О сумме двух кубов

[ljubarcev]

PAV писал(а):

ljubarcev,

Да, это действительно доказывает, почему нужно рассматривать только такие числа (с точностью до того, что я не проверял те вспомогательные утверждения, на которые Вы при этом ссылаетесь). Небольшое замечание касается того, что если Вы решили нумеровать числа так, чтобы $x<y<z$, то это уже однозначно задает расположение букв и при этом уже нельзя произвольно полагать, что именно $x$ делится на 3. Может оказаться и $y$.

Уважаемый PAV ! Ваше замечание верно. Если бы это была не просто дискуссия а, например, - диссертация, то все остальные случаи необходимо было бы подробно рассмотреть, тем более что в этом случае надо набрать определенное количество страниц. Здесь же я попросту сошлюсь на М.М. Постникова, который утверждал: «замечая , что уравнение можно переписать в виде $x^n+y^n+(-z)^n=0$ и, следовательно, что числа $x;y;-z$ играют в нем вполне симметричные роли, …».
Дед.

[Георгий Александров]

Друзья мои! Этим вопросом я занимался очень серьезно и написал статьи (см. например, http://arbuz.uz/s_eiler.html) .

[juna]

Формула (12) интересна. Видимо сводится к тождеству (1) от $x_0,y_0,z_0,w_0$ после подстановки. Неясно, как получена.

Добавлено спустя 18 минут 23 секунды:

Для уравнения $x^2+y^2=z^n$ (далее по сайту) легко получать параметрические решения.
Например,
$(a^4-6a^2b^2+b^4)^2+(4ab(a^2-b^2))^2=(a^2+b^2)^4$
для $x^2+ay^2=z^3$
$(s(s^2-3at^2))^2+a(t(3s^2-at^2))^2=(s^2+at^2)^3$ и т.д.
На форуме этот вопрос рассматривался.

[maxal]

ljubarcev писал(а):

«Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения $X^3+Y^3=U^3+V^3$. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколько решений, например $1729 = 9^3+10^3=1^3+12^3$

Число 1729 также связано с именем Рамануджана. Эта история, кстати, дала название "таксишным числам", из которых 1729 - наименьшее.

[grisania]

ljubarcev в сообщении #87820 писал(а):

-------------------------------------------------

shwedka писал(а):

Коллеги, извините, что вмешиваюсь. Только что появилась статья
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
(пардон, что по-английски, но вы, живущие в России, без труда добудете русский оригинал).
Там анализируется доказательство ВТФ для степени 3, предложенное Эйлером, с известной ошибкой, и предлагается элементарный метод исправления этой ошибки. Я не скажу, что очень внимательно смотрела, но по первому впечатлению автор не проврался. Призываю участников ознакомиться со статьей. Возможно, некоторые избавятся от внутренней потребности найти элементарное доказательство для кубов. Такое доказательство уже, стало быть, есть, и новое славы и почета не принесет, даже оказавшись правильным.

Уважаемая Shwedka ! Неясности в доказательстве Эйлера при $n=3$ тщательно анализировал Эдвардс (есть на русском языке) и доказал, что эти неясности не опровергают его. Так что Ваше замечание - "Такое доказательство уже, стало быть, есть, и новое славы и почета не принесет, даже оказавшись правильным" - верно.. Добавлю от себя: деньгами. даже при элементарном доеазательстве всей теоремы тоже "не пахнет". Премия Вольфскеля давно выплачена Кумеру и в конце прошлого века Уайлзу. Вам это будет трудно понять, но так как я на самом деле - дед, вопросы "славы и почёта" (как Вы пишете) меня уже не интересуют. Меня интересует Истина и увлекает (приносит удовлетворение) её поиск. Если Вы скажете, что это - болезнь - я с Вами соглашусь.
Дед.

Элементарное доказательство ВТФ для степени 3 есть и опубликовано
Ю. Ю. Мачис, “О предполагаемом доказательстве Эйлера”, Матем. заметки, 82:3 (2007), 395–400
Аннотация: Предполагают, что Эйлер владел элементарным доказательством теоремы Ферма для случая $n=3$. Наша заметка показывает, что это весьма правдоподобно: пользуясь результатами Эйлера, можно элементарно доказать, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в ненулевых целых числах.
Библиография: 5 названий

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=3992&option_lang=rus

Ссылка shwedkи
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
битая

[grisania]

Добавлю к посту вверху.
Во первых, я не фермачист, просто Ю. Ю. Мачис мой хороший знакомый. Их институт, где он работает, донимал один любитель-фермачист. Все от от него отмахивались как от надоедливой мухи. Однако парень был где-то гений типа Рамануджана, просто для него не нашелся свой Харди. Он с легкостью придумывал всякие числовые тождества, чем удивлял профессионалов.
Поэтому мой знакомый решил проверить выкладки фермачиста. Конечно математик-профи должен проверить для ВТФ частный случай - $n=3$. Конечно - $n=3$ не прошел. Но Мачис углубился в проблему и был удивлен, что ВТФ для $n=3$ не имеет элементарного доказательства, ему пришло в голову как это сделать придерживаясь идей Эйлера.

