Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Да. Плюс:
* плотность в окрестности середины ($\frac{q(-x,x)}{2x \, Q}$) растет (я проверял до $1/\sqrt2$), стремясь к 1;
* грубо, $q_n(-1,x) \approx \frac{1+x}{2} - n^{-1/6} \frac{x\sqrt{1-x^2}}{13}$.

Последнее "приближение" выполняется очень точно -- достаточно построить график $n^{1/6}(q_n(-1,x) - \frac{1+x}{2})$ и наложить на него соответствующую функцию.

Необходимо сделать небольшое уточнение.
Если радиус постоянен (вне концов провода), то вдоль провода, в силу эквипотенциальности поверхности провода, вектор электрического смещения, а следовательно, и поверхностная плотность заряда, должны оставаться неизменными.
Думаю, что отклонение от равномерного распределения при большом числе n связано с получившимся у Вас, неограниченным ростом плотности заряда вблизи краев проволоки, что тоже указывает на нарушение условия эквипотенциальности поверхности.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Необходимо сделать небольшое уточнение.

Вы неправильно поняли. $n$ -- число дискретных (точечных) зарядов, расположенных вдоль отрезка. Разумеется, в этой модели отрезок вообще не имеет толщины. Интересно, что "неограниченного" роста заряда на концах не происходит. Из имеющихся данных я даже не сумел понять, ограничена ли вообще (равномерно) плотность заряда на концах.

Зиновий писал(а):

Если радиус постоянен (вне концов провода), то вдоль провода, в силу эквипотенциальности поверхности провода, вектор электрического смещения, а следовательно, и поверхностная плотность заряда, должны оставаться неизменными.

Мне не понятен этот вывод. Я согласен с посылкой -- напряженность поля должна быть перпендикулярна поверхности (как я понял Вашу терминологию -- с термином "электрическое смещение" я не сталкивался), но я не понял вывода -- почему из этого следует постоянство поверностной плотности заряда. Например, ничто не мешает применить это же рассуждение к упомянутому Someone эллипсоиду, для которого плотость зависит от координаты.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

Необходимо сделать небольшое уточнение.

Вы неправильно поняли. $n$ -- число дискретных (точечных) зарядов, расположенных вдоль отрезка. Разумеется, в этой модели отрезок вообще не имеет толщины. Интересно, что "неограниченного" роста заряда на концах не происходит. Из имеющихся данных я даже не сумел понять, ограничена ли вообще (равномерно) плотность заряда на концах.

Из конечной величины единичного заряда и конечности величины плотности заряда, автоматически следует и конечность радиуса единичного заряда.
Из представленных Аурелиано, от Вашего имени, графиков,следует неограниченный рост плотности заряда при приближении к концам цепочки.

незванный гость писал(а):

Зиновий писал(а):

Если радиус постоянен (вне концов провода), то вдоль провода, в силу эквипотенциальности поверхности провода, вектор электрического смещения, а следовательно, и поверхностная плотность заряда, должны оставаться неизменными.

Мне не понятен этот вывод. Я согласен с посылкой -- напряженность поля должна быть перпендикулярна поверхности (как я понял Вашу терминологию -- с термином "электрическое смещение" я не сталкивался), но я не понял вывода -- почему из этого следует постоянство поверностной плотности заряда. Например, ничто не мешает применить это же рассуждение к упомянутому Someone эллипсоиду, для которого плотость зависит от координаты.

У элепсоида плотность зависит от координаты в связи с изменением радиуса поверхности элипсоида.
Соответственно меняется и электрическая напряженность.
В цепочке единичных зарядов, радиус остается неизменным, что требует неизменности напряженности поля, при движении вдоль цепочки (вдоль эквипотенциальной поверхности) и, как следствие, неизменности плотности заряда (теорема Остроградского-Гаусса).
Производная от градиента скалярного потенциала по нормали к нему (в эквипотенциальной плоскости) должна быть тождественно равна нулю, как rotgrad$\phi$

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

конечности величины плотности заряда

Плотность в данных расчетах бесконечна.

Зиновий писал(а):

Из представленных Аурелиано, от Вашего имени, графиков,следует неограниченный рост плотности заряда при приближении к концам цепочки.

