Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

На мой взгляд, представляется интересным вариант задачи, когда количество зарядов недостаточно для покрытия всей длины линейки.
В этом случае, мне представляется, что заряды разобьются на две равные по величине плотные группы, которые разойдутся на максимально возможное расстояние?
Особенно интересен случай нечетного количества зарядов.
Как разместится один лишний заряд, нарушающий симметрию картины распределения зарядов?
По логике вещей, можно предположить, что его положение может быть произвольным, т.е. его пространственное положение никак не задается полевой задачей?

[photon]

В этом случае задача сводится к минимизации функиционала, написанного Аурелиано Буэндиа. Если заряды дискректны (и даже не обязательно равны), то интегралы заменятся суммами. Если заряды дискретны и равны, то один из них будет в центре.
Я нигде не ошибся?

[Mopnex]

Так, так. Хотел бы зделать кое какие замечания для тех, кто наводит тень на плетень нефизичностью и всякой такой философией. Задача абсолютно физична. В этом можно убедиться, проделав мысленный эксперимент - берем 1 мааааааленький заряженный шарик, кидаем его на линейку, он, понятное дело, окажется в случайном месте. Добавляем еще один, дальше все будет абсолютно детерминировано, шарики окажутся на концах линейки. Третий будет точно посередине. С четырьмя шариками будет уже посложнее, но все равно, система уравнений с законами Кулона в принципе решаема, а вот дальше дискретные методы ведут в тупик, или требуют применения мощных компьютеров. Но принцип понятен, нужно чтобы просто соблюдалось условие: количество шариков меньше величины длины линейки, деленной на диаметр шарика.
Способ, анологичный, предложенному Аурелиано, я пробовал, но уперся в сложность подсчета интеграла вблизи заряда. Не смог придумать приемлемую модель, чтобы не возникало расходимости. Так что сколько-нибудь путного результата не получил. Поэтому если кто сможет предложить способ сдвинуться с мертвой точки - буду благодарен.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Так, так. Хотел бы зделать кое какие замечания для тех, кто наводит тень на плетень нефизичностью и всякой такой философией. Задача абсолютно физична. В этом можно убедиться, проделав мысленный эксперимент - берем 1 мааааааленький заряженный шарик, кидаем его на линейку, он, понятное дело, окажется в случайном месте. Добавляем еще один, дальше все будет абсолютно детерминировано, шарики окажутся на концах линейки. Третий будет точно посередине.

Вопрос:
Чем ситуация с "третьим шариком", или с любым другим нечетным (кроме последнего, если на линейке уместится нечетное число шариков), отличается от "первого шарика?
Чем определяется положение "точно посередине" всех нечетных шариков, кроме первого, положение которого произвольно?

Mopnex писал(а):

С четырьмя шариками будет уже посложнее, но все равно, система уравнений с законами Кулона в принципе решаема, а вот дальше дискретные методы ведут в тупик, или требуют применения мощных компьютеров. Но принцип понятен, нужно чтобы просто соблюдалось условие: количество шариков меньше величины длины линейки, деленной на диаметр шарика.
Способ, анологичный, предложенному Аурелиано, я пробовал, но уперся в сложность подсчета интеграла вблизи заряда. Не смог придумать приемлемую модель, чтобы не возникало расходимости. Так что сколько-нибудь путного результата не получил. Поэтому если кто сможет предложить способ сдвинуться с мертвой точки - буду благодарен.

В чем сложность с "четвертым" и т.д.?
Поле, создаваемое на линейке между разошедшимися на края равными зарядами, равно нулю.
След. в пространстве между зарядами будет только поле нечетного заряда, независящее от удаленности от него.
Вы размещаете четвертый заряд справа или слева от третьего шарика.
Будучи размещенным на линейке, четвертый заряд оказывается под воздействие поля только третьего заряда и, естественно уходит до упора в ранее разошедшиеся заряды.
Т.е. задача в точности свелась к размещению первых двух зарядов и т.д.
В итоге, как и указывалось, заряды будут плотно упаковываться к краям линейки, оставляя свободной среднюю часть линейки, где будет произвольно располагаться очередной нечетный заряд.
И так до окончательного заполнения линейки.
P.s.
Нефизичность задачи заключается не в "философии", а в отсутствии в природе бесконечных силовых полей, да еще и одномерных, что делает неприменимым к этой задаче, наработанного математического аппарата математической физики.
Возможен только "умозрительный анализ".

