Магические квадраты

[shwedka]

Schraube в сообщении #212134 писал(а):

А Вы с ним знакомы

Нет, не знакома, только что от Вас узнала о его существовании.
А электронные материалы вполне могли остаться. Он уезжал когда уже можно было все вывозить Ведь легче везти дискету, чем фолиант.. Спишитесь с ним, плиз, и выведите на Nataly-Mak. Могут найтись общие интересы.

Не может ли этот том Lecture Notes быть его диссертацией?

MR0818740 (87k:05038)
Agaian, S. S.(2-AOSAR-C)
Hadamard matrices and their applications.
Lecture Notes in Mathematics, 1168. Springer-Verlag, Berlin, 1985. iii+227 pp. ISBN: 3-540-16056-6


This book is timely and the contents are interesting, covering: §1. Basic definitions, notations and auxiliary results. Chapter 1. Construction of classic Hadamard matrices. §2. Methods of construction for Hadamard matrices. §3. Some problems of construction for Hadamard matrices. §4. New method for Hadamard matrices construction. Chapter 2. Construction of generalized Hadamard matrices. §5. Generalized Hadamard matrices. §6. Construction of higher-dimensional Hadamard matrices. Chapter 3. Application of Hadamard matrices. §7. Hadamard matrices and problems of information theory. §8. Hadamard matrices and design theory. §9. Other applications of Hadamard matrices. Appendix 1. Unanswered problems. Appendix 2. Tables of block-circulant, block-symmetric (plane and high-dimensional) Hadamard matrices of order $(4n)$. References. Subject Index.

{Reviewer's remarks: There are many errors of proofreading, translation and actual content. For example, the definition of hyperframe given in Definition 6, p. 8 (which would be sets of amicable matrices which very rarely exist in interesting cases) contradicts that implied in Statement 3.7, p. 69 (which would be a special case of orthogonal designs). Another example is that the reviewer is referred to as ``he'' and her work attributed incorrectly to \n W. D. Wallis\en (p. 2 and p. 21). The reviewer compiled a partial list of 11 pages of errors.}

или, может, эта книга? Я-то в таких вещах не разбираюсь....


Agaian, S.(AR-AOS-DS); Astola, J.(FIN-TUT-SG); Egiazarian, K.(FIN-TUT-SG)
Binary polynomial transforms and nonlinear digital filters.
Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 191. Marcel Dekker, Inc., New York, 1995. xx+302 pp. ISBN: 0-8247-9642-X


In digital signal/image processing problems an enormous amount of data has to be handled, most often in real time. Linear and nonlinear techniques are used where the latter often rely on efficient linear methods. This observation is the main incentive followed by the authors in the compilation of this monograph.

Nonlinear filters are much better in handling non-Gaussian noise. Many of the nonlinear filters can be analysed with Boolean functions. For example, stack filters, which include median and order statistics filters, can be described by positive Boolean functions. Many methods in digital logic use exhaustive search techniques which are infeasible for practical applications. The authors propose spectral techniques as an alternative. These involve the computations of correlation functions, power spectra, etc. which are the digital analogues of their classical continuous counterparts. These spectral techniques allow one to solve several Boolean optimization problems such as, e.g., the construction of a minimal conjunctive normal form. The efficiency depends essentially on how efficiently the spectral information can be calculated. Therefore efficient algorithms for binary polynomial transforms form the building blocks for the whole construction proposed here.

This outline of the strategy followed in this book leads naturally to three parts in the monograph. First, a thorough analysis of fast algorithms for binary polynomial transforms (e.g. Walsh and Rademacher) is given. Next, these algorithms are used for spectral techniques in the analysis of Boolean functions and finally, these are applied to construct nonlinear stack filters for signal and image processing.

The style of the book is strongly mathematical and deductive. First the most general formulation is given and then restricted to the special cases. This will be more appealing to mathematicians than to the practical engineer. The book is practically oriented in the sense that many detailed algorithms are given but not so practical that examples of how the algorithms perform on signals or images are given. For a good understanding of the material some knowledge of Boolean algebra and statistics is necessary.

