Полное решение континуум-проблемы

[INT]

В следующих документах изложено полное решение континуум-проблемы. В первом - полные доказательства. Во втором - сводка результатов по методу решения.
http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm
http://sibmathnet.narod.ru/art_003.htm
Надеюсь, что изложено всё ясно. Могу пояснить доказательства, если кому надо.

Сводка результатов.
Полное решение континуум-проблемы
Инт

Мною формулируются геометрические аксиомы, из которых доказывается, что мощность действительной прямой больше мощности любого вполне упорядоченного множества. Из аксиом доказывается ещё одно важное равенство: $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1}$ (Гипотеза Лузина). Аксиомы, затем, выводятся как теоремы канонической теории множеств.

Кратко опишу метод решения. Данных здесь определений достаточно для полного понимания решения, конечно, с учётом того, что надо быть знакомым с основными понятиями и теоремами теории множеств.

Пусть, сектор $D$есть пересечение евклидового единичного круга с прямым углом. Центр круга и вершина угла расположены в точке $O$. Считаем, что $D$совпадает со своей внутренностью как плоская фигура: $int(D) = D$. $C$ – дуга, и та часть границы отмеченного круга, которая является частью границы сектора $D$. Дуга $C$ содержит свои концы $X$ и $Y$. Множество $HC$(в каком-то смысле оно есть «гиперконтинуум») состоит из всех непрерывных линий, расположенных в области $D$ так, что если точка $Z$пробегает линию $l$ из $HC$, длина отрезка $OZ$ равна$r$, а величина угла $XOZ$ равна $\phi$, то линия однозначно задаётся непрерывной функцией $f(r, l)$, зависящей так же и от линии $l$, и такой, что $0 < r < 1$ и через функцию определяется значение угла $\phi = f(r, l)$, которому разрешается лежать в интервале от нуля до прямого угла.

Линия $l$ из $HC$ делит сектор $D$ на две части, не содержащие точек линии. Эти части называются левым и правым множествами в отношении к $l$. Любая точка левого множества считается расположенной левее $l$, а любая правого - правее $l$, если вдоль $l$, как по кривому лучу смотреть из точки $O$ на дугу $C$. В частности, это означает, что если геометрическая точка $W$ принадлежит области $D$, и длина отрезка $OW$ равна $r$, и $w$ равен углу $XOW$, то точка $W$считается расположенной левее линии $l$, если $w > \phi = f(r, l)$, и $W$ считается расположенной правее $l$, если $w < \phi = f(r, l)$.

Пусть линии $l$ и $m$ взяты из множества $HC$ и задаются функциями $f(r, l)$ и $f(r, m)$. Пусть, для всех достаточно больших $r < 1$ выполнено $f(r, l) < f(r, m)$. Тогда, будем писать: $l$ —< $m$(или $m$ >— $l$) и говорить: $l$ заканчивается левее $m$ (или: $m$ заканчивается правее $l$). Линии $l$ и $m$ эквивалентны, что обозначается как $l$ >—< $m$, если для всех достаточно больших $r < 1$ выполнено $f(r, l) = f(r, m)$. Линии, подчиняющиеся условию: $l$ —< $m$ или $l$ >—< $m$ или $l$ >—$m$ называются сравнимыми; линии, которые не подчиняются указанному условию, называются несравнимыми.

Из определений можно извлечь следующие свойства линий множества $HC$:

Свойство I. Пусть А и Б – конечные или счётные подмножества множества $HC$, и все элементы объединения множеств А и Б сравнимы между собой. Пусть, каждая линия множества А заканчивается левее каждой линии множества Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Свойство II. Если А – конечное или счётное подмножество из $HC$, то существуют линии $k$ и $k’$ такие, что $k$ заканчивается левее каждой линии из А, $k'$ заканчивается правее каждой линии из А.

Указанные свойства есть теоремы канонической теории множеств, не зависящие от принятия или отрицания континуум-гипотезы. Пользуясь свойствами I и II, можно строить несчётные, трансфинитные последовательности линий. Интересным фактом является то, что свойства I и II выполнены на множестве двоичных несчётных последовательностей, т.е. на некотором континууме мощности $2^{\aleph_1}$, который в определённом смысле можно «расположить на краю евклидовой области».

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Для того, чтобы выразить аксиому как теорему канонической теории множеств, доказывается эквивалентная ей теорема.

Теорема 1. Пусть $\lambda$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов, а $\mu$ пробегает или множество всех конечных и счётных ординалов, или только множество всех конечных ординалов. И пусть $\lambda$ и $\mu$нумеруют линии $l_{\lambda}$ и $m_{\mu}$ в множестве $HC$ так, что если $\lambda$, $\alpha$, $\mu$, $\beta$ – ординалы, $\lambda < \alpha$ и $\mu < \beta$, то $l_{\lambda}$ —< $l_{\alpha}$ —< $m_{\beta}$ —< $m_{\mu}$. Тогда, существует линия $k$, для которой $l_{\lambda}$ —< $k$ —< $m_{\mu}$ при любых $\lambda$ и $\mu$.

Аксиому можно назвать аксиомой гиперконтинуума, и в полном варианте она формулируется мной сложнее. В данном варианте аксиомы считается, что длина трансфинитных последовательностей линий меньше или равна $\aleph_1$, что является частным случаем, которого достаточно для разрешения континуум-гипотезы.

Доказательство теоремы 1 извлекается из эффективного построения линии $k$, т.е. из построения, использующего заведомо канонические математические операции.

