требует. Вы постоянно смешиваете одно с другим и отсюда, очевидно, все Ваши ошибки.

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Т.е. к противоречию приводится и общее предположение о пересчёте ординалами.

Пока не показано, к сожалению. Если бы это было так, то в сочетании с доказательством Цемерло это означало бы противоречивость ZFC, что бы меня весьма порадовало.

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Вы до аксиомы II хотя бы дойдите

Не могу: не знаю куда идти. В Вашем первом посте я вообще не вижу логики математического изложения, по которой можно было бы "идти", только набор несвязных утверждений. К тому же я вообще не вижу, где там "аксиома II".

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Кстати я просил, чтобы кто-нибудь выложил доказательство существования вполнепорядка на любом множестве. Это чтобы меня не обвинили в специальном изложении. Но эту тему надо открывать отдельно, не здесь.

Вы сами упоминали доказательство Цемерло. Какая проблема его найти и выложить? Это в Ваших интересах, если Вы хотите, чтобы кто-то Ваши соображения прочитал - укажите конкретную ошибку у Цемерло.

[conviso]

[quote]Но тогда только записью является, например, и такая: (почему-то f() не копируется у меня...), т.е. можно сомневаться в бесконечности обычных натуральных чисел, что они пересчитывают сами себя./quote].
Здесь на Форуме непрестанно слышатся призывы к аккуратному употреблению слов. То, что "ряд натуральных чисел" может быть использован для счета, меня уговаривать не надо. Хотя, нетрудно предложить еще несколько способов для этого дела. "Они сами себя пересчитывают..." - что-то от известного Барона...
Но вот откуда занесена пресловутая "бесконечность"? что за нужда пририсовывать бантики к числам. Их "много"? - пожалуй... - да. Но эти поэтические распевы о "бесконечности" к числам-то какое отношение имеют? Душа просит...? У меня она таких фантазий не просит.

[Инт]

conviso в сообщении #230280 писал(а):

Их "много"? - пожалуй... - да. Но эти поэтические распевы о "бесконечности" к числам-то какое отношение имеют? Душа просит...? У меня она таких фантазий не просит.

В таком случае, про "много" это так же поэтичекские распевы. Существо вопроса от этого не меняется. Ваше "много" означает ещё кроме того, что никакое конечное количество не может соответствовать этому "много". Такого рода "много" и называют математики бесконечностью.

-- Вт июл 21, 2009 13:36:21 --

epros в сообщении #230165 писал(а):

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Утверждаю, что указанный Вами вывод и тогда приводится к противоречию.

Ну и логика. Выводы не приводятся к противоречию - они либо есть, либо их нет...

epros Вы так и не сходите с позиции хождения вокруг да около. Я же предполагал, что никогда не сойдёте. Пока всё подтверждается. Какие-то придирки к несущественному. Какая разница сказал я о приведении к противоречию выводов или предложений не суть важно. Ясно же о чём речь. Как только Вы выведете, что любое множество можно вполне упорядочить, так сразу я приведу это предположение к противоречию. Поскольку не переходите на разбор моего решения, то Вы рассуждаете не по теме, т.е. попросту несёте офф топик. Боитесь что ли математики?

[epros]

epros в сообщении #230165 писал(а):

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Поскольку он всё равно предполагает существование конкретного пересчёта.

Я не понимаю этой мешанины слов. Либо давайте уж рассуждать в рамках конструктивного анализа, требуя для каждого утверждения о существании - примера конкретного объекта, либо давайте останемся в рамках неконструктивной формальной теории - ZFC, в которой утверждение о существовании объекта - это просто вывод теории, который никакого примера объекта для своего подтверждения не требует. Вы постоянно смешиваете одно с другим и отсюда, очевидно, все Ваши ошибки.

Вдогонку, вот Вам цитата:

Статья википедии про аксиому выбора писал(а):

A proof requiring the axiom of choice is, in one meaning of the word, nonconstructive: even though the proof establishes the existence of an object, it may be impossible to define the object in the language of set theory. For example, while the axiom of choice implies that there is a well-ordering of the real numbers, there are models of set theory with the axiom of choice in which no well-ordering of the reals is definable.

