Зиновий писал(а):
А то, опять получится как с формулой Ньютона- Лейбница...
Я уж думал, Вы про неё забыли. Придётся объяснять, хоть и надеялся, что сами разберётесь.
Рассмотрим случай, когда плотность заряда и, следовательно, создаваемое им электростатическое поле зависят только от координаты
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, а от
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
и
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
не зависят. Обозначим
![$\rho(x)$ $\rho(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/7/7872e8aeeb0376e1d2b14b69fbc7501082.png)
плотность электрического заряда,
![$\vec D(x)$ $\vec D(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/2/7f2d39f2b8580fdcf1e3f1ca00aab10a82.png)
- вектор электрического смещения. В силу симметрии должно быть
![$\vec D(x)=D(x)\vec\imath$ $\vec D(x)=D(x)\vec\imath$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/8/f083b025f6e2c5ff3b90064dfd9a5ea182.png)
, где, как обычно,
![$\vec\imath$ $\vec\imath$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/5/d65e49b6d38d451cfe8ff10b9c62f7ed82.png)
- орт оси
![$Ox$ $Ox$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/f/06f60c13ab7e44325ed0b17b411562f982.png)
. Запишем формулу Остроградского - Гаусса:
![$$\iiint\limits_W\rho(x)dxdydz=\iint\limits_{\Pi}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS\text{,}\eqno(1)$$ $$\iiint\limits_W\rho(x)dxdydz=\iint\limits_{\Pi}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS\text{,}\eqno(1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/8/a381bf34a2538176f9fa87d6a3419b1882.png)
где
![$\Pi$ $\Pi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/4/0c4cdff2a5c675458f5a6629892c26d182.png)
- внешняя сторона поверхности, ограничивающей область
![$W$ $W$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/c/84c95f91a742c9ceb460a83f9b5090bf82.png)
.
В качестве области
![$W$ $W$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/c/84c95f91a742c9ceb460a83f9b5090bf82.png)
мы возьмём цилиндр, образующая которого параллельна оси
![$Ox$ $Ox$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/f/06f60c13ab7e44325ed0b17b411562f982.png)
, а основания лежат в плоскостях
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
и
![$x=b$ $x=b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/0/7408ba34e16eebed1eeff0fd6853562982.png)
, где
![$a<b$ $a<b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/2/4e2392553d1d1035505840cbf0f5a45182.png)
. Обозначим эти основания, соответственно,
![$D_a$ $D_a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/0936777985899ee6d0a09746da69d72782.png)
и
![$D_b$ $D_b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/5/0d5ce8da65a8a577ce02c1c18adb8bb982.png)
; кроме того, обозначим
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
проекцию
![$W$ $W$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/c/84c95f91a742c9ceb460a83f9b5090bf82.png)
на плоскость
![$Oyz$ $Oyz$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/e/d7e490c48212cd13ffb9c264a4a99d6d82.png)
. Преобразуем интеграл в левой части:
![$$\iiint\limits_W\rho(x)dxdydz=\int\limits_a^b\rho(x)dx\iint\limits_Ddydz=S\int\limits_a^b\rho(x)dx$$ $$\iiint\limits_W\rho(x)dxdydz=\int\limits_a^b\rho(x)dx\iint\limits_Ddydz=S\int\limits_a^b\rho(x)dx$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/0/e5087baa6440b8d524076500e8c70df882.png)
,
где
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
- площадь области
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
.
Для вычисления интеграла в правой части заметим прежде всего, что на боковой поверхности цилиндра
![$\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)=\text{пр}_{\vec n}D(x)\vec\imath=0$ $\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)=\text{пр}_{\vec n}D(x)\vec\imath=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/c/adc318744e0a0e7d7626de7fa2a722b682.png)
, так как
![$\vec n\perp\vec\imath$ $\vec n\perp\vec\imath$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/d/48d79466b2251605869fa65baedf10c182.png)
, и, следовательно, интеграл по боковой поверхности цилиндра равен
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
. Кроме того, на основании
![$D_b$ $D_b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/5/0d5ce8da65a8a577ce02c1c18adb8bb982.png)
имеем
![$\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)=D(b)$ $\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)=D(b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/6/3761bcec185044698f4af44d9ef3bfcd82.png)
, а на основании
![$D_a$ $D_a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/0936777985899ee6d0a09746da69d72782.png)
-
![$\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)=-D(a)$ $\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)=-D(a)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/5/4b5099c2bd44727c19b3d7733d07cc6682.png)
. Поэтому
![$$\iint\limits_{\Pi}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS=\iint\limits_{D_b}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS+\iint\limits_{D_a}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS=\iint\limits_DD(b)dydz-\iint\limits_DD(a)dydz=SD(b)-SD(a)$$ $$\iint\limits_{\Pi}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS=\iint\limits_{D_b}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS+\iint\limits_{D_a}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS=\iint\limits_DD(b)dydz-\iint\limits_DD(a)dydz=SD(b)-SD(a)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/2/3b295130541c0658d9ec8c23a79c186082.png)
.