1) Аурелиано Буэндиа ничего от моего имени не представлял. Он представил свои графики, используя предоставленные мной данные. Что не одно и тоже.
2) Из графиков ничего не следует. Уже в силу того, что мы имеем конечную систему зарядов в каждом конкретном случае. Экстраполяция мне не представляется обоснованной.
3) Может быть, Вы сумеете найти время просмотреть исходные данные? Я с удовольствием отвечу на все вопросы, которые у Вас могут возникнуть.

Зиновий писал(а):

В цепочке единичных зарядов, радиус остается неизменным, что требует неизменности напряженности поля, при движении вдоль цепочки (вдоль эквипотенциальной поверхности)

Только при условии непрерывности заряда. В данном случае оно заведомо не выполняется -- заряды рассматриваются как дискретные.

Кроме того, я не очень понимаю Вас -- вероятно основательно подзабыл элементарную физику. Мне казалось, что для эквипотенциальной поверхности выполняется требование ортогональности поверхности и напряфженности поля. Но не постоянства напряженности. Далее, даже из постоянства напряженности вывод о постоянстве плотности мне не понятен. Я готов согласится с Вами, что существуют частные случаи, когда это так, но почему это так в нашем случае?

[незваный гость]

Обещанные графики:
1) $\frac{q(-1,x)}{Q}$

Все линии почти сливаются в прямую...

2) Выделяем нелинейную компоненту: $\frac{q(-1,x)}{Q} - \frac{x+1}{2}$


3) Нормируем: $n^{1/6}\left(\frac{q(-1,x)}{Q} - \frac{x+1}{2}\right)$. Тонкая линия -- $\frac{x\sqrt{1-x^2}}{13}$


4) Моя попытка отобразить "усредненную" плотность заряда. Точки разного цвета, разкмеется, соответствуют разным $n$.


Nota bene! -- графики большого размера. Может быть нужно щелкнуть по картинке даже на сайте imageshack.

[Mopnex]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

незванный гость писал(а):

Может, кому будет интересно какие-то другие графики построить...

Плотность заряда (из вычислений Незванного гостя):

Таким образом, из Ваших вычислений следует, что с плотность в центре увеличивается с ростом $n$? Занятно.

А что удивительного в том, что плотность в центре растет с ростом n?

[Аурелиано Буэндиа]

Mopnex писал(а):

А что удивительного в том, что плотность в центре растет с ростом n?

Пока мне нечего ответить.

незванный гость, мне просто интересно, что за численную схему Вы использовали? Иттерационную?
Доказывали ли Вы еe сходимисть?

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

В цепочке единичных зарядов, радиус остается неизменным, что требует неизменности напряженности поля, при движении вдоль цепочки (вдоль эквипотенциальной поверхности)

Только при условии непрерывности заряда. В данном случае оно заведомо не выполняется -- заряды рассматриваются как дискретные.

Т.е. Вы серьзно полагаете, что из дискретности электрического заряда однозначно следует и дискретность электрического поля?

незванный гость писал(а):

Кроме того, я не очень понимаю Вас -- вероятно основательно подзабыл элементарную физику.

Вы не "основательно подзабыл элементарную физику", а вообще незнакомы с математической физикой, в частности с "теория поля".
Вам незнакомы такие понятия как rot, div, grad (пространственно-временные инварианты поля), а следовательно, и их свойства.

незванный гость писал(а):

Мне казалось, что для эквипотенциальной поверхности выполняется требование ортогональности поверхности и напряфженности поля. Но не постоянства напряженности.

Вам не верно "казалось".
См. "Теоремы о градиенте".

незванный гость писал(а):

Далее, даже из постоянства напряженности вывод о постоянстве плотности мне не понятен. Я готов согласится с Вами, что существуют частные случаи, когда это так, но почему это так в нашем случае?

Ну, если, Вы полагаете "частным случаем" то, что выполняется всегда, то, как говорится, "Флаг Вам в руки!" (кстати "о Хэмингуэйе")
См. "Теорема Остроградского-Гаусса".

P.s.
Вектор электрического смещения (иногда, электрической индукции) D=\epsilon\epsilon_0E.
Где E - вектор электрической напряженности.

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

незванный гость, мне просто интересно, что за численную схему Вы использовали? Иттерационную?
Доказывали ли Вы еe сходимисть?