[conviso]

Уважаемый [b]Инт[/b], но тогда и вся ТМ, построенная на предположении "предположим, что мы пересчитали все действительные числа"..., так же должна рухнуть?
[quote]Утверждаю, что указанный Вами вывод и тогда приводится к противоречию. Поскольку он всё равно предполагает существование конкретного пересчёта. Т.е. к противоречию приводится и общее предположение о пересчёте ординалами./quote]
Вы не могли бы "на пальцах" пояснить, как это противоречие получается?
Мое "много" - это то, что мне "много"..., но растягивать свои способности до "бесконечности"...не могу, я просто не знаю, что это такое, как это делать. Мне говорят: абстракция... - ура!, а что это такое? Наверно, это очень глупый вопрос. Но мне хотелось бы получить ответ в категориях типа: "вот , что это такое...". Если Дедекинд предлагает сделать "сечение", то "чем" это он "делает"...Таких дурацких вопросов, пожалуй, и не сосчитать...
Из этой же серии вопрос о равенстве. Сто тех же зайцев для зоолога равно,безусловно, для его анализов, что и один заяц..., если эти экземпляры каких-нибудь "лунных" пород. А вот для мясника, точно не равно...! Но их различия в оценках определяются вполне ясными критериями полноты достигаемого "результата".
А вот что делать со "всеми" действительными числами, до еще и "пересчитанными".

Вот нас "партия учит":[quote]Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Понятие множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.
Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов)./quote]
Поясните мне, пожалуйста, кто-нибудь! Что это за набор слов?
"Отдельные изолированные"... "не обладают"..., значит кто-то "туда" в это множество залез и увидел все красоты этих "данных". Далее, не смотря на всю их "изоляцию"(надо полагать, друг от друга (как это определить?), а не от наблюдателя..., иначе, как же он это "там" обнаружить сможет?), вдруг..., о чудо..., приходит "правило" и начинает их "отличать", но, все бы хорошо.., Но ведь они должны еще откуда-то заиметь общее для каждого из них свойство "принадлежать"!И это свойство, общее для всех них, при этом не может стать признаком их "равенства"?
Имеем итого: мы при создании нашей "теории" должны обладать фантастическими свойствами..., именно мы, а не "изолированные данные", должны различать где нутро..., а где "наружа" в этом "множестве". Как и чем это делать..., по толщине шкурки...?
Тогда вопрос об очевидности "равенства" и прочих суждений, производных от наших фантастических способностей, определяется отнюдь не "изолированными данными", а тем, что нам сподручным кажется делать с этими "данными". Тогда, позвольте заметить, "теория" эта не "Данные" описывает и их "отношения", а то, как мы решаемся с ними, этими данными себя вести. Это наш с вами Язык, а отнюдь не свойства "данных". Тогда где "объективность" и прочая поэзия?
И еще один пустяковый вопрос. "правило позволяет определить..."- это правило для меня или для всех? Если для меня, то я, вообще говоря, хочу принимаю - хочу не принимаю.... А если для всех, то что будет, если я его не принимаю...? Наверно мы с вами, уважаемые коллеги, останемся ко-леггами, соговорунами, но никак не сотрудниками..., похоже.
Хотя почему? Ведь следуя ТМ, а ей судя по всему, все рано, что "пересчитывать" в качестве "изолированных, без связи..." "данных", нет дела до дел каждого из нас "изолированного"..
Нетрудно эту песню переложить на язык Аксиом, с не менее строгим "принадлежать", "отличаться", а главное, сурово молчать о том, каким способом все это можно проверить. Как тут не вспомнить про "трамвай", про незабвенного Ходжу Насреддина с его обучением осла за 25 лет, о "сияющих вершинах"...метод-то один и тот же!

[PAV]

conviso, наведите порядок с тегами (в частности, с оформлением цитат) в этом и остальных Ваших сообщениях.

[conviso]

Изо всех компьютерных сил стараюсь..., но они невытанцовываются у меня..., наверно еще надо на что-то нажимать...

[Инт]

conviso в сообщении #230477 писал(а):

Уважаемый [b]Инт[/b], но тогда и вся ТМ, построенная на предположении "предположим, что мы пересчитали все действительные числа"..., так же должна рухнуть?

Теория множеств не построена на указанном Вами предположении. Когда приводился начальный участок фразы: "предположим, что мы пересчитали множество действительных чисел...", то мною в частности объяснялось, что это рассуждение от противного. Т.е. математики, когда хотят установить какой-то факт, могут предположить его противоположность. Если это предположение приводится к противоречию, то сам факт имеет место. В частности, предполагают (для рассуждения, противное), т.е. предполагают, что множество действительных чисел счётно, или, что то же самое, что его можно пересчитать натуральными числами. И затем, приводят это предположение к противоречию. Отсюда заключают, что множество действительных чисел несчётно, или, что то же самое, что его нельзя пересчитать натуральными числами. Но вывод этот уже безусловный. Т.е. безусловно то, что множество действительных чисел образует несчётную бесконечность. Можно показать, что она больше счётной, т.е. счётную можно вложить в несчётную, а наоборот - нет. Остальные сомнения возникают лишь у философов. У математиков их нет. А если и есть, то они стремятся предельно разрешить ситуацию, например, используя разные теории множеств. Но всё же стремятся к абсолютности, безусловности выводов. В частности, если почётче договориться даже с Вами о некоторых обсуждаемых понятиях, то математическая мысль принудит Вашу мысль (и мою так же, и мысль любого другого человека) к некоторым выводам безусловно.

