0,(9)=1

[epros]

ewert в сообщении #230164 писал(а):

epros в сообщении #230158 писал(а):

А можно сформулировать это на нормальном языке и желательно без изложения теории меры в полном объёме?

Можно. Две функции называются эквивалентными, если множество точек, в которых их значения различаются, имеет внешнюю меру ноль.

Боюсь, что сначала человеку придётся объяснить что такое "внешняя мера". Как Вы будете это делать без определения понятия меры, я не представляю.

ewert в сообщении #230164 писал(а):

epros в сообщении #230158 писал(а):

Кстати, такая "эквивалентность функций" имеет какое-то отношение к обсуждаемому вопросу: равенству (или эквивалентности) действительных чисел?

Имеет. Правда, очень слабое. "Отождествление" дробей вида 0,(9) и 1,(0) при желании тоже можно рассматривать как результат факторизации.

А можно и не рассматривать. Ибо суть не в этом, а в определении равенства (или эквивалентности?) для действительных чисел.

Я понимаю, что Вам хочется определить "модель", в которой каждое действительное число представлялось бы единственным элементом, для этого Вам и нужны "классы эквивалентности". И Вас не смущает, что у Вас всё равно нет способа однозначно записать каждый такой элемент на бумаге. А мне наоборот: важно, чтобы каждый объект можно было записать на бумаге, но безразлична однозначность этой записи.

ewert в сообщении #230164 писал(а):

epros в сообщении #230158 писал(а):

Я не понимаю что такое "модель рациональных чисел" когда аксиоматики на их счёт нет.

А любая модель вообще строится вне рамок той аксиоматики, для которой она -- модель.

Я не понимаю, как можно строить модель, не понимая, что мы моделируем?

[AGu]

Позвольте краткую реплику «со стороны наблюдателя». (Разумеется, сказанное ниже -- мое сугубое ИМХО.)

Уважаемые epros и ewert, вы оба правы. Ваши высказывания вполне корректны, разумны и понятны (порой даже очевидны), но вы не даете им шанса пересечься. Вы мыслите в разных мирах, на разных формальных уровнях, и категорически отказываетесь временно спуститься/приподняться до формального уровня оппонента -- просто для того, чтобы понять его позицию (и потом, конечно же, сразу вернуться к своей). Мне грустно это наблюдать, так как, на мой (возможно, радикальный) взгляд, «метаметический спор» -- это нонсенс. Каждый из вас вне всяких сомнений способен четко изложить свою точку зрения на обсуждаемый вопрос, ракрыть все неявные определения и все строго обосновать на своем формальном уровне. Остается лишь проявить толику гибкости и (попытаться) проделать то же самое, но на уровне оппонента. Поверьте, это возможно!

[ewert]

epros в сообщении #230180 писал(а):

Я не понимаю, как можно строить модель, не понимая, что мы моделируем?

Запросто можно. Сперва мы строим модель, исходя из того, что хочется получить. Потом (заметьте, именно потом и никак иначе!) -- построенный объект аксиоматизируем. И только после этого тот объект становится моделью чего-то супервозвышенного.

Это -- стандартная логика возникновения любых теорий.

[epros]

ewert в сообщении #230200 писал(а):

epros в сообщении #230180 писал(а):

Я не понимаю, как можно строить модель, не понимая, что мы моделируем?

Запросто можно. Сперва мы строим модель, исходя из того, что хочется получить. Потом (заметьте, именно потом и никак иначе!) -- построенный объект аксиоматизируем. И только после этого тот объект становится моделью чего-то супервозвышенного.

Это -- стандартная логика возникновения любых теорий.

Как-то я плохо воспринимаю такую логику. Естественно, мы начинаем не с того, что пишем аксиомы на языке исчисления предикатов первого порядка. Но когда мы на естественном языке формулируем для себя то, что нам "хочется" получить, тогда-то, по-сути, уже и возникают аксиомы. Взять те же рациональные числа: Вот "захотели" мы расширить понятие целого числа таким образом, чтобы операция деления для чисел, которые друг на друга не делятся, тоже давала результат. И пожалуйста: доопределили эти результаты как "новые" числа (единственно, в случае деления на нуль не получилось приписать результату ничего "интересного"). А аксиомы возникли просто как запись того, что мы от этих результатов хотим: Чтобы операция деления оставалась обратной к операции умножения, чтобы свойства сложения и умножения для натуральных чисел не изменились и т. п.

Детей в начальной школе ведь не теории моделей учат, а именно этому - как натуральные числа доопределяются дробями.

