Что известно о диофантовых урав-ях a^2+b^2=c^3 и a^2+b^2=c^n

[grisania]

Какие известны элементарные или неэлементарные методы для нахождения общего решения диафонтова уравнения ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{3}}$, где $a$ числа и $b$ - взаимно простые? Я как бы доказал элементарными средствами, что эти решения задаются формулами
$a={{u}^{3}}-3u{{v}^{2}},\ b=3{{u}^{2}}v-{{v}^{3}},\ c={{u}^{2}}+{{v}^{2}}$
Для случая ${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$ эти решения задаются формулами
$a={{u}^{3}}-9u{{v}^{2}},\ b=3{{u}^{2}}v-3{{v}^{3}},\ c={{u}^{2}}+3{{v}^{2}}$
Это формулы Эйлера, которые применяются для доказательства решения проблемы Ферма для тройки: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{c}^{3}}$ (см. [1, 2]). Однако в [1, 2] предлагается неэлементарное решение для ${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$.

Какие известны элементарные или неэлементарные методы для нахождения общего решения диафонтова уравнения ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{n}}$, где числа $a$ и $b$ - взаимно простые?
В принципе проходят элементарные рассуждения, применяемые для $a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{3}}$.
Заметим, что если $n=2$, то имеем ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$ - то есть задачу нахождения примитивных Пифагоровых троек.
Для их нахождения, как известно, применяются два классических доказательства. Первое восходит к Евклиду. Второе использует представление рациональных решений уравнения ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Элементарные рассуждения, применяемые для ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{3}}$ , проходят и для ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$. Вроде имеем третий элементарный метод для нахождения примитивных Пифагоровых троек, но он немножко длиннее. Вообще какие еще есть элементарные методы нахождения примитивных Пифагоровых троек, кроме двух классических, указанных вверху?

[1] Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических
чисел. - М.: Наука, 1978.
[2] Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую
теорию чисел. - М.: Мир, 1980

PS.
Заранее благодарю за ответы.

[maxal]

Решения $a^2+b^2=c^n$ легко получаются из разложения в кольце Гауссовых целых: $(a+ib)(a-ib)=c^n$
Из факториальности этого кольца следует, что $a+ib = (u+iv)^n$ для некоторых $u,v$,
то есть

$$a = \sum_k {n\choose 2k} u^{n-2k} v^{2k} (-1)^k$$

и

$$b = \sum_k {n\choose 2k+1} u^{n-2k-1} v^{2k+1} (-1)^k.$$

-- Tue May 26, 2009 00:48:22 --

Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}].$
По тем же причинам легко получить решения уравнений $a^2 + k b^2 = c^n,$ где $k=1,2,3,7$ или $11.$

[Cave]

maxal в сообщении #217181 писал(а):

в виду факториальности кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}].$

Разве? $(1 + \sqrt{-3})(1 - \sqrt{-3}) = 2\cdot 2$, все элементы простые.

[maxal]

Cave
То была описка. Имелось в виду $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$, оно же кольцо целых Эйзенштейна - http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_integer

[juna]

еще
topic8848-30.html

[grisania]

maxal в сообщении #217181 писал(а):

Решения $a^2+b^2=c^n$ легко получаются из разложения в кольце Гауссовых целых: $(a+ib)(a-ib)=c^n$
Из факториальности этого кольца следует, что $a+ib = (u+iv)^n$ для некоторых $u,v$,
то есть

$$a = \sum_k {n\choose 2k} u^{n-2k} v^{2k} (-1)^k$$

и

$$b = \sum_k {n\choose 2k+1} u^{n-2k-1} v^{2k+1} (-1)^k.$$

-- Tue May 26, 2009 00:48:22 --

Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}].$
По тем же причинам легко получить решения уравнений $a^2 + k b^2 = c^n,$ где $k=1,2,3,7$ или $11.$

Большое спасибо за ответ.
Однако Гауссовые целые числа $(a+ib)(a-ib)=c^n$ базируются на понятии комплексного числа. Поэтому будет интересно найти решения, умея только складывать и умножать , то есть на школьном уровне. Как это сделал Евклид, решив $a^2 + 3b^2 = c^2$, т. е. найдя пифагоровы тройки.
Пифагоровым тройкам в англоязычном инете посвящено масса страниц, и народ пишет и пишет на элементарном уровне. Мне один знакомый рассказывал, как его прадед-каменщик выводил прямой угол, используя пифагорову тройку (3,4,5). А сделать прямой угол - это высший класс у каменщиков до сих пор.
Теория чисел подходит для решения сложных задач школьно-элеметарными методами.

Что означает термин "факториальность" в фразе "Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца". Если нетрудно, то дайте ссылки на книги, можно на английские. Я тут скачал в инете кучу аглицких книг по теории чисел.

