Магические квадраты

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Если же эти хитрые склейки, о которых пишут авторы статьи, относятся к определённому набору порядков, то это уже не будет общий метод в полном смысле этого слова. Вы согласны с этим?

Я никогда не утверждал обратного. Описанный мной в предыдущем сообщении метод не работает для порядка $14$, но работает для порядка $86$. КРМ для порядка $14$ дана в приложении к статье. А общий метод является комбинацией нескольких разных методов и списка КРМ в приложении.

Кстати, почему $6n+2$? При нечетных $n$ порядок делится на $4$ ($20$, $32$, $44$ и т. д.), и задача отлично решается методом составных квадратов. Проблема на самом деле с порядками вида $4n+2$.

Nataly-Mak писал(а):

тогда зачем рассматривать порядки 9 и 23?

Я не хочу расписывать здесь матрицы 86x86 и надеялся продемонстрировать на порядках 9 и 23 алгоритм, с помощью которого можно построить квадраты порядка 86. Но раз уж вам настолько понятен алгоритм, что вы справитесь сами, - дерзайте.

[Nataly-Mak]

tolstopuz писал(а):

Кстати, почему $6n+2$? При нечетных $n$ порядок делится на $4$ ($20$, $32$, $44$ и т. д.), и задача отлично решается методом составных квадратов. Проблема на самом деле с порядками вида $4n+2$.

Поясняю. Насчёт того, что в указанной мной серии порядков есть порядки, для которых работает метод составных квадратов, я писала. Такие порядки есть и среди порядков указанной вами серии $4n + 2$, например, $n = 30$. Эти порядки мы просто не рассматриваем. Теперь почему именно $6n + 2$? Это я тоже поясняла. Мной разработан общий алгоритм построения пар ОЛК для серии порядков $n = 6k, k>1$ и для серии порядков $n = 6k + 4$, эти алгоритмы описаны в моих статьях и они действительно общие для каждой из указанных серий порядков, то есть работают для всех порядков из указанных серий, в том числе и для тех, для которых работает метод составных квадратов. Итак, понятно, что среди всех чётных порядков у меня остаётся серия порядков $n = 6k + 2$. Для таких порядков, кроме метода составных квадратов, я не знаю другого общего метода построения.
Метод из статьи, из которой вы привели алгоритм для порядка 86, не является общим методом для данной серии порядков. Вы сами это подтвердили, сказав, что метод не работает для порядка 14. А для одиночных порядков, например, 86, если он и работает, то это нельзя назвать общим методом.
Кстати, среди названной вами проблемной серии порядков $4n + 2$ (помимо порядков, для которых работает метод составных квадратов) есть также порядки 10, 22, 34 ... , которые относятся к серии порядков $n = 10(mod 12)$, а для этих порядков давно известен общий метод построения (о нём написано в книге Д. Райзера, переведённой в 1961 г.). Именно на основе этого метода я разработала алгоритм построения пар ОЛК для порядков серии $n = 4(mod 6)$.
Вы совершенно напрасно обиделись (ну, что за обидчивый народ пошёл )
Я не сказала, что алгоритм очень простой и всё в нём поняла. Даже наоборот, сказала, что совсем ничего не поняла. Но поняла, что это не тот метод, который мне нужен. И, кажется, это действительно так.
Пожалуйста, извините, если я как-то неудачно выразила свои мысли. Вы же видите, что ваша помощь очень действенна. Вы обещали посмотреть описание методов во второй статье. Может быть, там есть что-то про тот метод, который мне нужен. Очень надеюсь на продолжение диалога!

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Итак, понятно, что среди всех чётных порядков у меня остаётся серия порядков $n = 6k + 2$. Для таких порядков, кроме метода составных квадратов, я не знаю другого общего метода построения.
Метод из статьи, из которой вы привели алгоритм для порядка 86, не является общим методом для данной серии порядков.
Но поняла, что это не тот метод, который мне нужен.

То есть метод составных квадратов вам тоже не нужен? Он ведь тоже работает не для всех порядков.