[ewert]

epros в сообщении #230219 писал(а):

Взять те же рациональные числа: Вот "захотели" мы расширить понятие целого числа таким образом, чтобы операция деления для чисел, которые друг на друга не делятся, тоже давала результат. И пожалуйста: доопределили эти результаты как "новые" числа (единственно, в случае деления на нуль не получилось приписать результату ничего "интересного"). А аксиомы возникли просто как запись того, что мы от этих результатов хотим: Чтобы операция деления оставалась обратной к операции умножения, чтобы свойства сложения и умножения для натуральных чисел не изменились и т. п.

Я бы сказал, что аксиомы всегда (можете поиздеваться над категоричностью) возникают лишь после того, как объект уже построен.

epros в сообщении #230219 писал(а):

Детей в начальной школе ведь не теории моделей учат, а именно этому - как натуральные числа доопределяются дробями.

ага, и заметьте -- доопределяются вовсе не аксиоматически. И пусть слово "эквивалентность" при этом и не употребляется, но -- неявно подразумевается. Просто предпочитают не называть чёрта по имени.

[AGu]

ewert в сообщении #230222 писал(а):

Я бы сказал, что аксиомы всегда (можете поиздеваться над категоричностью) возникают лишь после того, как объект уже построен.

А у epros -- никогда. Ну позиция у него такая, что поделаешь. В его мире объекты вырастают исключительно из теорий. Синтаксические они, eprosовы объекты.

[Sergey-Cop]

epros в сообщении #230219 писал(а):

ewert в сообщении #230200 писал(а):

epros в сообщении #230180 писал(а):

Я не понимаю, как можно строить модель, не понимая, что мы моделируем?

Запросто можно. Сперва мы строим модель, исходя из того, что хочется получить. Потом (заметьте, именно потом и никак иначе!) -- построенный объект аксиоматизируем. И только после этого тот объект становится моделью чего-то супервозвышенного.

Это -- стандартная логика возникновения любых теорий.

Как-то я плохо воспринимаю такую логику.

Зато я хорошо понимаю: Сначала определяем, что хотим получить, а затем подгоняем под ответ.

Ха-ха. Надо же, так открыто заявлять о целенаправленной подделке. Мол, все так поступают (стандартно)... — Это заявление надо в рамочку повесить.

А чё. Не надо ничего исследовать, детально изучать — что хотим, то и получим. Введем нужные аксиомы, и пожалуйста.
Захотели, чтобы 0,(9)=1, пожалуйста. Хотим иначе — тоже не проблема.

Действительно есть такие псевдо доказательства (в разных направлениях деятельности). Подгоняют аксиомы под то, что хотят доказать. Думают, что если назвал тезис аксиомой, он тут же становится истинным... — Ха-ха-ха. Только вот проблема: аксиомы-то должны быть непротиворечивы друг другу. А вот тут-то "проколы" и возникают.

Вводя новые аксиомы нужно отменять старые. Есть правила работы с пределами, видимо, их надо отменять, чтобы доказать 0,(9)=1

luitzen в сообщении #228078 писал(а):

$x = 0,(9)$
$9x = 10x - x = 9,(9) - 0,(9) = 9,(0)$
$x = 1,(0)$

Вообще-то
$x = 0,(9)$
$9x = 8,999...991$

И выражение тоже
$10x - x = 8,999...991$
(такое выражение о-очень затрудняет вычисление)

Так что как было
$x = 0,(9)$
так оно и осталось.


Далее

H14sk в сообщении #228209 писал(а):

Помнится в школьном учебнике было что-то вроде: 1 => 1/3 = 0,(3) => 1 = 3*1/3 = 3*0,(3) = 0,(9)

Вот чего в образовании больше всего претензий, так это к учебникам.

Вообще-то
$1/3 \approx 0,(3)$
В десятичной системе нет такого числа, чтобы оно точно было бы равно одной трети.

Так что
${\frac 1 3}*3=1$
а если умножить на приближенное число, то
$0,(3)*3 \approx 1$
также получаем приближение.

На этом всё.

[AGu]

Sergey-Cop, это ведь Вы так, типа, шутите, правда?

[epros]

ewert в сообщении #230222 писал(а):

Я бы сказал, что аксиомы всегда (можете поиздеваться над категоричностью) возникают лишь после того, как объект уже построен.

По-моему, это всё тонкости интерпретации понятий "до" и "после".
По большому счёту, аксиомы возникают "примерно одновременно" с возникновением понимания о каком объекте идёт речь. Может быть аксиомы изначально не вполне формализованы, но и понимание соответственно этому не является вполне однозначным. Однозначное понимание, с моей точки зрения, как раз и означает, что мы способны сформулировать аксиоматику.

ewert в сообщении #230222 писал(а):

epros в сообщении #230219 писал(а):

Детей в начальной школе ведь не теории моделей учат, а именно этому - как натуральные числа доопределяются дробями.

