Магические квадраты

[Nataly-Mak]

maxal писал(а):

... а также перестановкой строк и столбцов.
Для пар (или даже групп) квадратов определение изоморфности такое же, только преобразование тождественной перестановки должно быть одно и то же в обоих (всех) квадратах, и перестановки строк/столбцов должны осуществляться одновременно во всех квадратах.

Насчёт перестановки строк/столбцов согласна: они должны осуществляться одновременно во всех квадратах. А вот насчёт преобразования тождественной перестановки чисел не согласна, что такая трансформация должна быть одинакова в обоих (в случае пары ОЛК) квадратах. Если мы преобразуем один из квадратов пары одним преобразованием тождественной перестановки, а второй квадрат - другим преобразованием тождественной перестановки, разве полученная в этом случае пара ОЛК не будет изоморфна исходной паре? В моих статьях есть много подобных примеров, когда два латинских квадрата в паре ОЛК преобразованы разными преобразованиями тождественной перестановки чисел. Ортогональность квадратов в этих многочисленных примерах всегда сохранялась. Может быть, в общем случае это неверно? Ещё раз сформулирую, что "это". Пусть мы имеем пару ОЛК. Преобразуем один из квадратов пары некоторым преобразованием трансформации тождественной перестановки чисел, а другой квадрат пары преобразуем другим преобразованием трансформации тождественной перестановки чисел. Можно ли утверждать, что преобразованные латинские квадраты по-прежнему ортогональны?
Продолжу пример, приведённый выше. В этом примере один латинский квадрат преобразован трансформацией тождественной перестановки чисел (которая, кстати, оказалась равносильной перестановке столбцов). Теперь возьму второй ортогональный соквадрат и преобразую его с помощью другой трансформации тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4 --> 3 2 4 0 1. Очевидно, что это совсем другая трансформация тождественной перестановки чисел (в первом примере был просто циклический сдвиг). Полученный в результате преобразования второй латинский квадрат:

3 2 4 0 1
4 0 1 3 2
1 3 2 4 0
2 4 0 1 3
0 1 3 2 4

(Оба латинских квадрата взяты из группы MOLS, приведённой в книге Гарднера).
Понятно, что получены два изоморфных исходным латинских квадрата. Разве пара этих квадратов не может считаться тоже изоморфной исходной паре ОЛК? Ортогональность преобразованных квадратов сохранилась.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #210952 писал(а):

Насчёт перестановки строк/столбцов согласна: они должны осуществляться одновременно во всех квадратах. А вот насчёт преобразования тождественной перестановки чисел не согласна, что такая трансформация должна быть одинакова в обоих (в случае пары ОЛК) квадратах. Если мы преобразуем один из квадратов пары одним преобразованием тождественной перестановки, а второй квадрат - другим преобразованием тождественной перестановки, разве полученная в этом случае пара ОЛК не будет изоморфна исходной паре?

Да, так тоже можно.

Добавлено спустя 21 минуту 46 секунд:

Nataly-Mak в сообщении #210713 писал(а):

А существует ли понятие “нетрадиционный латинский квадрат”? Есть обобщённые латинские квадраты, но это не то, что я имею в виду. Если такое понятие ещё не ввели, то я буду первая. Почему бы не ввести такое понятие по аналогии с нетрадиционными магическими квадратами? Итак, определение: нетрадиционным латинским квадратом порядка $n$ называется квадратная таблица размером $n*n$, заполненная натуральными числами от 1 до $m$ ($m > n$) так что в каждой строке и в каждом столбце таблицы все элементы различны.
Для нетрадиционных латинских квадратов с ходу составляется пара ОЛК 2-го порядка, например, такая:

Определить можно все, что угодно, но первым вопрос, которым стоит озадачиться - "зачем?".

Кроме того, вам еще нужно определить, что такое нетрадиционные ОЛК или точнее ОНЛК. Проблема в том, что не всякое свойство (определение) ОЛК может быть перенесено на нетрадиционные квадраты дословно. Например, для каждая пара ОЛК содержит все возможные пары чисел $(i,j)$, где $i,j\in\{1,2,\dots,n\}$, в соответствующих клетках. Для нетрадиционных квадратов такого свойства не будет.