[shwedka]

grisania в сообщении #217671 писал(а):

Ссылка shwedkи
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
битая

еще бы не битая!!!
Год на рапиде файлы не лежат.

[grisania]

shwedka в сообщении #217759 писал(а):

grisania в сообщении #217671 писал(а):

Ссылка shwedkи
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
битая

еще бы не битая!!!
Год на рапиде файлы не лежат.

Дайте не битую или пришлите на мыло. Могу в личку дать свой майл. В данный момент Мачис прилично сократил свое доказательство ВТФ для тройки. Интересно сопоставить ваше доказательство с его. Доказательство Мачиса очень элементарно и будет понятно даже школьнику, а новое доказательство очень короткое.

[hurtsy]

ljubarcev в сообщении #85757 писал(а):

Из $w=5a^2-5ab-3b^2=0$ следует $\frac{a}{b}=\frac{5\pm\sqrt{37}}{10}$. В последнем равенстве число слева рациональное, число справа – иррациональное, следовательно, равенство невозможно. Этим доказано, что не существует пары целых чисел, дающей решение равенства и это равенство не имеет решений в целых числах.

Этим доказано, что уравнение $5a^2-5ab-3b^2=0$ неразрешимо в целых числах,
следовательно $w\ne 0$. Дальше доказательства нет. Тем не менее дальнейшая дискуссия воспринимается "на одном дыхание" и напоминает хороший "иллюзион". С уважением,

PS. Имхо, вместо 37 должно быть $5^2+4*5*3=85$.

[shwedka]

A это и есть Мачис.
Я не претендую.
ссылка была на статью
Machis, Yu. Yu.(LI-AOS)
On Euler's hypothetical proof. (Russian. Russian summary) Mat. Zametki 82 (2007), no. 3, 395--400; translation in
Math. Notes 82 (2007), no. 3-4, 352--356

[sceptic]

grisania писал(а):

В данный момент Мачис прилично сократил свое доказательство ВТФ для тройки. Интересно сопоставить ваше доказательство с его. Доказательство Мачиса очень элементарно и будет понятно даже школьнику, а новое доказательство очень короткое.

Обнародовать новое доказательство Мачиса возможно?
Да и его статью из МЗ нельзя ли куда-нибудь положить? - доступ к статье откроется лишь в 2010 г.

[мат-ламер]

Простите, я в этом абсолютный неспециалист, но мне любопытно, мог ли Ферма доказать свою большую теорему для третьей степени? Где-то прочёл, что он в письмах предлагал другим учёным доказать свою теорему для третьей и четвёртой степени.

[Коровьев]

grisania в сообщении #217763 писал(а):

Доказательство Мачиса очень элементарно и будет понятно даже школьнику, а новое доказательство очень короткое.

С трудом верится. Что элементарное в смысле применённого мат.аппарата, то да. Что элементарное для школьников - нет. Иначе - ищи ошибку. Ведь, мильёны фермистов в совершенстве владеющие школьным мат.аппаратом так и не смогли найти доказательства для трёшки.

[shwedka]

sceptic в сообщении #217844 писал(а):

Да и его статью из МЗ нельзя ли куда-нибудь положить?

статья, по-английски,
лежит на
http://ifile.it/7345ri9
кому не лень, читайте

[grisania]

Коровьев в сообщении #217851 писал(а):

grisania в сообщении #217763 писал(а):

Доказательство Мачиса очень элементарно и будет понятно даже школьнику, а новое доказательство очень короткое.

С трудом верится. Что элементарное в смысле применённого мат.аппарата, то да. Что элементарное для школьников - нет. Иначе - ищи ошибку. Ведь, мильёны фермистов в совершенстве владеющие школьным мат.аппаратом так и не смогли найти доказательства для трёшки.

Это действительно так, мне самому стало интересно и я его просмотрел. Идеи очевидные и несложные, доступные школьнику, конечно есть пару хитростей, но как без них в такой задачке. Выкладки сможет повторить без труда любой, увлеченный математикой школьник. Применяется только сложение, деление и умножение. Может самое сложное - это разложение любого целого числа на произведение простых чисел. Но в новом доказательстве и этого не надо. Также может будет трудно понять спуск Ферма. Ошибку искать не надо, в редакции журнала Математические заметки не лохи сидят. Уж их фермачисты мучают регулярно, поэтому к такого рода публикациям они должны относится осторожно и десять раз проверить вкладки. Мачис вообще увлечен идеей доказывать многие факты математики на элементарном уровне. Он был долгие годы тренером (лидером) литовской сборной на международных математических олимпиадах, поэтому поднатарел на всяких хитростях элементарной математики. Сейчас он нашел элементарное доказательство иррациональности числа $\pi$