ага, и заметьте -- доопределяются вовсе не аксиоматически. И пусть слово "эквивалентность" при этом и не употребляется, но -- неявно подразумевается. Просто предпочитают не называть чёрта по имени.

Честно говоря, я не вижу, чтобы при определении дробей в начальных классах изначально подразумевалась какая-то эквивалентность. Детишкам просто объясняют, что операция деления - обратная к операции умножения (математик это утверждение легко формализует). А отсюда понятие о дроби возникает как результат применения деления к тому, что не делится. Эквивалентность же между 2/3 и 4/6 - легко доказума (с использованием указанного понимания деления как обратной операции к умножению).

[LetsGOX]

Виктор Викторов Итак, спасибо за разяъснения, но все равно до конца не мне понятно

Цитата:

Проделав те же шаги счётное множество раз мы убедимся, что множество содержит нужные нам члены

Оно содержит только бесконечное, счетное количетсво пустых множеств
Раз $\varnothing\cup \{\varnothing \}=\varnothing$, то и $\varnothing\cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing\cup \{\varnothing \}\} =\varnothing$, и все члены это пустые множества
Натуральные числа далеко не пустые, а мы принимаем что все натуральные числа это одинаковые пустые множества!
Или же важен порядок следования этих множеств? Но чем они отличаютс друг от друга?
Получаем $\varnothing\cup \{\varnothing \}=2=\varnothing$ и
$\varnothing\cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing\cup \{\varnothing \}\} =3=\varnothing$, а раз $\varnothing=\varnothing$, то и $2=3$, что разумеется неверно

[AGu]

LetsGOX в сообщении #230379 писал(а):

Раз $\varnothing\cup \{\varnothing \}=\varnothing$, то и $\varnothing\cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing\cup \{\varnothing \}\} =\varnothing$, и все члены это пустые множества

Цитата из Френкеля:
«Между отношениями $\in$ и $\subseteq$ имеется серьезное различие. [...] После работ Пеано жертвами путаницы между $\in$ и $\subseteq$ становятся лишь начинающие.»

[Sergey-Cop]

AGu в сообщении #230277 писал(а):

Sergey-Cop, это ведь Вы так, типа, шутите, правда?

Шутка юмора. Народная мудрость гласит: «Не руби сук, на котором сидишь».

Обсуждают, значит, на форуме, работа которого обеспечена вычислительной техникой, то бишь алгоритмической. Доступ к форуму тоже через компьютер.
И вопрос стоит о том, что 0,(9)=1
А в компьютеры заложено правило проверки на равенство, начиная именно с первого символа, будь то число или буква, и что бы там ни было.

По правилам берется первый значащий разряд
$0<1$
Всё. Следовательно.
$0<1\Rightarrow0,(9)<1$

Отменить это правило — то же, что рубить сук на котором сидишь. Потому что без этого правила компьютер даже не загрузится.

Чтобы загрузиться, нужны адреса, ссылки на диске, а они действуют по этому же правилу.
Да и, например, компьютер не будет сравнивать число 7 с другим числом, он возьмет $00007$ и будет сравнивать первый ноль, по которому и принимается решение о равенстве, больше или меньше.

Так что, ха-ха Не руби сук, на котором сидишь. То бишь, не порти технику, которой пользуешься.

[Pripyat]

но в компьютер вы никогда и не запишите число 0,(9).

[ewert]

Pripyat в сообщении #230816 писал(а):

но в компьютер вы никогда и не запишите число 0,(9).

Да запишем-то запросто. Только оно реально не должно будет отличаться от единицы. Фактически же -- будет. И в этом -- проблема. Не смертельная, конечно, но и не считаться с ней нельзя. Проблема чисто практическая: в машинной плавающей арифметике проверка на равенство -- бессмысленна.

Что, разумеется, не имеет ни малейшего отношения к абстрактной постановке вопроса.

[venco]

ewert в сообщении #230819 писал(а):

Pripyat в сообщении #230816 писал(а):

но в компьютер вы никогда и не запишите число 0,(9).

Да запишем-то запросто.

Каким образом? Именно $0.(9)$, а не, например, $1-2^{-64}$.

Цитата:

Только оно реально не должно будет отличаться от единицы. Фактически же -- будет.

Что вы имеете в виду под "реально" и "фактически"?