Из аксиомы выводится отрицание континуум-гипотезы: Мощность множества $HC$ равна мощности континуума действительных чисел (мощности континуума счётных двоичных последовательностей), так как множество линий задано непрерывными функциями, которых всего по количеству – такой континуум. С другой стороны, количество сечений в множестве $HC$ (в порядке, введённом среди линий) не меньше чем количество двоичных последовательностей длины $\aleph_1$. Каждому сечению соответствует некоторая линия $k$ из $HC$. В итоге, мощность множества $HC$ равна $2^{\aleph_0}$, равна мощности несчётных двоичных последовательностей длины $\aleph_1$, т.е. равна величине $2^{\aleph_1}$ и больше чем сам $\aleph_1$.

Весьма просто такого рода рассуждения продолжаемы так, что в них повсеместно увеличивается длина трансфинитных последовательностей. В итоге, выводится:

Теорема 2. Пусть $\alpha$ - мощность вполнеупорядоченного множества. Мощность континуума действительных чисел равна $2^\alpha$ и больше чем $\alpha$.

Теорема 3. Мощность множества действительных чисел больше мощности любого вполне упорядоченного множества.

Теоремы 2 и 3 суть теоремы канонической теории множеств, определяющие положение континуума относительно шкалы алефов. Отмеченное доказательство есть контрпример к выводам, изложенным в [1] и [2].

Литература
1. Cohen P. J. The independence of continuum hypothesis. I, II Proc. Nat. Acad. USA, 50 (1963), p. 1143-1148, 51(1964), p. 105-110 (Русский перевод: Коэн П. Дж. Независимость континуум-гипотезы. Математика. 1965, т.9, N4, с.142-155).
2. Godel K. The consistency of the continuum Hypothesis. Princeton University Press, 1940.


P.S. Относительно изложенного в сылках, советую сначала ознакомится с формулировкой аксиом и их геометрическим описанием, из которого вытекает отрицание континуум-гипотезы. Собственно эти аксиомы в их геометрическом варианте невозможно отрицать, даже до вывода их как теорем. Ключевым в моём рассуждении, касаемо выражения решения в канонической теории, является изложенное в §5. Там аксиомы доказываются как теоремы канонической теории множеств. Т.е. доказывется существование линии $k$ каноническими методами. Те рассуждения, которые там находятся сейчас можно прочесть и на форуме в http://dxdy.ru/post220877.html#p220877

Поскольку, для формирования вопросов читателю потребуется некоторое время на обдумывание, будем считать, что если после последнего моего сообщения прошло меньше чем три месяца, то тема обсуждается. Я буду периодически её просматривать.

[Бодигрим]

А что такое "полное решение континуум-проблемы"? Чем оно отличается от решения континуум-проблемы Коэном?

[AD]

Как это чем?

Цитата:

Критикуется спекулятивный, неосхоластический подход формалистов к вопросу о решении математических проблем.

Предлагаю на каждом сообщении приделать кнопку "пожаловаться Brukvalubу"

[Nxx]

Заговор формалистов-космополитов?

[PAV]

INT, ответьте на вопрос, который задал Бодигрим, и как минимум приведите в первом посте точную формулировку своего утверждения (утверждений). Согласно правилам форума, содержательная часть темы должна быть ясна без необходимости ходить по внешним ссылкам.

[Инт]

Бодигрим в сообщении #218828 писал(а):

А что такое "полное решение континуум-проблемы"? Чем оно отличается от решения континуум-проблемы Коэном?

В моём решении формулируются геометрические аксиомы, из которых доказывается, что мощность действительной прямой больше мощности любого вполне упорядоченного множества. Т.е. из аксиом следует, что континуум сколь угодно долго можно приводить в состояние вполне порядка, но этот процесс так и останется незавершённым. Из аксиом доказывается ещё одно важное равенство: мощность множества частей счётного множества равна мощности множества частей множества всех счётных ординалов. Аксиомы, затем, выводятся как теоремы канонической теории множеств.

То, что называют "решением Коэна" никакое не решение - чистой воды спекуляция, и намеренное искажение смысла слова "решение" последователями Коэна.

Решение моё отличается от так называемого "коэновского" тем, что я употребляю прямой смысл слова "решение" и решаю задачу в прямом математическом смысле, точно и абсолютно.

AD в сообщении #219079 писал(а):

Как это чем?

Цитата:

Критикуется спекулятивный, неосхоластический подход формалистов к вопросу о решении математических проблем.

Предлагаю на каждом сообщении приделать кнопку "пожаловаться Brukvalubу"

Жалуйтесь или нет, а рекомендую ознакомится хотя бы со сводкой результатов. Выдёргивание цитат, без рассмотрения существа вопроса - сомнительный приём.

В ближайшее время постараюсь дать как можно кратко более подробную сводку результатов на форуме. Кроме того, непосредственное доказателтьство существования некоторой линии (параграф 5), решающей для разрешения континуум-гипотезы, сделаю более ясным и существенно более коротким раз в пять, чем изложено.

[INT]

Xaositect в сообщении #201210 писал(а):

Да.
Континуум-гипотеза, например.

Xaositect имел ввиду неразрешимость континуум-гипотезы. Приглашаю в тему.

-- Пн июн 08, 2009 20:46:40 --

Nxx в сообщении #219130 писал(а):

Заговор формалистов-космополитов?

Не, не заговор. Глупость формалистов просто, снабжённая социальным статусом, позволяющим давить настоящие математические аргументы.

-- Пн июн 08, 2009 20:49:14 --

Бодигрим в сообщении #218828 писал(а):

А что такое "полное решение континуум-проблемы"? Чем оно отличается от решения континуум-проблемы Коэном?

По пожеланию PAV в первом посте я описал, в чём заключается решение.

