Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
"Ссылкой на авторитеты" я называю неконструктивный ответ на вопрос, как применяется теорема в конкретном случае. Иногда такой вопрос может включать в себя и формулировку теоремы, и определения используемых понятий (если они не являются общеизвестными. При этом "общеизвестность" -- понятие относительное, и то, что общеизвестно академикам может быть не общеизвестно школьнику, участвующему в обсуждении).

Теорема -- это хорошо. Почему и как она применима в данном конкретном случае -- это вопрос обоснованности рассуждений. Посылать учиться в ответ на подобные вопросы -- не очень убедительный ответ.
..........................
Я не думаю, что кто-либо выиграет от превращения форума в курс лекций.

Если теоремы о градиенте, к сожалению, известны далеко не всем, хотя являются фундаментальными положениями векторного анализа и прописаны во многих учебных курсах векторного анализа, то теорема Остроградского-Гаусса является основной теоремой в электростатике и преподается, в том или ином виде, в школьном курсе физики и во всех курсах общей физики ВУЗ, не говоря уж о курсе векторного анализа и теоретических курсах физики .
Мог ли я предположить, что здесь, на форуме по физике МЕХМАТ-а нужно излагать содержание и методы применения этой теоремы.
Очевидно, что такое мне и в голову не могло придти и калификацию моей ссылки на эту теорему, как "ссылку на авторитеты", я, естественно, воспринял как издевательство.
Если бы мне предложили изложить здесь правила арифметики, я бы, наверно, поразился бы меньше.
Я и теперь не понимаю, что Вам требуется, что бы осознать применимость теоремы Остроградского-Гаусса к решению задачи поля заряженного цилиндра - стандартной учебной задачи электростатики.
Сформулируйте точно, в чем Вам видится трудность применения этой теоремы в этой задаче?

[незваный гость]

Ну хорошо, у меня есть поверхностная плотность заряда $\sigma(x)$. Дальше что? Какое выражение для напряженности электрического поля мы имеем (заметьте, не как его считать, а какое выражение)? Теперь, имея выражение, мы можем потребовать, чтобы поверхность цилиндра была эквипотенциальной поверностью. В какое условие это преобразуется? Как решать получившееся интегро-дифференциальное уравнение(-я) относительно $\sigma$ в данном случае?

Очевидно, что результат зависит от соотношения длины цилиндра и его диаметра. Каков вид этой зависимости? Может ли она быть выписана явно, или не выражается через элементарные функции?

На каждом шаге я ожидаю конкретное уравнение -- описывающее поверхность, напряженность поля, ограничения. Еслм Вы пользуетесь т. О.-Г. -- нет проблем, когда Вы точно и формально указали, к какой поверхности Вы ее применяете. Пользуетесь законом Кулона -- хорошо, только скажите точно к каким двум зарядам. И так далее.

У Вас впечатление что к Вам придираются? Ничуть. Это принятый уровень строгости на форуме. Если участников удовлетворяет неформальное объяснение (а удовлетворяет оно только в одном случае -- когда они понимают сами, как его формализовать), то никто ничего не просит. Если неформальное объяснение не удовлетворяет -- у любого просят подробности. Как только что просили у Аурелиано Буэндиа. Вы не скажете, что к нему придираются? (Страшновато, все-таки модератор этого форума. А ну как баном прихлопнет .) А формализм, строгость, и требование точности высказываний и формулировок -- так, как Вы это сами заметили, это форум Мехмата. А не филфака. Здесь принято бросаться на ветер не словами, а формулами.

[Аурелиано Буэндиа]

Выведена асимптотическая формула для плотности на $[-1,1]$
$\rho(x)=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{\pi}}\frac{\displaystyle \Gamma(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{\ln n})}{\displaystyle \Gamma(1-\frac{1}{2}\frac{1}{\ln n})} (1-x^2)^{-1/(2\ln n)}}$
Вычисленная плотность сравнивается с плотностью незванного гостя.
-- - расчет по формуле
-- - расчет по формуле для $n=65536$
x - расчеты незванного гостя


Ниже отдельное сравнение для $n=512$. Красная линия вычисление по асимптотической формуле. Синии точки -- результаты незванного гостя

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Выведена асимптотическая формула

Выглядит очень правдоподобно. А вывод можно?

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

А вывод можно?

После безуспешных попыток получить аналогичный результат в дискретной модели я решил опять вернуться к одномерной заряженной жидкости. И кажется я нашел недостающее связующее звено между непрерывной и дискретной моделями. Это формула $\delta(x)=1/n\rho(x)$. Учитывая прошлые выкладки я получил интегральное уранение

$$ \frac{2\rho(a)x}{a^2-x^2}+2\rho'(x)\ln\frac{1}{n\rho(x)}-\rho'(a)\ln(a^2-x^2)=\int_{-a}^{x}\rho''(y)\ln(x-y)dy-\int_{x}^a\rho''(y)\ln(x-y)dy $$

Учитывая что при $n\to \infty$ $\rho'(x)\to 0$ я решил упростить его до

$$ \frac{2\rho(a)x}{a^2-x^2}-2\rho'(x)\ln(n)(1+\ln\rho(x)/\ln(n))\approx \frac{2\rho(x)x}{a^2-x^2}-2\rho'(x)\ln(n)=0 $$

Конечно это довольно грубо, но мне нужно было получить простой ДУ чтобы получить хоть какой-нибудь аналитический результат. Интегрируем и находим

$$ \rho(x)=\rho_0 (1-x^2)^{-1/2\ln n} $$

Нормируем на 1 (чтобы сравнить с численными результатами) и получаем
то что я привел постом выше.

[незваный гость]

Здорово!

Из этой ассимптотики, кстати, следует ограниченность плотности. (На первый взляд, $\rho(x) \to \infty$ при $x \to \pm 1$. Но существует $\delta$ такая, что $\int\limits_{1-\delta}^{1}\rho(x){\rm d}x = \frac{1}{n}$ -- заряд частицы. Тогда $|x| \le 1-\delta$, и, мне кажется, $\rho(x)$ ограничен. Это предварительное рассуждение, нуждающееся в проверке.)

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil: А формализм, строгость, и требование точности высказываний и формулировок -- так, как Вы это сами заметили, это форум Мехмата. А не филфака. Здесь принято бросаться на ветер не словами, а формулами.

Но и форум не математический, а физический.
Не знаю как там, насчет "бросаться формулами", но я привык не "бросаться", а работать с физическими пространственно временными образами, используя законы физики.
И из этого получать формулы.
Потому, временно, воздержусь от дискуссии и посмотрю, как это делают корифеи.
Очень уж интересно к какому результату Вы придете и насколько он будет отличаться от "пружинки".
Желаю удачи!

[незваный гость]

http://www.etudes.ru/ru/mov/mov020/index.php
Офигеть!

Если им верить, то заряды расположатся (окромя концов) в корнях полинома Якоби $P^{(1,1)}_{n-2}$.

[Mopnex]

незваный гость писал(а):

Офигеть!

Я тоже так подумал. Жалко про доказательство ни слова.

[Farest2]

Тема древняя и далёкая от меня, но вдруг кому-то захочется почитать:
С. В. Керов, “Равновесие и ортогональные полиномы”, Алгебра и анализ, 12:6 (2000), 224–237; St. Petersburg Math. J., 12:6 (2001), 1049–1059
mathnet