[Nataly-Mak]

Вчера построила вариант квази-совершенного латинского квадрата 36-го порядка. Он получился гораздо гармоничнее первого варианта, показанного здесь. Однако он тоже недиагональный. Вот этот квадрат:

0 6 12 18 24 30 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35
1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 0 6 12 18 24 30 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 3 9 15 21 27 33
2 8 14 20 26 32 0 6 12 18 24 30 1 7 13 19 25 31 5 11 17 23 29 35 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34
3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 0 6 12 18 24 30 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32
4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 3 9 15 21 27 33 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 0 6 12 18 24 30
5 11 17 23 29 35 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 2 8 14 20 26 32 0 6 12 18 24 30 1 7 13 19 25 31
6 12 0 24 30 18 7 13 1 25 31 19 8 14 2 26 32 20 9 15 3 27 33 21 10 16 4 28 34 22 11 17 5 29 35 23
7 13 1 25 31 19 8 14 2 26 32 20 6 12 0 24 30 18 10 16 4 28 34 22 11 17 5 29 35 23 9 15 3 27 33 21
8 14 2 26 32 20 6 12 0 24 30 18 7 13 1 25 31 19 11 17 5 29 35 23 9 15 3 27 33 21 10 16 4 28 34 22
9 15 3 27 33 21 10 16 4 28 34 22 11 17 5 29 35 23 6 12 0 24 30 18 7 13 1 25 31 19 8 14 2 26 32 20
10 16 4 28 34 22 11 17 5 29 35 23 9 15 3 27 33 21 7 13 1 25 31 19 8 14 2 26 32 20 6 12 0 24 30 18
11 17 5 29 35 23 9 15 3 27 33 21 10 16 4 28 34 22 8 14 2 26 32 20 6 12 0 24 30 18 7 13 1 25 31 19
12 0 6 30 18 24 13 1 7 31 19 25 14 2 8 32 20 26 15 3 9 33 21 27 16 4 10 34 22 28 17 5 11 35 23 29
13 1 7 31 19 25 14 2 8 32 20 26 12 0 6 30 18 24 16 4 10 34 22 28 17 5 11 35 23 29 15 3 9 33 21 27
14 2 8 32 20 26 12 0 6 30 18 24 13 1 7 31 19 25 17 5 11 35 23 29 15 3 9 33 21 27 16 4 10 34 22 28
15 3 9 33 21 27 16 4 10 34 22 28 17 5 11 35 23 29 12 0 6 30 18 24 13 1 7 31 19 25 14 2 8 32 20 26
16 4 10 34 22 28 17 5 11 35 23 29 15 3 9 33 21 27 13 1 7 31 19 25 14 2 8 32 20 26 12 0 6 30 18 24
17 5 11 35 23 29 15 3 9 33 21 27 16 4 10 34 22 28 14 2 8 32 20 26 12 0 6 30 18 24 13 1 7 31 19 25
18 24 30 0 6 12 19 25 31 1 7 13 20 26 32 2 8 14 21 27 33 3 9 15 22 28 34 4 10 16 23 29 35 5 11 17
19 25 31 1 7 13 20 26 32 2 8 14 18 24 30 0 6 12 22 28 34 4 10 16 23 29 35 5 11 17 21 27 33 3 9 15
20 26 32 2 8 14 18 24 30 0 6 12 19 25 31 1 7 13 23 29 35 5 11 17 21 27 33 3 9 15 22 28 34 4 10 16
21 27 33 3 9 15 22 28 34 4 10 16 23 29 35 5 11 17 18 24 30 0 6 12 19 25 31 1 7 13 20 26 32 2 8 14
22 28 34 4 10 16 23 29 35 5 11 17 21 27 33 3 9 15 19 25 31 1 7 13 20 26 32 2 8 14 18 24 30 0 6 12
23 29 35 5 11 17 21 27 33 3 9 15 22 28 34 4 10 16 20 26 32 2 8 14 18 24 30 0 6 12 19 25 31 1 7 13
24 30 18 6 12 0 25 31 19 7 13 1 26 32 20 8 14 2 27 33 21 9 15 3 28 34 22 10 16 4 29 35 23 11 17 5
25 31 19 7 13 1 26 32 20 8 14 2 24 30 18 6 12 0 28 34 22 10 16 4 29 35 23 11 17 5 27 33 21 9 15 3
26 32 20 8 14 2 24 30 18 6 12 0 25 31 19 7 13 1 29 35 23 11 17 5 27 33 21 9 15 3 28 34 22 10 16 4
27 33 21 9 15 3 28 34 22 10 16 4 29 35 23 11 17 5 24 30 18 6 12 0 25 31 19 7 13 1 26 32 20 8 14 2
28 34 22 10 16 4 29 35 23 11 17 5 27 33 21 9 15 3 25 31 19 7 13 1 26 32 20 8 14 2 24 30 18 6 12 0
29 35 23 11 17 5 27 33 21 9 15 3 28 34 22 10 16 4 26 32 20 8 14 2 24 30 18 6 12 0 25 31 19 7 13 1
30 18 24 12 0 6 31 19 25 13 1 7 32 20 26 14 2 8 33 21 27 15 3 9 34 22 28 16 4 10 35 23 29 17 5 11
31 19 25 13 1 7 32 20 26 14 2 8 30 18 24 12 0 6 34 22 28 16 4 10 35 23 29 17 5 11 33 21 27 15 3 9
32 20 26 14 2 8 30 18 24 12 0 6 31 19 25 13 1 7 35 23 29 17 5 11 33 21 27 15 3 9 34 22 28 16 4 10
33 21 27 15 3 9 34 22 28 16 4 10 35 23 29 17 5 11 30 18 24 12 0 6 31 19 25 13 1 7 32 20 26 14 2 8
34 22 28 16 4 10 35 23 29 17 5 11 33 21 27 15 3 9 31 19 25 13 1 7 32 20 26 14 2 8 30 18 24 12 0 6
35 23 29 17 5 11 33 21 27 15 3 9 34 22 28 16 4 10 32 20 26 14 2 8 30 18 24 12 0 6 31 19 25 13 1 7