[Nataly-Mak]

А зачем ввели нетрадиционные магические квадраты?
ОНЛК, как я понимаю, означает "ортогональные нетрадиционные латинские квадраты". Определение ОНЛК точно такое же, как и определение ОЛК: если образовать все пары из элементов этих латинских квадратов, находящихся в соответствующих ячейках, то все эти пары будут различны. Я уже привела выше пример ОНЛК 2-го и 6-го порядка.
Для нетрадиционных латинских квадратов не выполняется ещё, например, такое свойство: суммы в строках и столбцах таких квадратов не равны одной и той же величине. И совсем необязательно переносить все свойства классических латинских квадратов на нетрадиционные латинские квадраты.
Зато для нетрадиционных латинских квадратов, как я уже писала, существуют пары ОЛК любого порядка. Существует группа MOLS 10-го порядка из пяти квадратов. Кроме того, для любого составного порядка работает метод составных квадратов.
Может быть, если внимательнее присмотреться к нетрадиционным латинским квадратам, ещё обнаружатся какие-нибудь свойства.

[Nataly-Mak]

Уважаемые дамы и господа!
Очень требуется ваша помощь. Я нашла в одной из статей, присланных мне shwedk'ой, совершенные латинские квадраты. Статья, конечно, на английском языке, поэтому ничего не могу в ней понять. Какие такие латинские квадраты называются совершенными А так хочется узнать!!!
Хорошо, что в статье есть один квадрат, который как раз и является совершенным латинским квадратом (под рисунком стоит такая подпись: A perfect latin square of order 9). Покажу его:

0 3 6 1 4 7 2 5 8
2 5 8 0 3 6 1 4 7
1 4 7 2 5 8 0 3 6
3 6 0 4 7 1 5 8 2
5 8 2 3 6 0 4 7 1
4 7 1 5 8 2 3 6 0
6 0 3 7 1 4 8 2 5
8 2 5 6 0 3 7 1 4
7 1 4 8 2 5 6 0 3

К этому совершенному латинскому квадрату элементарно строится ортогональный соквадрат.
Ничего не понимая в совершенных латинских квадратах, я построила по аналогии совершенный латинский квадрат 27-го порядка:

0 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 26
1 4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 26 0 3 6 9 12 15 18 21 24
2 5 8 11 14 17 20 23 26 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7 10 13 16 19 22 25
3 6 9 12 15 18 21 24 0 4 7 10 13 16 19 22 25 1 5 8 11 14 17 20 23 26 2
4 7 10 13 16 19 22 25 1 5 8 11 14 17 20 23 26 2 3 6 9 12 15 18 21 24 0
5 8 11 14 17 20 23 26 2 3 6 9 12 15 18 21 24 0 4 7 10 13 16 19 22 25 1
6 9 12 15 18 21 24 0 3 7 10 13 16 19 22 25 1 4 8 11 14 17 20 23 26 2 5
7 10 13 16 19 22 25 1 4 8 11 14 17 20 23 26 2 5 6 9 12 15 18 21 24 0 3
8 11 14 17 20 23 26 2 5 6 9 12 15 18 21 24 0 3 7 10 13 16 19 22 25 1 4
9 12 15 18 21 24 0 3 6 10 13 16 19 22 25 1 4 7 11 14 17 20 23 26 2 5 8
10 13 16 19 22 25 1 4 7 11 14 17 20 23 26 2 5 8 9 12 15 18 21 24 0 3 6
11 14 17 20 23 26 2 5 8 9 12 15 18 21 24 0 3 6 10 13 16 19 22 25 1 4 7
12 15 18 21 24 0 3 6 9 13 16 19 22 25 1 4 7 10 14 17 20 23 26 2 5 8 11
13 16 19 22 25 1 4 7 10 14 17 20 23 26 2 5 8 11 12 15 18 21 24 0 3 6 9
14 17 20 23 26 2 5 8 11 12 15 18 21 24 0 3 6 9 13 16 19 22 25 1 4 7 10
15 18 21 24 0 3 6 9 12 16 19 22 25 1 4 7 10 13 17 20 23 26 2 5 8 11 14
16 19 22 25 1 4 7 10 13 17 20 23 26 2 5 8 11 14 15 18 21 24 0 3 6 9 12
17 20 23 26 2 5 8 11 14 15 18 21 24 0 3 6 9 12 16 19 22 25 1 4 7 10 13
18 21 24 0 3 6 9 12 15 19 22 25 1 4 7 10 13 16 20 23 26 2 5 8 11 14 17
19 22 25 1 4 7 10 13 16 20 23 26 2 5 8 11 14 17 18 21 24 0 3 6 9 12 15
20 23 26 2 5 8 11 14 17 18 21 24 0 3 6 9 12 15 19 22 25 1 4 7 10 13 16
21 24 0 3 6 9 12 15 18 22 25 1 4 7 10 13 16 19 23 26 2 5 8 11 14 17 20
22 25 1 4 7 10 13 16 19 23 26 2 5 8 11 14 17 20 21 24 0 3 6 9 12 15 18
23 26 2 5 8 11 14 17 20 21 24 0 3 6 9 12 15 18 22 25 1 4 7 10 13 16 19
24 0 3 6 9 12 15 18 21 25 1 4 7 10 13 16 19 22 26 2 5 8 11 14 17 20 23
25 1 4 7 10 13 16 19 22 26 2 5 8 11 14 17 20 23 24 0 3 6 9 12 15 18 21
26 2 5 8 11 14 17 20 23 24 0 3 6 9 12 15 18 21 25 1 4 7 10 13 16 19 22