Решение уравнения $a^2 + 3b^2 = c^n$ задаются формулами Эйлера, которые применяются для доказательства решения проблемы Ферма для тройки. Сам Эйлер дал маху, выводя их (см. [1], стр. 60-63, где обсуждается его махи). Но правильное доказательство в [1] занимает немало страниц - стр. 70-73. У Постникова [2] это очень много страниц - стр. 34-50. Вы же пишете, что "Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца". Меня это заинтересовало.
За формулы для

$$a = \sum_k {n\choose 2k} u^{n-2k} v^{2k} (-1)^k$$

и

$$b = \sum_k {n\choose 2k+1} u^{n-2k-1} v^{2k+1} (-1)^k.$$

для $a^2+b^2=c^n$ спасибо, но как для $c$ выписать подобные формулы.

[1] Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических
чисел. - М.: Наука, 1978.
[2] Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую
теорию чисел. - М.: Мир, 1980

[RIP]

grisania в сообщении #217308 писал(а):

но как для $c$ выписать подобные формулы.

$c=u^2+v^2$.

[maxal]

grisania в сообщении #217308 писал(а):

У Постникова [2] это очень много страниц - стр. 34-50. Вы же пишете, что "Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца".

Это смотря на каком уровне рассказывать решение и какие факты предполагать известными. Если расписывать доказательство "с нуля", то потребуется гораздо больше страниц. А можно написать и на таком уровне, все доказательство займет пару строчек.
О факториальности и квадратичых кольцах можно почитать в книге К.Айерлэнд, М.Роузен "Классическое введение в современную теорию чисел"

[grisania]

maxal в сообщении #217181 писал(а):

Решения $a^2+b^2=c^n$ легко получаются из разложения в кольце Гауссовых целых: $(a+ib)(a-ib)=c^n$
Из факториальности этого кольца следует, что $a+ib = (u+iv)^n$ для некоторых $u,v$,
то есть

$$a = \sum_k {n\choose 2k} u^{n-2k} v^{2k} (-1)^k$$

и

$$b = \sum_k {n\choose 2k+1} u^{n-2k-1} v^{2k+1} (-1)^k.$$

-- Tue May 26, 2009 00:48:22 --

Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}].$
По тем же причинам легко получить решения уравнений $a^2 + k b^2 = c^n,$ где $k=1,2,3,7$ или $11.$

А чем выделяются числа $k=1,2,3,7,11$, что легко получить решения уравнений $a^2 + k b^2 = c^n$?
Что известно для общих решений уравнений $a^2 - kb^2 = c^n$?

[maxal]

grisania в сообщении #217967 писал(а):

А чем выделяются числа $k=1,2,3,7,11$, что легко получить решения уравнений $a^2 + k b^2 = c^n$?

При этих значениях соответствующее квадратичное кольцо целых является евклидовым, а значит, и факториальным. "Хорошими" еще также являются значения $k=19, 43, 67, 163$, для которых соответствующее квадратичное кольцо целых является факториальным, не будучи евклидовым.

grisania в сообщении #217967 писал(а):

Что известно для общих решений уравнений $a^2 - kb^2 = c^n$?

Тут "хороших" значений $k$ гораздо больше - см. A003172

[Батороев]

grisania в сообщении #216440 писал(а):

Заметим, что если $n=2$, то имеем ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$ - то есть задачу нахождения примитивных Пифагоровых троек.
Для их нахождения, как известно, применяются два классических доказательства. Первое восходит к Евклиду. Второе использует представление рациональных решений уравнения ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Элементарные рассуждения, применяемые для ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{3}}$ , проходят и для ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$. Вроде имеем третий элементарный метод для нахождения примитивных Пифагоровых троек, но он немножко длиннее. Вообще какие еще есть элементарные методы нахождения примитивных Пифагоровых троек, кроме двух классических, указанных вверху?

А в чем проблема нахождения примитивных пифагоровых троек?
Легко доказать, что $c$ - нечетное число.
Допустим, $b$ - четное число.
Тогда $ a^2 = c^2 - b^2 $.
Поскольку $ a $ - нечетное, то его квадрат, как любое нечетное число, раскладывается на разность квадратов:
$ a^2 = (\frac{a^2+1}{2})^2-(\frac{a^2-1}{2})^2 $
$ c =\frac{a^2+1}{2} $
$ b = \frac{a^2-1}{2} $

В случае, если $a$ - составное, то его квадрат раскладывается еще и по числу возможных комбинаций, которыми можно представить число в виде $ a = m\cdot n $, где $m$, $n$ - взаимнопростые числа:
$ a^2 = (\frac{m^2+n^2}{2})^2-(\frac{m^2-n^2}{2})^2 $
$ c = \frac{m^2+n^2}{2} $
$ b = \frac{m^2-n^2}{2} $

Другими словами, алгоритм нахождения пифагоровых троек прост.
Берем последовательно нечетные числа и представляем их квадраты в виде разности квадратов указанными способами.

-- Пт май 29, 2009 14:05:19 --

При таком рассмотрении доказывательства бесконечности числа пифагоровых троек не требуется.
Пифагоровых троек бесконечно много, потому что бесконечно число нечетных чисел, а соответственно, и их квадратов.