Хотя квадрат недиагональный, но суммы чисел в главных диагоналях равны суммам чисел в строках и в столбцах. Более того, и в разломанных диагоналях суммы чисел равны тому же значению, то есть квадрат обладает свойством пандиагональности. Квадрат состоит из подквадратов 6х6, которые (согласно данному выше определению совершенного латинского квадрата) такие, как должны быть, то есть они заполнены разными числами от 0 до 35. Это как раз нетрадиционные латинские квадраты порядка 6 (согласно данному мной определению). Чрезвычайно интересно, можно ли построить для такого нетрадиционного латинского квадрата 6-го порядка ортогональный соквадрат? Если ответ положительный, тогда и к построенному квадрату 36-го порядка можно будет построить ортогональный соквадрат. Покажу этот нетрадиционный латинский квадрат 6-го порядка:

0 6 12 18 24 30
1 7 13 19 25 31
2 8 14 20 26 32
3 9 15 21 27 33
4 10 16 22 28 34
5 11 17 23 29 35

Все остальные подквадраты в квадрате 36-го порядка (которые описываются в определении) являются вариантами этого квадрата 6х6.
Здорово меня зацепил совершенный латинский квадрат 36-го порядка! Пока не знаю, существует ли он вообще. Построила уже три варианта квази-совершенных ЛК. Два из них здесь показаны.
Ну, вот нашёлся армянин, который занимался (а может, и сейчас занимается) латинскими квадратами. Может быть, и в России такой человек найдётся? Кроме меня, конечно
Я хотела сама написать Агаяну, но подумала, что не стоит торопить события…
shwedka, статью Гергели вчера бегло посмотрела, она представляет несомненную ценность, хотя в ней строятся одиночные диагональные ЛК.

[Schraube]

shwedka

первая книга - похоже , что сильно пересекается с главой его докторской.
про вторую ничего не могу сказать - его оригинальных статей на эту тему не видел.
Но ее содержание, имхо, не "латинское"
Вообще-то он занимался синтезом быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований (ДОП).
Латинские квадраты - средство, но не самоцель.
Он вообще много преобразований предложил/исследовал.
Работают плохо, но быстро

[Nataly-Mak]

Метод составных квадратов дал прекрасный ЛК 36-го порядка. Он диагональный, но есть опять одно но: по определению он должен состоять из подквадратов 6х6 (расположенных в строгом порядке), в которых все числа различны. Построенный мной латинский квадрат состоит из более мелких подквадратов 3х3 (тоже расположенных в строгом порядке), состоящих из разных чисел. Можно ли считать этот квадрат совершенным? И существует ли совершенный ЛК 36-го порядка в точном соответствии с приведённым выше определением? Ну, подключитесь же, кто-нибудь!
Вот ЛК 36-го порядка, построенный методом составных квадратов (на базе совершенных квадратов 4-го и 9-го порядков):