-- Пн июн 08, 2009 20:53:15 --

PAV писал(а):

INT, ответьте на вопрос, который задал Бодигрим...

[Бодигрим]

Инт в сообщении #220717 писал(а):

В моём решении формулируются геометрические аксиомы, из которых доказывается, что мощность действительной прямой больше мощности любого вполне упорядоченного множества. Т.е. из аксиом следует, что континуум сколь угодно долго можно приводить в состояние вполне порядка, но этот процесс так и останется незавершённым.

Строго больше мощности?

И разве действительная прямая - не вполне упорядоченное множество? [Upd.: Был не прав, погорячился]

[Инт]

Бодигрим в сообщении #220864 писал(а):

Строго больше мощности?
И разве действительная прямая - не вполне упорядоченное множество? Вполне тривиальным способом упорядочиваемое, кстати.

Не понял первого вопроса. Что касается второго вопроса: Действительная прямая не является вполне упорядоченным множеством. Если бы кто-нибудь указал конкретный способ вполне упорядочния действительных чисел, то он бы, в частности, разрешил континуум-проблему. Вполне упорядоченным называется множество, каждое подмножество которого имеет минимальный элемент. Если Вы заметили, то в первом посте я сделал пояснения.

-- Вт июн 09, 2009 12:56:07 --

Определений, данных в первом посте достаточно для того, чтобы рассматривать следующие доказательства. Всё же, рекомендую ознакомится с геометрическим выражением аксиом. Нумерация аксиом и теорем далее такая же как в основном тексте.

В этих двух постах содержится полное и абсолютное решение континуум-проблемы. Текст §5 в указанном в ссылке документе почти тот же. Этот §5 можно читать здесь, на форуме.

§5. Доказательство аксиом, опровергающих континуум-гипотезу, как теорем канонической теории множеств

5.1. Конъюнкции аксиом II и III, если считать, что длина трансфинитных последовательностей линий меньше или равна $\aleph_1$, эквивалентна следующая аксиома.

Аксиома IV. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых не превышает $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

В свою очередь, этой аксиоме эквивалентна следующая теорема.

Теорема 7. Пусть $\lambda$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов, а $\mu$ пробегает или множество всех конечных и счётных ординалов, или только множество всех конечных ординалов. И пусть $\lambda$ и $\mu$ нумеруют линии $l_{\lambda}$ и $m_{\mu}$ в множестве $HC$ так, что если $\lambda$, $\alpha$, $\mu$, $\beta$ – ординалы, $\lambda < \alpha$ и $\mu < \beta$, то $l_{\lambda}$ —< $l_{\alpha}$ —< $m_{\beta}$ —< $m_{\mu}$. Тогда, существует линия $k$, для которой $l_{\lambda}$ —< $k$ —< $m_{\mu}$ при любых $\lambda$ и $\mu$.

Доказательство теоремы 7 извлекается из эффективного построения линии $k$, т.е. из построения, использующего заведомо канонические математические операции.

Пусть $\alpha$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов. И пусть, $q$ – действительное число такое, что $0 \le q < 1$. При таких $\alpha$ и $q$, пусть индекс $\alpha + q$ (т.е. так обозначенная упорядоченная пара $\{\alpha, q\}$) пробегает множество $J$. Пусть $\lambda = \alpha + q$ и $\mu = \beta + p$ принадлежат $J$. Тогда, считаем $\lambda < \mu$, если $\alpha < \beta$, или если $\alpha = \beta$ и $q < p$. Считается, что $\alpha + 0 = \alpha$, и что $J$ содержит все конечные и счётные ординалы.

Пусть элементы множества $J$ «нумеруют» линии $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$ в множестве $HC$ так, что если $\lambda < \mu$, то $a_{\lambda}$ —< $a_{\mu}$ —< $b_{\mu}$ —< $b_{\lambda}$.

Относительно линий $a_{\lambda}$, $b_{\lambda}$ пусть не известно, имеется ли линия $k$ такая, что $a_{\lambda}$ —< $k$ —< $b_{\lambda}$ при любом $\lambda$. Таким образом, линии $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$ определяют, вообще говоря, произвольное сечение в множестве $HC$.

5.2. Сделаем несложное построение геометрических фигур: В трехмерном евклидовом пространстве Э пусть $\pi$ – плоскость, на которой расположен сектор $D$. Пусть, $\Pi$ – полупространство в пространстве Э, и границей для $\Pi$ является плоскость $\pi$. Пусть, $\pi_{h}$ – плоскость, параллельная $\pi$, расположенная на расстоянии $h$ от $\pi$ в $\Pi$. Пусть, $C_{r}$ – дуга, которая получается от пересечения сектора $D$ окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $r$, $C_{1} = C$; считаем, что $C_{r}$ содержит свои концы $X_{r}$ и $Y_{r}$, расположенные на отрезках $OX$ и $OY$ соответственно. Обозначим как $Z$ точку, расположенную строго между $Y$ и $X$ на $C$, т.е. $Y < Z < X$. Пусть так же: $\sigma_{r}$ – поверхность, образованная объединением всех лучей с началом в какой-либо точке на дуге $C_{r}$, направленных в полупространство $\Pi$ перпендикулярно $\pi$. Тогда, $C_{rh}$ – дуга, полученная пересечением $\sigma_{r}$ и $\pi_{h}$, которая включает свои концы $X_{rh}$ и $Y_{rh}$, расположенные на лучах, исходящих из точек $X_{r}$ и $Y_{r}$ соответственно. Считаем, что объединение дуг $C_{rh}$, $r < 1$, с исключёнными концами, образует область $D_{h}$ (конгруэнтную сектору $D$). Отношения порядка между точками, между точками и линиями, и между линиями, переносим с $D$ на $D_{h}$ при переходе области $D$ в положение области $D_{h}$, если $X_{r}$ и $Y_{r}$ переносятся в точки $X_{rh}$ и $Y_{rh}$ соответственно. Обозначим $Z_{h}$ – точку, расположенную на дуге $C_{1h}$ между точками $X_{1h}$ и $Y_{1h}$, т.е. $X_{1h} < Z_{h} < Y_{1h}$. Введём так же область $E_{h} \subset D_{h}$, непрерывно и взаимно однозначно отображаемую на открытый евклидов круг, граница которой в $D_{h}$ гладкая и касается дуги $C_{1h}$ в единственной точке $Z_{h}$. Считаем, что $E_{h}$ сжимается в точку $Z$, когда $h$ стремится к нулю.