[grisania]

Батороев в сообщении #218002 писал(а):

А в чем проблема нахождения примитивных пифагоровых троек?
Легко доказать, что $c$ - нечетное число.
Допустим, $b$ - четное число.
Тогда $ a^2 = c^2 - b^2 $.
Поскольку $ a $ - нечетное, то его квадрат, как любое нечетное число, раскладывается на разность квадратов:
$ a^2 = (\frac{a^2+1}{2})^2-(\frac{a^2-1}{2})^2 $
$ c =\frac{a^2+1}{2} $
$ b = \frac{a^2-1}{2} $

В случае, если $a$ - составное, то его квадрат раскладывается еще и по числу возможных комбинаций, которыми можно представить число в виде $ a = m\cdot n $, где $m$, $n$ - взаимнопростые числа:
$ a^2 = (\frac{m^2+n^2}{2})^2-(\frac{m^2-n^2}{2})^2 $
$ c = \frac{m^2+n^2}{2} $
$ b = \frac{m^2-n^2}{2} $

Другими словами, алгоритм нахождения пифагоровых троек прост.
Берем последовательно нечетные числа и представляем их квадраты в виде разности квадратов указанными способами.

-- Пт май 29, 2009 14:05:19 --

При таком рассмотрении доказывательства бесконечности числа пифагоровых троек не требуется.
Пифагоровых троек бесконечно много, потому что бесконечно число нечетных чисел, а соответственно, и их квадратов.

Если предположить, что $a$ - нечетное, а $b$ - четное, то написанные вами формулы выглядят так
$a = m^2-n^2$
$b = 2mn$
$c = m^2+n^2$
Эти формулы вывел сам Евклид, но они были известны ещё древним вавилонянам. Прочитать об этом можно в [1, 2]. Есть в этом методе основной шаг, о котором Эдвардс пишет [2] так:
"Основной шаг нашего рассуждения состоит в следующем. Произведение двух взаимно простых чисел vuw может быть квадратом $vw = u^2$ только тогда, когда $v$ u $w$ сами являются квадратами."

Вывод этих формул написан в сотне книг. Есть ещё другой подход к их выводу, использующий представление рациональных решений уравнения $x^2 + y^2 =1$. Аккуратно это изложено у Дэвенпорта [3]. Многие не проводят рассуждения при переходе от рациональных решений к целым решениям уравнения $a^2 + b^2 =c^2$, а Дэвенпорт это делает.
Подход, который предлагаю я, позволяет решить на элементарном уровне уравнения $a^2 + b^2 =c^n$, где $n=3,4,5....$. А как побочный продукт получаем решение для $a^2 + b^2 =c^2$.

Имеем равенство
${{\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( 2mn \right)}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)}^{2}}$
Другими словами
${giperbola}^2 + {giperbola}^2 ={okruznost}^2$
В этом есть какой-то таинственный смысл. Может специалисты по теории чисел могут его объяснить?

[1] Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука, 1978.
http://www.krelib.com/nauchnopopuljarnaja_literatura/4722
[2] Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. - М.: Мир, 1980
http://krelib.com/teorija_chisel/4722
[3]Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. М., Наука, 1965. 176 с
http://www.ega-math.narod.ru/Books/Daven2.htm

[Батороев]

grisania в сообщении #218505 писал(а):

Если предположить, что $a$ - нечетное, а $b$ - четное, то написанные вами формулы выглядят так
$a = m^2-n^2$
$b = 2mn$
$c = m^2+n^2$
Эти формулы вывел сам Евклид, но они были известны ещё древним вавилонянам.

grisania! Вы мои $m$ и $n$ с евклидовыми не путайте.
У меня они вводились, как написано: $ a = m\cdot n $.

[grisania]

maxal в сообщении #217181 писал(а):

Решения $a^2+b^2=c^n$ легко получаются из разложения в кольце Гауссовых целых: $(a+ib)(a-ib)=c^n$
Из факториальности этого кольца следует, что $a+ib = (u+iv)^n$ для некоторых $u,v$,
то есть

$$a = \sum_k {n\choose 2k} u^{n-2k} v^{2k} (-1)^k$$

и

$$b = \sum_k {n\choose 2k+1} u^{n-2k-1} v^{2k+1} (-1)^k.$$

-- Tue May 26, 2009 00:48:22 --

Уравнение $a^2 + 3b^2 = c^n$ также легко решается в виду факториальности кольца $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}].$
По тем же причинам легко получить решения уравнений $a^2 + k b^2 = c^n,$ где $k=1,2,3,7$ или $11.$

Где-то написаны эти формулы с их выводом для предсатвления решений уравнения $a^2+b^2=c^n$? В книжке, статье? Если, да, то можно ссылку.
Устанавливается ли едиственность $u, v $, может быть с точностью для знаков, для заданных $a, b, c $. Также устанавливается ли взаимная простота и разная четность чисел $u, v $.
Например, для $a^2+b^2=c^2$, где $a, b, c$ - взаимно просты, числа $u, v$ задаются однозначно, они взаимно простоты и разной четности. Однако по $a, b$ нельзя определить какое из $u, v$ четное, а какое нет.
В случае $a^2+b^2=c^3$, где $a, b, c$ - взаимно просты, числа $u, v $ задаются однозначно, они взаимно простоты и разной четности. Но при этом $u$ четно, если $a$ четно и наоборот.