0 3 6 1 4 7 2 5 8 18 21 24 19 22 25 20 23 26 9 12 15 10 13 16 11 14 17 27 30 33 28 31 34 29 32 35
2 5 8 0 3 6 1 4 7 20 23 26 18 21 24 19 22 25 11 14 17 9 12 15 10 13 16 29 32 35 27 30 33 28 31 34
1 4 7 2 5 8 0 3 6 19 22 25 20 23 26 18 21 24 10 13 16 11 14 17 9 12 15 28 31 34 29 32 35 27 30 33
3 6 0 4 7 1 5 8 2 21 24 18 22 25 19 23 26 20 12 15 9 13 16 10 14 17 11 30 33 27 31 34 28 32 35 29
5 8 2 3 6 0 4 7 1 23 26 20 21 24 18 22 25 19 14 17 11 12 15 9 13 16 10 32 35 29 30 33 27 31 34 28
4 7 1 5 8 2 3 6 0 22 25 19 23 26 20 21 24 18 13 16 10 14 17 11 12 15 9 31 34 28 32 35 29 30 33 27
6 0 3 7 1 4 8 2 5 24 18 21 25 19 22 26 20 23 15 9 12 16 10 13 17 11 14 33 27 30 34 28 31 35 29 32
8 2 5 6 0 3 7 1 4 26 20 23 24 18 21 25 19 22 17 11 14 15 9 12 16 10 13 35 29 32 33 27 30 34 28 31
7 1 4 8 2 5 6 0 3 25 19 22 26 20 23 24 18 21 16 10 13 17 11 14 15 9 12 34 28 31 35 29 32 33 27 30
27 30 33 28 31 34 29 32 35 9 12 15 10 13 16 11 14 17 18 21 24 19 22 25 20 23 26 0 3 6 1 4 7 2 5 8
29 32 35 27 30 33 28 31 34 11 14 17 9 12 15 10 13 16 20 23 26 18 21 24 19 22 25 2 5 8 0 3 6 1 4 7
28 31 34 29 32 35 27 30 33 10 13 16 11 14 17 9 12 15 19 22 25 20 23 26 18 21 24 1 4 7 2 5 8 0 3 6
30 33 27 31 34 28 32 35 29 12 15 9 13 16 10 14 17 11 21 24 18 22 25 19 23 26 20 3 6 0 4 7 1 5 8 2
32 35 29 30 33 27 31 34 28 14 17 11 12 15 9 13 16 10 23 26 20 21 24 18 22 25 19 5 8 2 3 6 0 4 7 1
31 34 28 32 35 29 30 33 27 13 16 10 14 17 11 12 15 9 22 25 19 23 26 20 21 24 18 4 7 1 5 8 2 3 6 0
33 27 30 34 28 31 35 29 32 15 9 12 16 10 13 17 11 14 24 18 21 25 19 22 26 20 23 6 0 3 7 1 4 8 2 5
35 29 32 33 27 30 34 28 31 17 11 14 15 9 12 16 10 13 26 20 23 24 18 21 25 19 22 8 2 5 6 0 3 7 1 4
34 28 31 35 29 32 33 27 30 16 10 13 17 11 14 15 9 12 25 19 22 26 20 23 24 18 21 7 1 4 8 2 5 6 0 3
18 21 24 19 22 25 20 23 26 0 3 6 1 4 7 2 5 8 27 30 33 28 31 34 29 32 35 9 12 15 10 13 16 11 14 17
20 23 26 18 21 24 19 22 25 2 5 8 0 3 6 1 4 7 29 32 35 27 30 33 28 31 34 11 14 17 9 12 15 10 13 16
19 22 25 20 23 26 18 21 24 1 4 7 2 5 8 0 3 6 28 31 34 29 32 35 27 30 33 10 13 16 11 14 17 9 12 15
21 24 18 22 25 19 23 26 20 3 6 0 4 7 1 5 8 2 30 33 27 31 34 28 32 35 29 12 15 9 13 16 10 14 17 11
23 26 20 21 24 18 22 25 19 5 8 2 3 6 0 4 7 1 32 35 29 30 33 27 31 34 28 14 17 11 12 15 9 13 16 10
22 25 19 23 26 20 21 24 18 4 7 1 5 8 2 3 6 0 31 34 28 32 35 29 30 33 27 13 16 10 14 17 11 12 15 9
24 18 21 25 19 22 26 20 23 6 0 3 7 1 4 8 2 5 33 27 30 34 28 31 35 29 32 15 9 12 16 10 13 17 11 14
26 20 23 24 18 21 25 19 22 8 2 5 6 0 3 7 1 4 35 29 32 33 27 30 34 28 31 17 11 14 15 9 12 16 10 13
25 19 22 26 20 23 24 18 21 7 1 4 8 2 5 6 0 3 34 28 31 35 29 32 33 27 30 16 10 13 17 11 14 15 9 12
9 12 15 10 13 16 11 14 17 27 30 33 28 31 34 29 32 35 0 3 6 1 4 7 2 5 8 18 21 24 19 22 25 20 23 26
11 14 17 9 12 15 10 13 16 29 32 35 27 30 33 28 31 34 2 5 8 0 3 6 1 4 7 20 23 26 18 21 24 19 22 25
10 13 16 11 14 17 9 12 15 28 31 34 29 32 35 27 30 33 1 4 7 2 5 8 0 3 6 19 22 25 20 23 26 18 21 24
12 15 9 13 16 10 14 17 11 30 33 27 31 34 28 32 35 29 3 6 0 4 7 1 5 8 2 21 24 18 22 25 19 23 26 20
14 17 11 12 15 9 13 16 10 32 35 29 30 33 27 31 34 28 5 8 2 3 6 0 4 7 1 23 26 20 21 24 18 22 25 19
13 16 10 14 17 11 12 15 9 31 34 28 32 35 29 30 33 27 4 7 1 5 8 2 3 6 0 22 25 19 23 26 20 21 24 18
15 9 12 16 10 13 17 11 14 33 27 30 34 28 31 35 29 32 6 0 3 7 1 4 8 2 5 24 18 21 25 19 22 26 20 23
17 11 14 15 9 12 16 10 13 35 29 32 33 27 30 34 28 31 8 2 5 6 0 3 7 1 4 26 20 23 24 18 21 25 19 22
16 10 13 17 11 14 15 9 12 34 28 31 35 29 32 33 27 30 7 1 4 8 2 5 6 0 3 25 19 22 26 20 23 24 18 21