Пусть $\nu$ принадлежит множеству конечных и счётных ординалов. Трансфинитную последовательность канонических деформаций $\Omega_{\nu}$ всегда можно определить шаг за шагом по трансфинитной индукции так, чтобы деформации удовлетворяли следующим условиям:

(I) $\Omega_{\nu}$ – непрерывное всюду кроме точки $Z$ отображение пространства Э в себя, переводящее разные точки в разные, и такое, что $\Omega_{\nu}C_{r} = C_{r}$, $\Omega_{\nu}C_{rh} = C_{rh}$, за исключением случая, когда значение параметров $h$ и $r$ таково, что $h = 0$ и $r = 1$.

(II) Область $\Omega_{\nu}E_{h}$ сжимается в точку $Z$, когда $h$ стремится к нулю.

(III) Для любых $\lambda$ и $\mu$ $\in J$ если $\lambda < \mu < \nu +1$, то $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ —< $\Omega_{\nu}a_{\mu}$ —< $\Omega_{\nu}b_{\mu}$ —< $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$. Линии $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$ заканчиваются в точках, именуемых соответственно $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$, и находящихся на дуге $\Omega_{\nu}C$, и при $\lambda < \mu < \nu + 1$, $ A_{\lambda} < A_{\mu} < Z < B_{\mu} < B_{\lambda}$. При $\eta \ge \nu + 1$ линии $\Omega_{\nu}a_{\eta}$ и $\Omega_{\nu}b_{\eta}$ заканчиваются в точке $Z$, т.е. тогда $A_{\eta}$ и $B_{\eta}$ совпадают с $Z$.

(IV) Пусть (на $\eta$-ом шаге определения, где $\eta$ – ординал): $\lambda < \mu < \eta + 1 < \nu + 1$; и все точки из замыкания $\Omega_{\eta}$Э имеют имена. Пусть последовательности геометрических точек $P’_{n}$ и $P_{n}$, нумерованные натуральными числами, таковы, что $\Omega_{\eta}P’_{n}$ и $\Omega_{\eta}P_{n}$ имеют один предел $P \neq Z$ или на дуге $A_{\lambda}A_{\mu}$, или на дуге $A_{\eta}Z = A_{\eta}A_{\eta + 1}$, или на дуге $B_{\mu}B_{\lambda}$, или на дуге $ZB_{\eta} = B_{\eta + 1}B_{\eta}$, как частях дуги $\Omega_{\eta}C$, или в оставшейся области пространства $\Omega_{\eta}$Э, исключающей указанные дуги как замкнутые множества. Тогда (на $\nu$-ом шаге определения), пределы последовательностей $\Omega_{\nu}P’_{n}$ и $\Omega_{\nu}P_{n}$ совпадают соответственно или на дуге $A_{\lambda}A_{\mu}$ или на дуге $A_{\eta}A_{\eta + 1}$, или на дуге $B_{\mu}B_{\lambda}$, или на дуге $B_{\eta + 1}B_{\eta}$, как частях дуги $\Omega_{\nu}C$, или в оставшейся области пространства $\Omega_{\nu}$Э в точке $\neq Z$, именуемой так же, как и $P$ (геометрические точки $A_{\eta}$, $A_{\eta + 1}$, $B_{\eta + 1}$, $B_{\eta}$ различаются в $\Omega_{\nu}$Э, силу условия III). Если, пределы последовательностей $\Omega_{\eta}P’_{n}$ и $\Omega_{\eta}P_{n}$ различны, то такие пределы (считаем, по определению предыдущих шагов) имеют разные имена. Тогда, пределы $\Omega_{\nu}P’_{n}$ и $\Omega_{\nu}P_{n}$ различны, и имеют разные имена. При любом $\nu$ дугу $\Omega_{\nu}C$ считаем состоянием (вообще говоря, одной и той же) дуги $C$. Дуги $A_{\lambda}A_{\mu}$, $A_{\nu}Z$, $B_{\mu}B_{\lambda}$, $ZB_{\nu}$ изоморфны отрезку обычной действительной прямой.