[photon]

Похоже, просто по разному интерпретируется задача: линейка одномерная и заряды располагаются вдоль прямой, но поле-то 3D, в условии же не сказано, что задача во всем одномерна

[Зиновий]

photon писал(а):

Похоже, просто по разному интерпретируется задача: линейка одномерная и заряды располагаются вдоль прямой, но поле-то 3D, в условии же не сказано, что задача во всем одномерна

В условие задачи сказано "Предлагаю подумать над такой задачей. В одномерном пространстве имеется ограниченная с обоих концов линейка".

[photon]

Если так, то я с Вами согласен, осталось спросить автора, действительно ли он имел в виду то, что написал

[Зиновий]

photon писал(а):

Если так, то я с Вами согласен, осталось спросить автора, действительно ли он имел в виду то, что написал

При решении любой задачи, мы не вправе додумывать за автора.
Задача рассматривается, исключительно, согласно заданным условиям.
С измененными условиями, это уже другая задача.

[ИСН]

По-моему, если додуманное получается интересным, то отчего бы и не додумать (и таки да, это будет другая задача).
Впрочем, мне теперь представляется достаточно интересным попытаться решить задачу для хоть какого-нибудь потенциала отталкивания.

[Зиновий]

ИСН писал(а):

По-моему, если додуманное получается интересным, то отчего бы и не додумать (и таки да, это будет другая задача).
Впрочем, мне теперь представляется достаточно интересным попытаться решить задачу для хоть какого-нибудь потенциала отталкивания.

А кто против"додумывания"?
Для того, кроме прочего, и нужна первая задача.
Только в процессе "додумывания" надо не забыть про исходную задачу.

[photon]

Давайте все-таки попробуем смотреть на 1D линейку в 3D пространстве.
Аурелиано Буэндиа, я так понимаю, Вы минимизировали (хотя и не выписали нам решение) функционал в предположении сжимаемости зарядов. Теперь предлагаю проделать тоже самое для а) заряд непрерывен, но плотность его не может превышать некоторой заданной величины; б) заряды дискретны, размер их носителей и их количество известны, носители несжимаемы. Все носители и несомый ими заряд одинаковы.

[ИСН]

Хорошо. Так давайте же расширять класс парных потенциалов отталкивания, для которых мы что-то знаем. В случае потенциала -|x|, сиречь одномерно-кулоновского потенциала, как Зиновий верно разъяснил, шары собьются равными кучами по концам отрезка, а последний (если их число нечётно) ляжет случайным образом. В потенциале -x^2, например, будет то же самое, за исключением того, что нечётный шар будет не кататься по отрезку, а припадать к одной из куч. Понятно, в непрерывном случае (вместо шаров - жидкость) будут две дельта-функции.
В потенциале 1/r (трёхмерно-кулоновском) получится какая-то нетривиальная картина, которую в дискретном случае легко посчитать явно для небольших n, но выразить в общем виде пока не удалось, а в непрерывном натыкаемся на катастрофу расходимости.
Ещё что?

[Someone]

Зиновий писал(а):

Нефизичность задачи заключается не в "философии", а в отсутствии в природе бесконечных силовых полей, да еще и одномерных, что делает неприменимым к этой задаче, наработанного математического аппарата математической физики.

Решение Вы замечательно расписали, вот только никак я не пойму, откуда Вы взяли "бесконечные силовые поля". Одномерный случай формально получается из трёхмерного, если потребовать, чтобы все величины зависели только от одной координаты, а задача о поле точечного заряда в одномерном пространстве в точности эквивалентна задаче о поле равномерно заряженной плоскости. Хорошо известно, что поле при этом получается конечным ($E=\frac{x-x_0}{|x-x_0|}\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$, где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда, $\varepsilon$ - относительная диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon_0$ - диэлектрическая проницаемость вакуума, $x_0$ - координата заряда, $x$ - координата точки, в которой вычисляется поле). Для одномерного пространства $\sigma$ интерпретируется как величина заряда.

[Someone]

Mopnex писал(а):

... берем 1 мааааааленький заряженный шарик, кидаем его на линейку, он, понятное дело, окажется в случайном месте. Добавляем еще один, дальше все будет абсолютно детерминировано, шарики окажутся на концах линейки. Третий будет точно посередине.

Судя по этому, автор задачи имеет в виду трёхмерное пространство, а не одномерное.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

Судя по этому, автор задачи имеет в виду трёхмерное пространство, а не одномерное.

А в одномерном случае все тривиально. Интересен как раз трехмерный случай со связями $x_2=x_3=0$ и $-a<x_1<a$.