Этот квадрат, как и все ранее построенные совершенные ЛК, обладает свойством пандиагональности. К нему легко построить ортогональный соквадрат (тоже методом составных квадратов), который обладает такими же свойствами. Полученная пара ОЛК даёт два пандиагональных магических квадрата.

-- Сб май 16, 2009 08:36:42 --

В статье “Doubly diagonalized latin squares” (Ervin Gergely) приводится метод построения диагональных латинских квадратов (ДЛК).
Для порядков вида $n = 2k$ ДЛК составляется из четырёх ДЛК порядка $k$. Как конструируются эти латинские квадраты, мне удалось понять только для случая, когда $k$ нечётное число не кратное 3. В статье приведён пример построение ДЛК порядка 10. Именно по аналогии с этим примером я построила ДЛК порядка 14, 22, 26. Можно продолжить для следующих порядков, если $k$ нечётное число не кратное 3. Покажу один пример, ДЛК 26-го порядка:

1 15 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 2 14
2 3 17 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 0 25 24 23 22 21 20 19 18 4 16 15
3 4 5 19 7 8 9 10 11 12 13 1 2 15 14 0 25 24 23 22 21 20 6 18 17 16
4 5 6 7 21 9 10 11 12 13 1 2 3 16 15 14 0 25 24 23 22 8 20 19 18 17
5 6 7 8 9 23 11 12 13 1 2 3 4 17 16 15 14 0 25 24 10 22 21 20 19 18
6 7 8 9 10 11 25 13 1 2 3 4 5 18 17 16 15 14 0 12 24 23 22 21 20 19
7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5 6 19 18 17 16 15 1 0 25 24 23 22 21 20
8 9 10 11 12 13 1 2 16 4 5 6 7 20 19 18 17 3 15 14 0 25 24 23 22 21
9 10 11 12 13 1 2 3 4 18 6 7 8 21 20 19 5 17 16 15 14 0 25 24 23 22
10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 20 8 9 22 21 7 19 18 17 16 15 14 0 25 24 23
11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 22 10 23 9 21 20 19 18 17 16 15 14 0 25 24
12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 11 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 0 25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
25 0 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 24 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 12
24 25 0 14 15 16 17 18 19 20 21 9 23 10 22 8 7 6 5 4 3 2 1 13 12 11
23 24 25 0 14 15 16 17 18 19 7 21 22 9 8 20 6 5 4 3 2 1 13 12 11 10
22 23 24 25 0 14 15 16 17 5 19 20 21 8 7 6 18 4 3 2 1 13 12 11 10 9
21 22 23 24 25 0 14 15 3 17 18 19 20 7 6 5 4 16 2 1 13 12 11 10 9 8
20 21 22 23 24 25 0 1 15 16 17 18 19 6 5 4 3 2 14 13 12 11 10 9 8 7
19 20 21 22 23 24 12 0 14 15 16 17 18 5 4 3 2 1 13 25 11 10 9 8 7 6
18 19 20 21 22 10 24 25 0 14 15 16 17 4 3 2 1 13 12 11 23 9 8 7 6 5
17 18 19 20 8 22 23 24 25 0 14 15 16 3 2 1 13 12 11 10 9 21 7 6 5 4
16 17 18 6 20 21 22 23 24 25 0 14 15 2 1 13 12 11 10 9 8 7 19 5 4 3
15 16 4 18 19 20 21 22 23 24 25 0 14 1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 17 3 2
14 2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 15 1
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ДЛК порядка 12 (в этом случае $k = 6$) мне построить не удалось. Не могу понять, как в этом случае составлять квадраты 6х6.
Вполне возможно, что в тексте статьи это написано, но я не понимаю английский текст.
Прошу помочь разобраться с этим. Статью Гергели могу прислать.
Смотрите статью о диагональных латинских квадратах: http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm

-- Сб май 16, 2009 12:50:45 --

Додумалась!
Вот он - диагональный латинский квадрат 12-го порядка:

1 8 3 4 5 6 0 11 10 9 2 7
5 3 0 1 4 2 8 10 7 6 9 11
10 1 5 2 6 3 9 0 8 11 7 4
2 4 1 6 9 5 11 3 0 7 10 8
6 5 4 3 2 7 1 8 9 10 11 0
3 6 2 11 1 4 10 7 5 8 0 9
0 11 10 9 8 1 7 2 3 4 5 6
8 10 7 0 3 11 5 9 6 1 4 2
9 0 8 5 7 10 4 1 11 2 6 3
11 9 6 7 10 8 2 4 1 0 3 5
7 2 9 10 11 0 6 5 4 3 8 1
4 7 11 8 0 9 3 6 2 5 1 10

Сейчас попробую построить ДЛК 18-го порядка методом Гергели (вообще-то ДЛК 18-го порядка у меня уже есть, даже пара ОДЛК).
Повторю просьбу помочь найти статью: А. В. Назарок. Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26. \\ Комбинаторный анализ. Выпуск 32. М.: МГУ, 1989 г. (страницы предположительно 154 - 168). Неужели никто не имеет доступ в электронную библиотеку МГУ? А в бумажную библиотеку? ПОЖАЛУЙСТА, помогите! Очень хочется увидеть эту статью.

-- Вт май 19, 2009 14:03:04 --

А что у вас? Это я на одном форуме такую тему однажды завела.
А у меня всё опять застопорилось. Агаяну я написала, но он, конечно, не ответил (хотя письмо было очень вежливое ).
Очень нужную статью А. В. Назарка так и не нашла.
Schraube замолчал, хотя уже давно “после 15 мая” и в личку я ему написала.
Все остальные участники тоже в своих делах и заботах, и им нет никакого дела до моих квадратов.
У – у – у – у – у – у!!!
Кто-нибудь отзовитесь!
Метод Гергели для построения диагональных латинских квадратов исследовала, но не до конца. Все порядки по этому методу распались на такие группы:
1. $n = 2k$, $k$ нечётное число не кратное 3;
2. $n = 2k$, $k$ нечётное число кратное 3;
3. $n = 2k$, $k$ чётное число;
4. $n = 2k + 1$, $k$ нечётное число не кратное 3;
5. $n = 2k + 1$, $k$ нечётное число кратное 3;
6. $n = 2k + 1$, $k$ чётное число.

У меня получилось построение для случаев 1 – 4. Пункты 5 – 6 пока не поддаются. Надо думать. Перевода статьи Гергели у меня, конечно, нет. Действую наощупь, по интуиции, опираясь на два примера, приведённые в статье.
Статья о методе Гергели здесь: http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm
Вообще чудесные диагональные латинские квадратики получаются! Моя дочь, увидев на моём столе груду рукописей о квадратах, удивлённо воскликнула: “И это всё про одни числа?!” А знаете ли вы, какая в этих числах гармония и красота?
А вот постройте-ка кто-нибудь диагональный латинский квадрат 21-го порядка методом Гергели! Что же все здесь такие пассивные?
P. S. А хорошо вы придумали, что все посты одного автора, следующие подряд, объединяются в один пост На одном форуме участник сделал сообщений 20 подряд, и в каждом сообщении ведь фотография торчит. Скучное зрелище!