-- Ср июл 22, 2009 09:31:38 --

epros в сообщении #230380 писал(а):

epros в сообщении #230165 писал(а):

Инт в сообщении #230145 писал(а):

Поскольку он всё равно предполагает существование конкретного пересчёта.

Я не понимаю этой мешанины слов. Либо давайте уж рассуждать в рамках конструктивного анализа, требуя для каждого утверждения о существании - примера конкретного объекта, либо давайте останемся в рамках неконструктивной формальной теории - ZFC, в которой утверждение о существовании объекта - это просто вывод теории, который никакого примера объекта для своего подтверждения не требует. Вы постоянно смешиваете одно с другим и отсюда, очевидно, все Ваши ошибки.

Уважаемый epros. Я, конечно, использую некоторую ненормативную лексику, употребляя некоторые слова вне рамок формализма, лишь для пояснения того, зачем рассматривается та или иная математическая ситуация. Точнее: когда говорилось о конкретности пересчёта ординалами, то не имелось ничего иного ввиду, кроме существования функции $F$, определённой, например, на множестве всех не более чем счётных ординалов. Т.е. когда $F(\nu) = x$, то математики подразумевают под этим, интерпретируют, если хотите, что каждому конкретному $\nu$ сопоставлено конкретное число $x$. Это есть лишь содержательная интерпретация ZFC, без которой вся математика бессмысленна. С другой стороны, я вижу поверхностность Вашего подхода. Тут уж простите меня за наезд, но я утверждаю Вашу поверхностность в этих вопросах. Ваши придирки предельно наивны. Плохо ли, хорошо ли моё доказательство, именно по тому, что Вы не хотите в нём скурпулёзно ковыряться, видно, что не владеете ситуацией. В частности, даже для того, чтобы пояснить Вам логику доказательства того, что континуум не отображается ни на алеф-первый, ни на алеф-второй и т.д. надо расмотреть именно мои доводы. А Вы этого не делаете. Ну задйте мне хоть какой-нибудь простейший вопрос из первого параграфа про гиперконтинуум. Хоть это будет первым шагом хоть к какому то конструктивному разговору. А так, даже не о чем говорить. Просто идут одни взаимные препирательства. В частности, Вы ещё не указали ни одной моей математической ошибки. Всё хотите задёшево, не читая текста и не вникая в аргументы в чём-то меня уличить.

-- Ср июл 22, 2009 09:33:22 --

conviso в сообщении #230483 писал(а):

Изо всех компьютерных сил стараюсь..., но они невытанцовываются у меня..., наверно еще надо на что-то нажимать...

А Вы напишите в личку к PAV в чём проблемы, он Вас хотя бы направит, даст инструкции.

[conviso]

[quote]Т.е. математики, когда хотят установить какой-то факт, могут предположить его противоположность. Если это предположение приводится к противоречию, то сам факт имеет место. /quote].
Да именно в самом доказательстве этого "противоречия"(на счет пересчета) я и не могу найти. Старательно воспроизводимое "построение" Кантора ни о чем мне не говорит! Для меня это простой набор слов, в котором нет законченной мысли. "Все действительные числа" - это не больше чем поэтическая фраза. Прыгая 0-1 от встретившейся очередной цифры в числе, он так и не сможет меня убедить, что он просто еще не допрыгал до того числа, которое строил! От того и не нашел, может быть..., а может и еще по "бесконечному множеству" иных причин. Для меня свойство конечного действия: "пересчет всех действительных чисел" - просто пустой звук. Если же мы с Вами расширяем свои деятельные способности до ответственного суждения о том..., что "там", вполне кстати... "за гробом..", (а кто нам запретит...?), то хотелось бы знать, каким критерием нашей согласованной совместной деятельности мы с Вами будем "там" пользоваться.
Это распространение свойств конечных действий на свойства кикиморы болотной выжить в соленой воде... Может действительно есть смысл пообсуждать эту проблему. Ведь тот же Фома Аквинский не стыдился "божьи свойства" щупать..., извините!А потом эта его процедура была соответствующей организацией воспринята как "хорошо" да еще и на века!
Когда Вы начинаете рассуждение "от противного", то в этом суждении столь много для меня "противного", что я хотел бы узнать, что именно в Вашем рассуждении Вы принимаете за опровергаемое положение. А по сути дела, негласно Вы принимаете положение, что Вы работаете, с одной стороны, с "изолированными данными", а с другой, уверены в том, что эти "данные" просто обязаны подчиняться каким-то "правилам"...А чего ради им это делать..., если они такие изолированные? Да просто потому, что то, что Мы хотим с ними делать..., то Мы и делаем! Здесь имеем "Факт" наблюдения за отпечатками собственных пальцев, а отнюдь не "объективных свойств чисел" в прочих обитателей математического мира. Из "факта" смерти кикиморы болотной, вложенной в невыносимых для нее условия, можно сделать, по-моему, единственный вывод - поменьше фантазий.
[quote]Математическая мысль принудит Вашу мысль/quote]. Да я свободный человек , уважаемый Инт кто же мою мысль принудит..., разве что какойнить откормленный дядя кашкиперовского "посвящения"?
Дело совместное действительно может принудить... и меня, в частности. Помните, как Пьера де ла Раме в 16 веке зарезали собратья по Сорбонне, когда ему с Аристотелем не сдружилось...?
Конечно, теория чисел не на "пересчете" зиждется..., но на систематическом употреблении мировосприятия..., о котором я уже упоминал. Это системный продукт системного рудимента, как мне представляется.