Я -- циник, и, как и говорил, пошел путем наименьшего сопротивления. Вся функция генерации заняла десятка полтора строк в Математике, и я готов положить куда-нибудь notebook, если кому либо интересно посмотреть/поиграть (на самом деле, буду даже рад -- вдруг где-нибудь напартачил. Один глаз хорошо, а три -- лучше). Ключевая операция -- FindRoot[]. Остальное -- составление списка переменных и уравнений. У Математики есть еще и то достоинство, что она эффективно отслеживает сходимость и точность вычислений, выдавая ошибку при потере точности.

Mopnex писал(а):

А что удивительного в том, что плотность в центре растет с ростом n?

Это противоречит идее, что заряд стекает к концам. То есть, численный эксперимент эту идею пока не подтверждает.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Т.е. Вы серьзно полагаете, что из дискретности электрического заряда однозначно следует и дискретность электрического поля?

Нет, разумеется. Но из дискретности заряда следует, что а) существуют точки потери гладкости поля, и б) требование ортогональности градиента существует не везде, а только в точках расположения заряда.

Зиновий писал(а):

...вообще незнакомы...

На остальное -- увы, могу только :oops:. Правда Ваша, дифференциальные операторы с седьмого класса забыл начисто ( grad: $\nabla$ примененная к скалярному полю, rot: векторное произведение $\nabla$ и векторного поля, div: скалярное произведение $\nabla$ и векторного поля. Ой! опять все перепутал) ... Но как-то не понял, к чему это? Что, есть выкладки, читая которые я ляп сделал? Или неправильно манипулирую ими в своих выкладках? Ссылки на авторитеты -- это хорошо, но я упрямо интересуюсь только решением конкретной задачи. Если Вы считаете, что я это решение понять не смогу из-за незнания векторного исчисления -- это не великая проблема. Здесь есть немало физиков, которые живо вправят мне мозги, и объяснят мне, что проблема не в решении, а в моей тупости. Осталось дело за малым -- за решением.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

...вообще незнакомы...

На остальное -- увы, могу только :oops:. Правда Ваша, дифференциальные операторы с седьмого класса забыл начисто ( grad: $\nabla$ примененная к скалярному полю, rot: векторное произведение $\nabla$ и векторного поля, div: скалярное произведение $\nabla$ и векторного поля. Ой! опять все перепутал) ... Но как-то не понял, к чему это? Что, есть выкладки, читая которые я ляп сделал? Или неправильно манипулирую ими в своих выкладках? Ссылки на авторитеты -- это хорошо, но я упрямо интересуюсь только решением конкретной задачи. Если Вы считаете, что я это решение понять не смогу из-за незнания векторного исчисления -- это не великая проблема. Здесь есть немало физиков, которые живо вправят мне мозги, и объяснят мне, что проблема не в решении, а в моей тупости. Осталось дело за малым -- за решением.

Дело не в "тупости".
Дело в "безграмотности", закрепленной самовлюбленностью.
На какие "ссылки на авторитеты" в моем сообщении Вы намекаете?
Это что ли на "Теорема Острградского-Гаусса", или "Теоремы о градиенте"?
Ну, если "теоремы" Вы воспринимаете, исключительно, как "авторитеты", тогда продолжайте в том же духе.
Не хотел Вас беспокоить.
Вас ждут удивительные решения Вашей задачи.
Судя по реакции аудитории, единственный, кто сможет донести до Вас некоторые особенности означенных теорем, судя по прошедшему с ним обсуждению, это Someone, если конечно решится.
Насчет действий оператора "набла", Ваши познания основ векторного анализа столь глубоки, что, полагаю, Вы еще долго будете решать свою задачу.
Желаю удачи.

Зиновий, Вам строгое предупреждение за переход на личности, оффтопик и флейм. Больше предупреждений не будет.//photon

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Hа какие "ссылки на авторитеты" в моем сообщении Вы намекаете?

Этот не риторический вопрос, потому отвечу на него:

первая:

Зиновий писал(а):

Весь этот материал излагается во всех учебниках и переписывать его здесь у меня нет никакого желания.
Но, коль скоро Вы нуждаетесь в этом материале, то я готов Вам его предоставить в официально законченном виде и, если у Вас после этого возникнут вопросы, выносите их на обсуждение.
"Электричество" С.Г.Калашников, параграф 13, "Теорема Остроградского-Гаусса" - параграф 32, "Емкость простых конденсаторов".