Будем интерпретировать деформацию $\Omega_{\nu}$ ещё и как некую логическую точку зрения на пространство Э, и на все геометрические объекты в этом пространстве. Т.е. будем трактовать положение вещей так, что $\Omega_{\nu}$Э является одним и тем же пространством при любом $\nu$, и $\Omega_{\nu}E_{h}$ – одной и той же областью, но индекс $\nu$ означает лишь то, что пространство, область и другие геометрические фигуры находятся в $\nu$-ом состоянии $\Omega_{\nu}$Э, $\Omega_{\nu}E_{h}$ и т.п. Из данных условий, главным образом из условия (IV) вытекает

Утверждение 4. Если $\mu < \nu$, то в состоянии $\Omega_{\nu}$Э на дуге $C$ присутствует больше точек, чем в состоянии $\Omega_{\mu}$Э. Т.е. множество имён точек из $\Omega_{\mu}$Э есть подмножество имён из $\Omega_{\nu}$Э. При переходе из состояния $\Omega_{\mu}$Э в $\Omega_{\nu}$Э те точки, которые отличаются от $Z$ в пространстве $\Omega_{\mu}$Э, сохраняют свои окрестности в пространстве $\Omega_{\nu}$Э, если отождествлять точки с одинаковыми именами. Т.е. если точка $\Omega_{\mu}P \neq Z$ имеет в евклидовом пространстве $\Omega_{\mu}$Э некоторую окрестность $\Omega_{\mu}U$, не содержащую $Z$, то множество $\Omega_{\nu}U \subset \Omega_{\nu}$Э будет окрестностью точки $\Omega_{\nu}P$.

Отсюда, и из непрерывности определённых деформаций вытекает

Утверждение 5. Пусть $\mu < \nu$. Если линия $\Omega_{\mu}g_{t} \subset \Omega_{\mu}$Э, зависящая от непрерывного параметра $t < 1$, при $t$ устремлённом к $1$, стремится к предельной линии $\Omega_{\mu}g \subset \Omega_{\mu}$Э, не содержащей в своём замыкании точку $Z \in \Omega_{\mu}$Э, то линия $\Omega_{\nu}g_{t} \subset \Omega_{\nu}$Э стремится к линии $\Omega_{\nu}g$.

Утверждение 6. Пусть $\mu > \nu$. Если линия $\Omega_{\mu}g_{t} \subset \Omega_{\mu}$Э, зависящая от непрерывного параметра $t < 1$, при $t$ устремлённом к $1$, стремится к предельной линии $\Omega_{\mu}g \subset \Omega_{\mu}$Э, то линия $\Omega_{\nu}g_{t} \subset \Omega_{\nu}$Э стремится к линии $\Omega_{\nu}g$.

Стремление линии $f_{t}$, зависящей от $t$, к линии $f$ означает, что для любого заранее заданного действительного числа $\epsilon > 0$, для всех достаточно больших $t < 1$, зависящих от $\epsilon$, линия $f_{t}$ оказывается расположенной в объединении шаров радиуса $\epsilon$ с центрами в точках линии $f$. Кроме того, каждая часть линии $f$ должна содержать в своей $\epsilon$-окрестности части линий $f_t$ для всех достаточно больших $t < 1$.

5.3. Пусть, $h = h(t)$ зависит от момента времени $t$ (формально, от действительного числа), пробегающего значения от $0$ до $1$. Если $h$ устремляется к $0$, то $t$ устремляем к $1$. Можно считать, что сектор $D_{h}$ движется во времени. Определим линии $a’_{\lambda}$ и $b’_{\lambda}$, движущиеся в секторе $D_{h}$ так, чтобы с любой точки зрения $\Omega_{\nu}$ с течением времени $a’_{\lambda}$ и $b’_{\lambda}$ устремлялись бы к линиям $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$ соответственно. Это означает в точности, что при любых $\lambda$ и $\nu$ линия $a’_{\lambda}$ должна устремиться к линии $\Omega_{\nu}a’_{\lambda}$, а линия $\Omega_{\nu}b’_{\lambda}$ – к линии $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$. Не допускаем, чтобы предельные положения линий $\Omega_{\nu}a’_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b’_{\lambda}$ содержали интервал дуги $\Omega_{\nu}C$ с $\nu$-ой точки зрения, и содержали бы точку $Z$ когда $\lambda < \nu + 1$, такие не допущенные предельные положения не совпадают с линиями $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$. Для требуемого, пользуясь условиями (I - IV), возьмём в качестве $\Omega_{\nu}a’_{\lambda}$ или $\Omega_{\nu}b’_{\lambda}$, где $\nu \le \lambda < \nu + 1$, $\lambda \in J$, произвольную линию, которая: а) движется по сектору $\Omega_{\nu}D_{h}$ так, что её точки всегда перемещаются внутри движущегося сектора $\Omega_{\nu}D_{h}$ только вдоль дуг $\Omega_{\nu}C_{rh}$; б) $\Omega_{\nu}a’_{\lambda}$ с течением времени стремится к линии $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$, линия $\Omega_{\nu}b’_{\lambda}$ – к линии $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$; в) для всех достаточно больших $t < 1$ линии $\Omega_{\nu}a’_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b’_{\lambda}$ не пересекаются с областью $\Omega_{\nu}E_{h}$. Вообще говоря, так определённые линии движутся относительно друг друга по сектору $\Omega_{\nu}D_{h}$. В силу утверждений 5 и 6, $\Omega_{\mu}a’_{\lambda}$ или $\Omega_{\mu}b’_{\lambda}$ будет стремится к линии $\Omega_{\mu}a_{\lambda}$ или к линии $\Omega_{\mu}b_{\lambda}$, соответственно, при любом $\mu \neq \nu$, т.е. с любой другой точки зрения $\Omega_{\mu}$.