Таким образом, формула (1) принимает вид
![$$S\int\limits_a^b\rho(x)dx=SD(b)-SD(a)\text{,}\eqno(2)$$ $$S\int\limits_a^b\rho(x)dx=SD(b)-SD(a)\text{,}\eqno(2)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb1abac96307512fc0cb439db4e83fe82.png)
или, после сокращения на
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
,
![$$\int\limits_a^b\rho(x)dx=D(b)-D(a)\text{.}\eqno(3)$$ $$\int\limits_a^b\rho(x)dx=D(b)-D(a)\text{.}\eqno(3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/2/d02d645dbbfc2713a3b425ceea813c8882.png)
Ну, вот Вам и формула Ньютона - Лейбница.
Формула (3), собственно говоря, не годится для электростатики одномерного пространства, потому что плотность заряда
![$\rho(x)$ $\rho(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/7/7872e8aeeb0376e1d2b14b69fbc7501082.png)
имеет размерность
![$\frac{\text{Кл}}{\text{м}^3}$ $\frac{\text{Кл}}{\text{м}^3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/5/6f54bfdf31eef7abc9a1e2c3a819289a82.png)
, в то время как в одномерном пространстве эта размерность должна быть
![$\frac{\text{Кл}}{\text{м}}$ $\frac{\text{Кл}}{\text{м}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/9/dc9cfc6434fc1f3e27b411361a7540f882.png)
. Если мы не будем сокращать произвольный множитель
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
в формуле (2), а вместо этого фиксируем раз и навсегда величину
![$S=1\text{м}^2$ $S=1\text{м}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486826e14be1add45c3fccce67daf58482.png)
(это соответствует выбору единицы измерения заряда в одномерном пространстве такой же, какой она у нас была в трёхмерном), то
![$\gamma(x)=S\rho(x)$ $\gamma(x)=S\rho(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/0/b7012b0f525694fd7f354ed0d494ef5b82.png)
будет линейной плотностью заряда; произведение
![$SD(x)$ $SD(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/4/dd47c3988fcb5fdef1f06d6be0a9ade682.png)
я опять обозначу
![$D(x)$ $D(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/8/b082f0b1650adae524765223beeebf0e82.png)
(это будет электрическое смещение в одномерном пространстве; как видите, размерность смещения в одномерном и в трёхмерном пространстве разная). Тогда формула (2) превратится в
![$$\int\limits_a^b\gamma(x)dx=D(b)-D(a)\text{,}\eqno(4)$$ $$\int\limits_a^b\gamma(x)dx=D(b)-D(a)\text{,}\eqno(4)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/1/291a1d7c7d90a072e8a17de37b91a47182.png)
но, в отличие от формулы (3), размерности всех величин здесь соответствуют одномерному пространству, а не трёхмерному.
Не нужно сильно удивляться тому, что размерности некоторых величин в пространствах разной размерности могут не совпадать. Сравним, например, закон Кулона с соответствующим законом для одномерного пространства (в скалярной форме):
![$F=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0r^2}$ $F=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0r^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/4/964fb3b6ba725c74d614974b9ccf710d82.png)
и
![$F=\frac{q_1q_2}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ $F=\frac{q_1q_2}{2\varepsilon\varepsilon_0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/7/317795faaf806f7aa87a58d0ea9de4e582.png)
. Поскольку относительная диэлектрическая проницаемость
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
безразмерна, то, если мы хотим сохранить неизменными размерности силы и электрического заряда, придётся согласиться с тем, что размерность диэлектрической проницаемости вакуума
![$\varepsilon_0$ $\varepsilon_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/c/23c165f740193e05831dc96e7fd6af5582.png)
в этих формулах различна. Так как
![$F=qE$ $F=qE$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/6/756d0848186de8705e3b82bf7ca0bf8582.png)
, то размерность напряжённости электрического поля в обоих случаях одна и та же, а вот размерность электрического смещения
![$D=\varepsilon\varepsilon_0E$ $D=\varepsilon\varepsilon_0E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/8/098e0be3985c759b8bc5f555e507eed382.png)
будет отличаться, причем, именно так, как она отличается в формулах (3) и (4).
Зиновий писал(а):
Вектор D равен потоку вектора D деленному на площадь.
Площадь, в одномерном случае равна нулю.
Вектор D стремится к бесконечности.
Это всё хорошо, но только непонятно, на каких основаниях Вы считаете нульмерную "площадь" (математики предпочитают здесь слово "объём") нульмерной сферы равной
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
. Нульмерная "площадь" есть безразмерная величина. Естественно считать, что нульмерная площадь множества равна числу точек в этом множестве. Нульмерная сфера - это граница одномерного шара, то есть, отрезка. Она состоит из двух точек, поэтому её нульмерная "площадь" равна
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. Поэтому делить нужно на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, а не на
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
. И это прекрасно согласуется как с формулой (4), так и с формулой напряжённости электростатического поля заряженной плоскости:
![$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/2/c72f5f2367e1b23bff487fde3a0f911382.png)
.
P.S. Очень уж у меня буква
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
оказалась перегруженной...