вторая:

Зиновий писал(а):

Вы полагете, что мало бумаги исписано известными формулами и теперь я должен терять свое время на переписывание формул в и-нет?
Извините, я дал материал.
Указал как им пользоваться.
Готов проконсультировать по возникшим вопросам применения указанного материала.
Готов говорить о физических проблемах теории электричества.
А переписывать формулы и сканер умеет.

И позвольте повторить призыв: давайте заниматься физикой! решить задачу гораздо интереснее, чем обсуждать друг друга.

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

Мне казалось, что для эквипотенциальной поверхности выполняется требование ортогональности поверхности и напряфженности поля. Но не постоянства напряженности.

Зиновий писал(а):

Вам не верно "казалось".
См. "Теоремы о градиенте".

Зиновий писал(а):

Дело не в "тупости".
Дело в "безграмотности", закрепленной самовлюбленностью

Зиновий, ну чего Вы прицепились к незванному гостю? Вы что не заметили, что его ник уже пишется другим цветом? Вы же сами лыка не вяжете в электродинамике. Ну хорошо, докажите что на эквипотенциальной поверхности $|\vec{E}|=\hbox{const}$. И заодно объясните почему на заряженном эллипсоиде, который является еще и эквипотенциальной поверхностью, напряженность $E(x)=\hbox{const}\sigma(x)=\hbox{const}\frac{q\sqrt{l^2+R^2}}{4\pi R\sqrt{(l^2+R^2)^2-l^2x^2}}$ электрического поля в разных точках разная.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

Hа какие "ссылки на авторитеты" в моем сообщении Вы намекаете?

Этот не риторический вопрос, потому отвечу на него:

первая:

Зиновий писал(а):

Весь этот материал излагается во всех учебниках и переписывать его здесь у меня нет никакого желания.
Но, коль скоро Вы нуждаетесь в этом материале, то я готов Вам его предоставить в официально законченном виде и, если у Вас после этого возникнут вопросы, выносите их на обсуждение.
"Электричество" С.Г.Калашников, параграф 13, "Теорема Остроградского-Гаусса" - параграф 32, "Емкость простых конденсаторов".

вторая:

Зиновий писал(а):

Вы полагете, что мало бумаги исписано известными формулами и теперь я должен терять свое время на переписывание формул в и-нет?
Извините, я дал материал.
Указал как им пользоваться.
Готов проконсультировать по возникшим вопросам применения указанного материала.
Готов говорить о физических проблемах теории электричества.
А переписывать формулы и сканер умеет.

И позвольте повторить призыв: давайте заниматься физикой! решить задачу гораздо интереснее, чем обсуждать друг друга.

1. Уточните пожалуйста, что в передставленных материалах Вы воспринимаете, как "ссылки на авторитеты":
а. Калашников.
б. Остроградский-Гаусс.
в. Теорема.
Если можно, конкретно.
В дальнейшей дискуссии (конечно, если мое участие представляет интерес для аудитории, а не является помехой), рассматривая решения, я буду вынужден ссылаться на соответствующие теоремы.
Это будет восприниматься как "ссылки на авторитеты"?
Или я должен буду переписывать на форум доказательства этих теорем, не имея право ссылаться на соответствующую литературу?
Нужно определиться в форме ведения дискуссии по данному вопросу.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Уточните пожалуйста, что в передставленных материалах Вы воспринимаете, как "ссылки на авторитеты":
а. Калашников.
б. Остроградский-Гаусс.
в. Теорема.
Если можно, конкретно.

"Ссылкой на авторитеты" я называю неконструктивный ответ на вопрос, как применяется теорема в конкретном случае. Иногда такой вопрос может включать в себя и формулировку теоремы, и определения используемых понятий (если они не являются общеизвестными. При этом "общеизвестность" -- понятие относительное, и то, что общеизвестно академикам может быть не общеизвестно школьнику, участвующему в обсуждении).

Теорема -- это хорошо. Почему и как она применима в данном конкретном случае -- это вопрос обоснованности рассуждений. Посылать учиться в ответ на подобные вопросы -- не очень убедительный ответ.

Я не думаю, что кто-либо выиграет от превращения форума в курс лекций. Но Вы ссылались на Someone? В этой теме Someone сослался на учебник матфизики, и продолжил рассуждение с точки, где учебник остановился. Он показал, как результат из учебника подходит и не походит к данной конкретной задаче. Те, у кого были вопросы, полезли в учебник (я лазил) и посмотрели детали.