[Nataly-Mak]

Написала математическую новеллу “Простые числа”, чтобы немного отдохнуть от квадратов. Однако без квадратов всё равно не обошлось. В новелле есть главка “Магические квадраты из простых чисел”.
Мне удалось построить нетрадиционный идеальный бимагический квадрат 5-го порядка из простых чисел. Он порождает бесконечный ряд бимагических пандиагональных квадртатов. Вот этот квадрат:

3 19 17 11 5
11 5 3 19 17
19 17 11 5 3
5 3 19 17 11
17 11 5 3 19

Кроме того, построила нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка из различных простых чисел. Для этого просто исправила ошибки в квадрате, приведённом в книге Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С. – Петербург, 1995) (стр. 206). В квадрате Чебракова нет магической суммы в двух строках и в двух столбцах.
Это квадрат, построенный мной:

 2531 17 1409 1097 71 863 2069 23 1091
197 1319 2441 443 677 911 83 1061 2039
1229 2621 107 491 1283 257 1031 2099 53
1433 29 821 1811 137 1109 641 1583 1607
149 761 1373 317 1019 1721 2243 1277 311
701 1493 89 929 1901 227 947 971 1913
1487 431 1013 2339 173 1571 1307 11 839
503 977 1451 593 1361 2129 251 719 1187
941 1523 467 1151 2549 383 599 1427 131

В книге написано, что представленный квадрат является наименьшим из всех магических квадратов такого рода. Что имел в виду автор под “наименьшим”? Возможно, то, что у него минимальная магическая константа. У квадрата, построенного мной, точно такая же магическая константа (9171). Однако то, что она является наименьшей, совсем не очевидно. Кто-нибудь может это доказать?
И вообще, уважаемые коллеги, кто-нибудь может хоть что-то сказать в этой ветке? Или она уже давно обречена? А между прочим, есть немало интереснейших задач о магических квадратах. Недавно такая задачка даже появилась в Математическом марафоне, но уж очень простенькая.
Предлагаю такую задачу: доказать (или опровергнуть контрпримером), что представленный нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка из различных простых чисел действительно имеет минимальную магическую константу, то есть нельзя построить другой подобный квадрат с меньшей магической константой.

[anermak]

Nataly-Mak писал(а):

А может, кто-нибудь сам построит такие квадраты? Подключайтесь!

Я вообще, практически не знаком с ними, так на уровне школьного факультатива, решил написать, потому что мне вчера приснился один, ночью проснулся, записал. А утром проверять сел... Был удивлен, когда заметил, что этот квадрат на самом деле оказался магическим. Да и состоит из одних простых чисел оканчивающихся на 7.
Это конечно полная фигня по сравнению с квадратами Nataly-Mak, но все равно захотелось выложить, не каждый день такое бывает... может знак!!! попробую заняться ими посерьезнее...

[Nataly-Mak]

Классный квадратик!
Неужели правда во сне приснился?
А задачу с квадратом 9-го порядка не попробуете решить? Чтобы был заполнен различными простыми числами и имел магическую константу меньше, чем 9171 (как квадрат, показанный выше). Или же надо доказать, что такой квадрат построить невозможно.

[anermak]

Nataly-Mak в сообщении #223524 писал(а):

Неужели правда во сне приснился?

Сам в шоке еще второй был, только в нем цифр много было где-то 20-20 или больше - не запомнить, помню только, что оканчивались все числа на семерки...

Nataly-Mak в сообщении #223524 писал(а):

А задачу с квадратом 9-го порядка не попробуете решить?

Я в них слабо разбираюсь, но как поднаторею в мк обязательно попробую.

[Nataly-Mak]

И всё-таки это очень похоже на то, что вы меня разыгрываете

[Nataly-Mak]

Если вы серьёзно хотите заняться магическими квадратами, позвольте дать вам ссылки на самые свежие книги о МК на русском языке:

[8] Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995
[9] Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. – Санкт-Петербург: 2008 (электронная версия книги: http://chebrakov.narod.ru/ )

[10] Н. В. Макарова. Волшебный мир магических квадратов. 2009 г. http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

В моей книге вы найдёте большой список литературы и веб-сайтов.
В обеих книгах Чебракова приводится теория построения нетрадиционных магических квадратов из простых чисел.