Трансфинитная последовательность точек зрения $\Omega_{\nu}$ эквивалентна некой предельной точке зрения $\Omega$ на движущийся сектор $D_{h}$, так что с точки зрения $\Omega$ происходит следующее: В момент $t = 1$ на дуге $\Omega \cdot C$ расположена точка $Z$, и несчётное множество дуг $A_{\lambda}B_{\lambda}$, вложенных друг в друга, содержащих $Z$. К точке $Z$ сходится несчётная (омега-один) точечная последовательность вдоль $\Omega \cdot C$. Как покоящийся в секторе наблюдатель считаем, что дуга, $\Omega \cdot C$ и точка $Z$ находятся в каждый момент времени на границе сектора $\Omega \cdot D_{h}$ как дуга и точка, которые действительно совпадают с сответствующими объектами $\Omega \cdot C$ и $Z$ в момент $t = 1$. Иными словами, считаем, что точка $Z$, как кажется наблюдателю в подвижном секторе, в каждый момент совпадает с точкой $\Omega Z_h$. С другой стороны, дуга $\Omega \cdot C$ только в последний момент $t = 1$ становится такой, которая содержит все отрезки $A_{\lambda}B_{\lambda}$. До этого момента она непрерывно преобразуется в указанное конечное состояние. Любая область во внутренности сектора $\Omega \cdot D_{h}$ отображаема взаимно однозначно и непрерывно на некоторую евклидовую плоскую область. $\Omega \cdot D_{h}$ – «в целом неподвижная» область, но по этой области относительно друг друга движутся линии $\Omega \cdot a’_{\lambda}$ и $\Omega \cdot b’_{\lambda}$ при всевозможных значениях индекса $\lambda \in J$. Каждая из этих линий стремится к некоторому предельному положению $\Omega \cdot a_{\lambda}$ и $\Omega \cdot b_{\lambda}$, соответственно, занимаемому к моменту $t = 1$. Линии $\Omega \cdot a_{\lambda}$ и $\Omega \cdot b_{\lambda}$ заканчиваются в точках $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$ соответственно. Невозможно указать такое движение геометрической точки $P$ вдоль линии $\Omega \cdot a’_{\lambda}$, или вдоль $\Omega \cdot b’_{\lambda}$, направленное к неограниченному сближению с дугой $\Omega \cdot C$ так, что во все моменты $t < 1$, точка $P$ находилась бы во внутренности сектора, и чтобы в результате этого движения $P$ достигла бы какой-либо иной точки, кроме $A_{\lambda}$, или $B_{\lambda}$ соответственно. Все линии движутся так, что геометрические точки, «составляющие тела линий», перемещаются только вдоль дуг $\Omega \cdot C_{rh}$. Дуги $\Omega \cdot C_{rh}$ считаются неподвижными. Каков бы ни был индекс $\lambda$, для всех достаточно больших $t < 1$ линии $\Omega \cdot a’_{\lambda}$ и $\Omega \cdot b’_{\lambda}$ не пересекаются с областью $\Omega \cdot E_{\h}$. К моменту $t = 1$ область $\Omega \cdot E_{h}$ сжимается в точку $Z$. Кроме указанных линий, индексированных параметром $\lambda \in J$, мы можем рассматривать в секторе $\Omega \cdot D_{h}$ произвольные линии и геометрические точки, движущиеся по нему и относительно других линий и точек. Всё множество описанных геометрических фигур, линий и точек, обозначим как конфигурация $K$.

Область $\Omega \cdot D_{h}$ может быть интерпретирована как область в пространстве-произведении. Область $\Omega_{\nu}D_{h}$ может считаться $\nu$-ой проекцией области $\Omega \cdot D_{h}$.

Произведём непрерывное деформирование $\hat\Omega$ сектора $\Omega \cdot D_{h}$ на себя и конфигурации $K$ вдоль дуг $\Omega \cdot C_{rh}$. Каков бы ни был момент времени, каждая точка конфигурации $K$ в результате деформирования $\hat\Omega$ переносится вдоль дуги $\Omega \cdot C_{rh}$, на которой точка находилась в этот момент, к своему новому положению на этой дуге в этот момент. Считаем, что фигуры конфигурации $K$ переходят в результате деформации в фигуры конфигурации $\hat\Omega \cdot K$. Считаем, что область $\Omega \cdot E_{h}$ в результате деформирования переходит в область $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$, и граница области $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$ касается дуги $\Omega \cdot C = \hat\Omega \cdot \Omega \cdot C$ в точке $Z'$. Точка $Z'$ заранее выбирается на дуге $\Omega \cdot C$ как одна из точек, не совпадающая с $Z$. Производим деформирование так, чтобы область $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$ сжималась в точку $Z'$ к моменту $t = 1$. Из точки $Z'$ считаем выходящими в область $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$ лучи $f$ некоторого пучка лучей (множества лучей) $F$. Считаем, что в каждый момент времени лучи пучка $F$ непрерывно заполняют весь сектор $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$. Эти лучи, вообще говоря, криволинейные. Каждые два луча пучка не пересекаются внутри сектора $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$. Каждый луч $f \in F$ пересекает область $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$ по некоторому начальному сегменту луча, примыкающему к точке $Z'$. Считаем, что с течением времени лучи остаются в области $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$, а в момент $t = 1$ принимают некоторые фиксированные предельные положения в этой области. Всегда можно добиться того, чтобы при каждом значении индекса $\lambda \in J$, каждая линия $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot a’_{\lambda}$ и $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot b’_{\lambda}$ стремилась к предельному положению $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot a_{\lambda}$ и $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot b_{\lambda}$, соответственно, при $t \to 1$. Эти предельные положения считаем различаемыми между собой вполне определённо.