[Nataly-Mak]

Вот именно потому, что метод составных квадратов работает далеко не для всех порядков, он и не может считаться общим методом. Такие порядки, для которых работает метод составных квадратов, встречаются во всех трёх указанных мной выше группах порядков, и в указанной вами группе они тоже есть. Поэтому мы на этот метод смотрим просто как на один из возможных методов построения пар ОЛК (а также и целых групп MOLS). Кроме того, мне этот метод не нужен по той причине, что я его уже очень хорошо знаю.
Как вы правильно заметили, например, в серии порядков $n = 6k + 4$ тоже для каждого второго порядка работает метод составных квадратов. Однако и для всех этих порядков действует общий алгоритм, разработанный мной для данной серии порядков. То есть, например, для порядков 16, 28, 40, 52 ... я могу построить пары ОЛК двумя способами: по своему алгоритму и методом составных квадратов. А вот для порядков 10, 22, 34, 46 ... только по своему алгоритму.
Сейчас вчерне готова статья, в которой я представила КРМ в общем виде для построения пар ОЛК серии порядков $6k + 4$. Очевидно, что составление этой матрицы очень легко запрограммировать, ну а по матрице, естественно, и составление самих латинских квадратов. Таким образом, по представленной мной КРМ можно написать программу, которая мгновенно построит пару ОЛК любого порядка из данной серии (конечно, в разумных пределах )

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Вот именно потому, что метод составных квадратов работает далеко не для всех порядков, он и не может считаться общим методом. Такие порядки, для которых работает метод составных квадратов, встречаются во всех трёх указанных мной выше группах порядков

А, я понял причину вашего странного понимания слов "общий метод". Вы совершенно произвольно разделили четные порядки на три группы и считаете, что "общий метод" должен покрывать целиком какую-то из выбранных вами групп.

Но логичнее разделить четные порядки так:

1. Удвоенные составные порядки.
2. Удвоенные простые порядки.

Ваш метод для $n=6k+4$ справляется с некоторыми порядками первой группы (16, 28, 40, 52, 64, 70, 76, 88, 100 и т. д.) и некоторыми порядками второй группы (10, 22, 34, 46, 58, 82, 94 и т. д.), поэтому, по вашему же определению, "общим методом" ни в коей мере не является. Метод же составных квадратов справляется со всеми порядками первой группы, начиная с 12.

В статье предлагается еще один общий метод, справляющийся со всеми порядками второй группы, начиная с 82, кроме 94, 146 и 202:

$$82=9\cdot9+1, 86=12\cdot7+2, 106=15\cdot7+1, 118=13\cdot9+1, 122=11\cdot11+1$$

$$134=19\cdot7+1, 142=20\cdot7+2, 158=12\cdot13+2, 166=15\cdot11+1, 178=16\cdot11+2$$

$$194=10\cdot19+4, 206=12\cdot17+2, 214=11\cdot19+5, 218=31\cdot7+1, 226=32\cdot7+2$$

$$254=36\cdot7+2, 262=29\cdot9+1, 274=39\cdot7+1, 278=16\cdot17+6, 298=33\cdot9+1$$

и т. д.

КРМ для остальных порядков второй группы (10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 94, 146, 202) даны в приложении. Если поступиться свойством $N_2$, думаю, количество исключений можно еще уменьшить.

Я попытался продемонстрировать этот метод на примере, но он вас почему-то не заинтересовал.

[Nataly-Mak]

Нет, я не совершенно произвольно разделила все чётные порядки на три группы. Это разделение было получено в процессе построения пар ОЛК разными методами. Вполне возможно, что оно не самое оптимальное. Но единого общего метода (хоть в моём, хоть в вашем понимании) для всех чётных порядков всё равно не существует. Поэтому разбиение на группы неизбежно. Теперь насчёт логичности моего разбиения. Оставшаяся у меня без алгоритма группа порядков вида $6k + 2$ включает в себя ровно половину порядков, для которых работает метод составных квадратов. Ну и пусть себе включает. Это не мешает однако искать общий алгоритм, который справится с любым порядком из этой группы. Метод, который дан в статье, на справляется со всеми порядками группы и потому мне не подходит. Уже для второго порядка группы - 14 - этот метод не даёт способа построения.
Не совсем поняла в вашем разбиении порядки первой группы. Удвоенные простые порядки - это понятно, порядки вида $n = 2p$, где $p$ - простое число. Так? А что такое удвоенные составные порядки? Это порядки вида $n = 2s$, где $s$ - составное число. Я правильно поняла? Но тогда порядок 18 будет относиться к этой группе. А для него метод составных квадратов не работает. Следовательно, исключения в этой группе будут: 8 и 18.
Ну, и для группы удвоенных простых порядков тоже ведь нет алгоритма, который справляется со всеми порядками группы. Правильно? Вот если удастся его найти, тогда принимаю ваше разбиение на две группы порядков.
P.S. Меня заинтересовал метод, который вы пытались продемонстрировать. Но, во-первых, для порядка 86 абсолютно ничего не поняла. А появление "на горизонте" нечётных порядков 9 и 23 сначала озадачило. Зачем нечётные порядки? Но как я понимаю теперь, эти хитрые склейки в статье начинаются с больших чётных порядков, а вы хотели показать на маленьком нечётном порядке.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Следовательно, исключения в этой группе будут: 8 и 18.