Хотя этот латинский квадрат получился недиагональный, однако суммы чисел в диагоналях равны суммам чисел в строках и в столбцах. Элементарно построив ортогональный соквадрат к этому квадрату, я получила пару ОЛК сразу пригодную для построения магических квадратов.
Пожалуйста, помогите узнать из статьи, какие же латинские квадраты называются совершенными. Просто чрезвычайно интересно!
Вот статья: "Perfect latin squares" (Discrete Applied Mathematics 37/38 (1992) 281-286), автор Katherine Heinrich, кажется, в соавторстве с другими.
Если найти статью сложно, то я пришлю.
Построенный мной латинский квадрат 27-го порядка является совершенным?
Я построила также аналогичные латинские квадраты 6-го, 12-го и 15-го порядков. Но ортогональных соквадратов к квадратам 12-го и 15-го порядка с ходу не нашла.
Итак, имеем ещё одну аналогию с магическими квадратами, ведь совершенные магические квадраты тоже имеются.
Очень, очень, очень надеюсь на помощь, уважаемые коллеги. Вопрос-то интересный!

[shwedka]

определение совершенных квадратов дано в статье.
Диагональный ЛК порядка $n^2$ с элементами $a_{k,l}$ называется совершенным в следующем случае. Для $i,j$ , $0\le i,j\le n^2-n$, строится квадрат
$S_{ij}$, порядка $n$ с элементами $ b_{t,s}=a_{i+t,j+s}$, $0\le t,s\le n-1$
если для любых $i,j$ , делящихся на $n$, квадрат $S_{ij}$ содержит только различные числа.

так что квадрат порядка 27, что Вы построили, не является совершенным, так как 27 - не квадрат.

[Nataly-Mak]

О, shwedka, премного вам благодарна!!
Простите, что долго не отвечала, тут хоккей был, надо было поболеть. Матч был такой драматичный, но мы выиграли
Определение вполне поняла. Ну, совершенный латинский квадрат 4-го порядка строится элементарно. А вот с квадратом 16-го порядка немного повозилась.
Вот он:

0 4 8 12 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15
2 6 10 14 3 7 11 15 0 4 8 12 1 5 9 13
3 7 11 15 2 6 10 14 1 5 9 13 0 4 8 12
1 5 9 13 0 4 8 12 3 7 11 15 2 6 10 14
8 12 0 4 9 13 1 5 10 14 2 6 11 15 3 7
10 14 2 6 11 15 3 7 8 12 0 4 9 13 1 5
11 15 3 7 10 14 2 6 9 13 1 5 8 12 0 4
9 13 1 5 8 12 0 4 11 15 3 7 10 14 2 6
12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3
14 10 6 2 15 11 7 3 12 8 4 0 13 9 5 1
15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 12 8 4 0
13 9 5 1 12 8 4 0 15 11 7 3 14 10 6 2
4 0 12 8 5 1 13 9 6 2 14 10 7 3 15 11
6 2 14 10 7 3 15 11 4 0 12 8 5 1 13 9
7 3 15 11 6 2 14 10 5 1 13 9 4 0 12 8
5 1 13 9 4 0 12 8 7 3 15 11 6 2 14 10

Теперь я совершенный квадрат построила?
Ещё такой вопрос. Тут я ввела определение нетрадиционных латинских квадратов, меня спросили – зачем это нужно. Скажите, пожалуйста, а в чём практическая ценность совершенных латинских квадратов? Об этом в указанной статье что-нибудь написано?
И последний вопрос. Фраза: “Gergely showed a general method to construct diagonal latin square of any order $n$ ($n>=4$) [3]” означает ли, что Gergely разработал некий общий метод построения диагональных латинских квадратов любого порядка $n>=4$? И нельзя ли найти статью по ссылке [3]?

[shwedka]

Nataly-Mak в сообщении #211575 писал(а):

Скажите, пожалуйста, а в чём практическая ценность совершенных латинских квадратов?