[Инт]

Уважаемый conviso я настоятельно рекомендую Вам обратится к модераторам для обучения техническим навыкам.

Далее по дискуссии: Вообще то есть некоторое неуважение к мысли математиков с Вашей стороны, т.е. нежелание разобраться по существу. Поскольку можно сказать что-нибудь про Ваш "набор слов" и т.п. (это не наезд, это разбирательство аргументов).

Ну давайте, я попробую принудить Вас к мысли о несчётности континуума. Не тем методом, который Вы упомянули. Для этого, Вам достаточно отвечать на вопросы либо словом "да", либо словом "нет". Доказательство будет очень коротким. Согласны?

-- Ср июл 22, 2009 10:37:23 --

Посмотрите, например, http://dxdy.ru/post189453.html#p189453

[epros]

Инт в сообщении #230499 писал(а):

когда говорилось о конкретности пересчёта ординалами, не имелось ничего иного ввиду, кроме существования функции $F$, определённой, например, на множестве всех не более чем счётных ординалов.

А согласно доказательству Цемерло существует биекция $\mathbb{R}$ на некий несчётный ординал $\omega_c \ge \omega_1$. Чувствуете разницу?

Инт в сообщении #230499 писал(а):

Т.е. когда $F(\nu) = x$, то математики подразумевают под этим, интерпретируют, если хотите, что каждому конкретному $\nu$ сопоставлено конкретное число $x$.

Иногда математики подразумевают под этим, что существование такой функции доказано из соответствующей аксиоматики. Я же Вам даже процитировал кусок статьи из википедии, где прямо сказано, что существование вполнеупорядочения действительных чисел в ZFC доказано, но определить этот объект в языке ZFC невозможно. Это называется "неконструктивное доказательство".

Инт в сообщении #230499 писал(а):

Это есть лишь содержательная интерпретация ZFC, без которой вся математика бессмысленна.

Да ну? Неужели в стане констуктивистов пополнение?

Какого же тогда, извините, фига Вы нам вещаете, что Вы доказали в ZFC несуществование полного порядка для $\mathbb{R}$, если Вы, как оказалось, всего лишь утверждаете отсутствие такового в некой "содержательной интерпретации ZFC", то бишь утверждаете неконструктивность данного объекта?

К тому же, глядя на Вашу фразу, которую я процитировал в этом посте первой, можно подумать, что Вы вообще не утверждаете ничего большего, чем обыкновенную несчётность множества действительных чисел.

Инт в сообщении #230499 писал(а):

С другой стороны, я вижу поверхностность Вашего подхода. Тут уж простите меня за наезд, но я утверждаю Вашу поверхностность в этих вопросах. Ваши придирки предельно наивны. Плохо ли, хорошо ли моё доказательство, именно по тому, что Вы не хотите в нём скурпулёзно ковыряться, видно, что не владеете ситуацией.

Инт, я не нуждаюсь ни в Ваших оценках моих знаний (которые, несомненно, небезупречны), ни в Ваших оценках моих способностей (которые, очевидно, небеспредельны), ни в Ваших оценках моей "наивности". Я "не хочу ковыряться" в Вашем доказательстве по причине, которую я Вам уже объяснил: я не вижу там никакого доказательства. Я вижу там набор некоторых утверждений, часть из которых вполне разумны, другая часть которых несомненно неверны, а третья часть которых достаточно сложны для того, чтобы я не мог сходу судить об их верности или неверности. Но доказательсва никакого они не составляют.