Так как $\Omega \cdot a’_{\lambda}$ и $\Omega \cdot b’_{\lambda}$ в каждый момент примыкали к дуге $\Omega \cdot C$, то и линии $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot a’_{\lambda}$ и $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot b’_{\lambda}$ в каждый момент времени примыкают к дуге $\Omega \cdot C$. Для всех достаточно больших моментов $< 1$ линия $q’ = \hat\Omega \cdot \Omega \cdot a’_{\lambda}$, кроме того, не будет пересекаться с областью $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$. Следовательно, некоторым непрерывным отображением области $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$ на себя, зависящим непрерывно от времени и от $\lambda$, отображением, производимом вдоль лучей пучка $F$, можно добиться того, что к моменту $t = 1$ деформированная $q’$ займёт некоторое предельное положение в секторе $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$ (и тем самым, среди линий и точек сектора $\Omega \cdot D_{h}$) такое, что предельная линия для деформированной $q’$ будет заканчиваться в точке на $\Omega \cdot C$ левее точки $Z'$. Точнее, указанное непрерывное отображение, деформацию вдоль лучей пучка $F$ обозначим как $\hat\Omega_{\lambda}$. Отображение $\hat\Omega_{\lambda}$, пусть, совпадает с тождественным отображением в начальный момент времени. Тогда, линия $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q’ = \hat\Omega \cdot \Omega \cdot a’_{\lambda}$, перемещаясь по непрерывному закону, займёт некоторое предельное положение $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q$ в секторе $\Omega \cdot D_{h}$ к моменту $t = 1$. Можно так же добиться того, что каждая линия $p \in \hat\Omega \cdot K$, все точки которой занимали предельное положение левее линии $q$ в секторе $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$, в результате деформирования $\hat\Omega_{\lambda}$ расположится полностью левее линии $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q$ в качестве линии $\hat\Omega_{\lambda} \cdot p$. Деформирование $\hat\Omega_{\lambda}$ производим так, что вдоль лучей пучка $F$ непрерывно деформируем плёнку $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$, на которой находятся все линии и точки конфигурации $\hat\Omega \cdot K$. Это означает, что если точка $P \in \hat\Omega \cdot K$ в момент $t$ находилась в некотором положении на луче $f \in F$, то точка $\hat\Omega_{\lambda} \cdot P$, как точка конфигурации $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot K$, будет находиться в момент $t$ на том же луче $f$. Считаем, что конфигурация $\hat\Omega \cdot K$ при деформации $\hat\Omega_{\lambda}$ переходит в конфигурацию $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot K$. Считаем, что $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$ сжимается в точку $Z'$, если $t \to 1$. Пусть $q’_{n} = \hat\Omega \cdot \Omega \cdot a’_{\lambda + n}$. Линии $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q’_{n}$ одна за другой, с течением времени будут выходить из области $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$, т.е. при всех достаточно больших $t$ (зависящих от линии) каждая линия $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q’_{n}$ не будет пересекаться с областью $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$. И поэтому, эти линии, растягиванием плёнки, на которой они движутся, одну за другой можно заставить стремится, при $t \to 1$, к своим предельным положениям $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q_{n}$, не увлекая за собой область $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot \Omega \cdot E_{h}$ так, что эта область всегда может свободно сжиматься в точку. Предельные линии $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q_{n}$ всегда можно взять такими, что они заканчиваются в точках $Z_{n}$ соответственно, и точка $Z_{n}$ лежит левее точек $Z_{n+1}$ и $Z'$ на $\Omega \cdot C$. Кроме того, можно добиться того, что$Z_{n} \to Z'$. Линии $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q’_{n}$ остановятся относительно друг друга к моменту $t = 1$, как и остальные линии конфигурации $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot K$. Пусть линия $k'$ из конфигурации $\hat\Omega \cdot K$ в каждый момент времени совпадала по положению с одним фиксированным лучом $f \in F$, и двигалась относительно других линий на растягиваемой вдоль лучей плёнке $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$, т.е. на той плёнке, по которой двигались и другие элементы конфигурации. Тогда, к моменту $t = 1$ линия $k'$ расположится, как покоящаяся линия, среди предельных не движущихся линий конфигураций $\hat\Omega \cdot K$ в силу того, что лучи пучка $F$ расположатся среди таких линий. Соответственно, линия $\hat\Omega_{\lambda} \cdot k'$ в этот момент расположится среди предельных линий конфигурации $\hat\Omega_{\lambda} \cdot \hat\Omega \cdot K$. Т.е. в момент $t =1$ без ограничений общности можно считать $\hat\Omega_{\lambda} \cdot q_{n}$ —< $\hat\Omega_{\lambda} \cdot k'$, если перенести отношения между точками и линиями, и между линиями с сектора $D$. Используя обратные деформации, находим, что $q_{n}$ —< $k'$ в $\hat\Omega \cdot \Omega \cdot D_{h}$ в тот же момент времени. В конфигурации $K$ найдётся линия $\Omega \cdot k$, которая переходит в $k'$ при отображении $\hat\Omega$. Меняя индекс $\lambda$, получаем, что при любом значении индекса, в момент $=1$, $\Omega \cdot a_{\lambda}$ —< $\Omega \cdot k$. Аналогично рассуждаем для линий $\Omega \cdot b_{\lambda}$. В итоге, для конечного момента, когда линии остановятся, получаем $a_{\lambda}$ —< $k$ —< $b_{\lambda}$ при любом $\lambda$, ч.т.д. Устанавливаем истинность проверяемой аксиомы IV как теоремы канонической теории множеств.

Вывод расширенной аксиомы, для трансфинитных последовательностей, составленные из $\aleph_2$ линий евклидовой области $D$, достаточно прост. Поэтому, аксиомы I – III в полном варианте так же являются теоремами классической теории множеств. Из них немедленно вытекают теоремы 4 и 5, которые так же суть теоремы, выводимые в теории множеств, и определяют положение континуума на шкале алефов.