[Nataly-Mak]

Написала статью Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел.
Ещё раз повторю задачу, которую мне пока не удалось решить.
В одном из предыдущих постов приведён нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка, построенный мной из квадрата, приведённого в книге Чебракова, путём исправления ошибок в этом квадрате. Чебраков утверждает, что приведённый им квадрат является наименьшим из квадратов подобного рода. Предполагаю, что под "наименьшим" автор имеет в виду то, что этот квадрат имеет минимальную магическую константу, возможную для квадратов подобного рода. Однако это утверждение в книге не доказывается. Вместе с тем, мне оно не кажется очевидным.
Задача состоит в том, чтобы доказать это утверждение или опровергнуть его контрпримером, то есть построить нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка, составленный из различных простых чисел, с магической константой меньшей, чем магическая константа приведённого квадрата (9171).

[Профессор Снэйп]

Я вот сейчас подумал: почему только квадраты изучают? А если число измерений больше двух? Бывают какие-нибудь магические кубы или что-то в этом роде?

[maxal]

Профессор Снэйп
бывают и кубы - см. http://cboyer.club.fr/multimagie//Engli ... tcubes.htm

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #226389 писал(а):

Профессор Снэйп
бывают и кубы - см. http://cboyer.club.fr/multimagie//Engli ... tcubes.htm

Да, есть и магические кубы. Вот закончу с квадратами и займусь изучением кубов
А закончить с квадратами пока не получается. Например, не построен совершенный латинский квадрат 36-го порядка, даже не знаю, существует ли он. Не найден алгоритм построения пар ортогональных латинских квадратов порядков $n = 6k + 2$. Не построены пары диагональных ортогональных латинских квадратов порядка 12 и 26 (мной не построены). Для порядка 26 построение есть в статье "Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26" (Назарок Андрей Владимирович. Комбинаторный анализ. Вып. 32. М.: МГУ, 1989 г.), которую ищу уже месяца 3 и никак не могу найти. Надоела с ней уже на всех форумах. Пока искала эту статью, ещё на одну наткнулась: Назарок А. В. Исследование ортогональных латинских квадратов и других комбинаторных конструкций:: автореферат дис. ... кандидата физико-математических наук: 01.01.09 / Киев. гос. ун-т Киев, 1991, 11 стр. (нашла в электронной библиотеки бывшей ленинки). Однако статью нельзя ни скачать, ни даже посмотреть. Вот такие печальные дела!
Приведу цитату из письма Ю. Таранникова, может быть, она наведёт кого-нибудь на правильный путь поиска статьи:

Статьи Назарока я никогда не видел. "Комбинаторный анализ" - это, насколько
я понимаю, серия сборников, издававшаяся кабинетом Рыбникова. Я могу при
случае поискать его в библиотеке факультета или в самом кабинете, но не
обещаю, что это будет быстро.

Ну, как говорится, обещанного три года ждут...
Ещё раз обращаюсь с просьбой к тем, кто трудится или учится в МГУ: попробуйте найти эту статью.
На форуме Портала Естественных Наук нашёлся человек, который трудится в МГУ, но он говорит, что не ходит в бумажные библиотеки, а пользуется электронными.

[Nataly-Mak]

Хочу предложить ещё одну задачу о магических квадратах. Эта задача имеет решение, причём изящное и недлинное. Её вполне можно предложить в “Математическом марафоне”, да будет на то воля ведущего. А впрочем, какая разница, где задача предложена! Главное, если она интересная, и её хочется решить.
На Портале журнала “Наука и жизнь” нашла статью о числах Смита или просто “смитах” (автор Наталья Карпушина, журнал “Наука и жизнь, № 3, 2009 г.; ссылку, увы, забыла записать, но ссылка на форум Портала вот: http://www.nkj.ru/forum/forum10/, это подфорум “Естественные науки”; статья называется “Замечательные «смиты»”).
Натуральное число называется числом Смита (или просто “смитом”), если сумма цифр этого числа равна сумме цифр его простых делителей. Например, “смитом” является следующее число $4937775$. Это число было номером телефона профессора психологии Гарольда Смита, он заметил такое интересное свойство этого числа и таким образом открыл числа, обладающие таким свойством. По его имени они и получили своё название.
В книге М. Гарднера “От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам” приведён нетрадиционный магический квадрат 3-го порядка, составленный из составных “смитов”, с наименьшей магической константой, равной 822. Вот этот квадрат:

94 382 346
526 274 22
202 166 454

Задача: постройте другой нетрадиционный магический квадрат 3-го порядка из различных составных “смитов”
(квадраты из “смитов”, являющихся простыми числами, построить очень просто; см., например, статью Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел).
Я решила задачу быстро. Является ли задача очень лёгкой?
Можно пойти дальше: построить нетрадиционный магический квадрат 4-го порядка из различных составных “смитов”. Эту задачу ещё не решала.