Да, точно. Про 18 я тоже забыл, он тоже есть в приложении.

Nataly-Mak писал(а):

Ну, и для группы удвоенных простых порядков тоже ведь нет алгоритма, который справляется со всеми порядками группы.

Есть алгоритм, который справляется со всеми, кроме перечисленных мной выше 13 исключений (думаю, их число можно уменьшить, если отказаться от $N_2$, что ослабит ограничения на множители и слагаемое). Ну и еще остается порядок 4, да

[Nataly-Mak]

А без исключений?

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Но как я понимаю теперь, эти хитрые склейки в статье начинаются с больших чётных порядков, а вы хотели показать на маленьком нечётном порядке.

Да, чем меньше цифр, тем легче понять алгоритм. К тому же для $30=4\cdot7+2$ и $44=6\cdot7+2$ ничего не получится, потому что для их требуется пара квадратов порядка 6, которой не бывает. Так что ближайший четный порядок, для которого это нормально сработает, - это $58$. А на $22=3\cdot7+1$ не удастся продемонстрировать весь алгоритм - остаток должен быть хотя бы 2, чтобы увидеть все детали.

Nataly-Mak писал(а):

А без исключений?

Ищите. Мне незачем

[Nataly-Mak]

tolstopuz писал(а):

Ищите. Мне незачем

Мне, собственно, тоже без особой надобности Просто маленький научный интерес. Хотелось бы узнать: "можно ли раздвинуть горизонты".
Вот и про КРМ рассматриваемого мной вида с пятой строкой для порядка 10 вы ничего не ответили. Почему для всех порядков, начиная с 4, группы MOLS состоят из 3 и более квадратов, а для порядка 10 известны только пары ОЛК. В чём причина?

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Вот и про КРМ рассматриваемого мной вида с пятой строкой для порядка 10 вы ничего не ответили. Почему для всех порядков, начиная с 4, группы MOLS состоят из 3 и более квадратов, а для порядка 10 известны только пары ОЛК. В чём причина?

Это известная нерешенная задача, о ней даже на конференциях докладывают. Нашел один намек: "Our computations show that any such triple must have only squares with trivial symmetry groups". Не знаю точно, про что они, но такое ощущение, что КРМ не подходят, и надо искать в лоб.

[Nataly-Mak]

tolstopuz писал(а):

...но такое ощущение, что КРМ не подходят, и надо искать в лоб.

Это вы про какие КРМ? Про мои? Если про мои, то они очень даже подходят. Вот в лоб пишем программу для добавления пятой строки к любой известной мне КРМ с четырьмя строками и выполняем её. Она или добавляет пятую строку или разводит ручками и говорит "нету!". Можете такую программу выполнить? Составить-то её я могу, а вот выполнить - увы. Так что тут наоборот надо не в лоб решать, а с какой-то хитрой оптимизацией.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

tolstopuz писал(а):

...но такое ощущение, что КРМ не подходят, и надо искать в лоб.

Это вы про какие КРМ? Про мои? Если про мои, то они очень даже подходят. Вот в лоб пишем программу для добавления пятой строки к любой известной мне КРМ с четырьмя строками и выполняем её. Она или добавляет пятую строку или разводит ручками и говорит "нету!"

Что и будет означать, что не подходит.

Nataly-Mak писал(а):

Можете такую программу выполнить? Составить-то её я могу, а вот выполнить - увы.

Как это? Если вы не можете выполнить составленную программу, то, наверное, она неправильная

А свою написать могу попробовать как-нибудь, когда время будет. Там писанины-то строк на 20.

[Nataly-Mak]

Не могу выполнить программу не потому, что она неправильная. Я вот здесь сообщала о том, что для порядка 8 мне удалось выполнить такую программу только по шагам. Получила две оригинальные группы MOLS 8-го порядка. А для 10-го порядка тоже написала программы: а) для добавления третьей строки; б) для добавления четвёртой строки. Тоже уже сообщала в предыдущих постах. А выполнить не могу по вполне понятной причине: 11 переменных, каждая из которых пробегает значения от 0 до 9. Представили? У меня такая программа до конца "не выруливает". А у вас?

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

А выполнить не могу по вполне понятной причине: 11 переменных, каждая из которых пробегает значения от 0 до 9.

Ждите, пока я напишу