[Инт]

В общем, тихо сам с собою я веду беседу.

Поясняю один момент, так как может быть не понятно, почему в доказательстве делается именно такой-то такой шаг, а не иной. Почему сразу нелья воспользоваться точкой $Z$, вместо точки $Z'$? Потому, что $Z$ к моменту $t = 1$ окажется точкой для которой не известно существует ли искомая линия или нет, т.е. вообще можно ли к ней провести хотя бы одну линию. Точка же $Z'$ "классическая", т.е. к ней как до момента $t = 1$, так и в такой момент можно провести линии, которые заведомо существуют.

[AD]

Ответьте, пожалуйста, сначала вот на какой вопрос. Как так вышло, что Вы доказали теорему

Цитата:

Теорема 3. Мощность множества действительных чисел больше мощности любого вполне упорядоченного множества.

, которая противоречит ZFC?

[Инт]

AD в сообщении #221569 писал(а):

Ответьте, пожалуйста, сначала вот на какой вопрос. Как так вышло, что Вы доказали теорему

Цитата:

Теорема 3. Мощность множества действительных чисел больше мощности любого вполне упорядоченного множества.

, которая противоречит ZFC?

Это начихать. Прочтите аргументы по существу. Хотя бы в первом посте. Тогда и поймёте как вышло.

-- Пт июн 12, 2009 16:23:03 --

Ещё раз про

AD в сообщении #221569 писал(а):

противоречит ZFC

Доказательства ведутся так, что сначала каждое множество ограничено некоторым конкретным алефом. И опровержение континуум-гипотезы не требует перехода к таким огромным мощностям, о которых говорит одна из моих теорем. Но потом ясно, как сделать такой переход, так как рассуждения можно продолжить по существу.

-- Пт июн 12, 2009 16:25:38 --

Вообще, геометрическое описание, которое дано по ссылке многое проясняет.

[AD]

Инт в сообщении #221575 писал(а):

Прочтите аргументы по существу. Хотя бы в первом посте.

Не нашел так с ходу. Процитируйте, пожалуйста.

[Инт]

AD в сообщении #221579 писал(а):

Не нашел так с ходу. Процитируйте, пожалуйста.

Из формулировок первого поста может быть не видно, как доказывается теорема о том, что мощность континуума больше мощности любого вполне упорядоченного множества. Просто поясняется, что доказать можно. Зато это видно из §§1-4 основного текста.

Поясню кратко, что происходит в этих параграфах, поскольку никакая цитата ничего полностью не пояснит. Причём, чтобы удовлетворить требованиям некоторой формальной теории, и не впадать в противоречие, можно использовать ограниченную на мощность аксиому выбора.

Если развести концы линий множества $HC$ разом, то на краю сектора $D$ возникнет некий "гиперконтинуум", который можно отождествить с континуумом несчётных, длины алеф-один двоичных последовательностей. В точку такого континуума и можно провести линию $k$. В §1 основного текста описывается континуум двоичных последовательностей длины алеф-один. Указываются некоторые его свойства. В частности свойства I и II в первом посте. В §3 строится множество $HC$, и так же устанавливаются свойства I и II уже для множества $HC$. Затем, через сопоставление свойств выводится, что линия $k$ должна существовать. И, непосредственно отсюда, выводится теорема, что мощности континуумов счётных и несчётных (длины алеф-один) двоичных последовательностей равны.

Переход к большим мощностям и теореме, которую упямянул AD делается так. Из доказательства существования линии $k$ делается однозначный вывод, что на HC верны свойства (мы как бы продолжаем наполнять гиперконтинуум на границе сектора точками):

Свойство I*. Пусть А и Б – подмножества множества HC мощности алеф-один, и все элементы объединения множеств А и Б сравнимы между собой. Пусть, каждая линия множества А заканчивается левее каждой линии множества Б. Тогда, существует линия , которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Свойство II*. Если А – подмножество из $HC$ мощности алеф-один, то существуют линии $a$ и $b$ из $HC$ такие, что $a$ заканчивается левее каждой линии из А, $b$ заканчивается правее каждой линии из А.

Отсюда, пользуясь свойствами, как на линиях множества $HC$, так и на точках гиперконтинуума можно строить уплотняющиеся последовательности мощности алеф-два. Затем, можно и достаточно легко доказать теорему, эквивалентную приведённой в первом посте аксиоме, если мощность множеств в аксиоме определить как равную или меньше алеф-два. Так можно продолжать без ограничений. Т.е. мощность множества линий $HC$ больше чем алеф-два и т.д.

-- Пт июн 12, 2009 17:15:49 --

Ещё одно. Вывод вполне упорядочения любого множества значит имеет где-то ошибку. Вообще он весьма общий и неконструктивный. Сводится к следующему рецепту: бери один за другим элементы множества, когда их переберёшь все, это и значит вполне упорядочение. Я подозреваю, что даже формально в ZFC указанный вывод о вполне упорядочнии ошибочен. И могу указать такие моменты в нём. Но это отдельная тема.

-- Пт июн 12, 2009 17:34:57 --

множество $HC$ имеет мощность континуума действительных чисел. Так как задаётся непрерывными функциями, которых всего такой континуум.

-- Пт июн 12, 2009 19:02:46 --

Заметил, что собственно ключевое доказательство в п.5.3. занимает 2,5 компьютерных экрана. первые два пункта - по существу определения. Остальное, надеюсь, воспринмается легко.

[AD]

Инт в сообщении #221585 писал(а):

Вывод вполне упорядочения любого множества значит имеет где-то ошибку.

Ага, ну понятна Ваша позиция.