В статье написано довольно много. Смысл-- в расположении блоков информации (памяти) и средств доступа к ним так, чтобы различные системы доступа могли бы параллельно работать, не мешая друг другу.
Там еще много философии на эту тему.
Вот потому-то латинские квадраты и их варианты являются предметом постоянного внимания, поскольку они нужны для развития икроэлектроники. Тем они отличаются от магических квадратов, которые были и остаются занимательной игрушкой.

Nataly-Mak в сообщении #211575 писал(а):

Gergely разработал некий общий метод построения диагональных латинских квадратов любого порядка $n>=4$?

Да, такое там написано. Статью из дому забрать не удается. завтра или послезавтра пойду на работу и погляжу в бумажной библиотеке.

Цитата:

Теперь я совершенный квадрат построила?

Не знаю, проверять нужно.

[Nataly-Mak]

Ну, насчёт постоянного внимания к латинским квадратам - это не про наш форум
Здесь тему "Латинские квадраты" совсем забросили, а данная тема держится только на моей постоянной инициативе.
Вам большое спасибо! Такое наслаждение получила от построения совершенных латинских квадратов. Сейчас уже построила для порядка 25. Теперь надо ещё попробовать построить к этим квадратам ортогональные соквадраты и тогда вообще будет чудесно.
Жду статью Gergely.

[Nataly-Mak]

Поскольку латинские квадраты меня интересуют прежде всего как инструмент для построения магических квадратов, естественно, я сразу попробовала для построенных совершенных латинских квадратов (ЛК) найти ортогональные соквадраты. Как я уже писала, для совершенного ЛК 9-го порядка это получилось сразу. Обнаружила, что построенные мной совершенные ЛК 16-го и 25-го порядка обладают свойством пандиагональности. Совершенный ЛК 9-го порядка, разумеется, тоже обладает этим свойством. Таким образом, совершенные квадраты служат для построения пандиагональных магических квадратов. Это пандиагональный магический квадрат 9-го порядка, построенный из пары ОЛК, составленной из совершенных ЛК:

1 31 61 11 41 71 21 51 81
20 50 80 3 33 63 10 40 70
12 42 72 19 49 79 2 32 62
34 55 4 44 65 14 54 75 24
53 74 23 36 57 6 43 64 13
45 66 15 52 73 22 35 56 5
58 7 28 68 17 38 78 27 48
77 26 47 60 9 30 67 16 37
69 18 39 76 25 46 59 8 29

Этот пандиагональный магический квадрат обладает интересным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3 равна магической константе квадрата. Свойство сохраняется при параллельном переносе на торе. Вот какой замечательный квадрат построился из пары ортогональных совершенных ЛК.
Пандиагональные магические квадраты 16-го и 25-го порядка тоже построила из пар совершенных ОЛК. Ортогональные соквадраты к построенным совершенным ЛК тоже нашлись легко. Указанное выше свойство имеется и в пандиагональных квадратах 16-го и 25-го порядка.
А вот совершенный ЛК 36-го порядка у меня не получился. Может быть, он не существует? Или я ошиблась где-то в построениях? Строила, конечно, вручную, потому что программы для построения совершенных ЛК у меня ещё нет. Да и метод построения я толком не знаю, ведь я строю совершенные ЛК только глядя на один единственный пример – совершенный ЛК 9-го порядка, приведённый в указанной выше статье. А одного примера, конечно, маловато. Я приведу квадрат 36-го порядка, который построила. По свойству подквадратов 6х6 он получился совершенный, но он недиагональный, в диагоналях есть повторяющиеся числа.

0 6 12 18 24 30 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35
4 10 16 22 28 34 2 8 14 20 26 32 5 11 17 23 29 35 0 6 12 18 24 30 3 9 15 21 27 33 1 7 13 19 25 31
3 9 15 21 27 33 0 6 12 18 24 30 4 10 16 22 28 34 1 7 13 19 25 31 5 11 17 23 29 35 2 8 14 20 26 32
1 7 13 19 25 31 3 9 15 21 27 33 0 6 12 18 24 30 5 11 17 23 29 35 2 8 14 20 26 32 4 10 16 22 28 34
5 11 17 23 29 35 4 10 16 22 28 34 3 9 15 21 27 33 2 8 14 20 26 32 1 7 13 19 25 31 0 6 12 18 24 30
2 8 14 20 26 32 5 11 17 23 29 35 1 7 13 19 25 31 4 10 16 22 28 34 0 6 12 18 24 30 3 9 15 21 27 33
24 12 30 0 18 6 25 13 31 1 19 7 26 14 32 2 20 8 27 15 33 3 21 9 28 16 34 4 22 10 29 17 35 5 23 11
28 16 34 4 22 10 26 14 32 2 20 8 29 17 35 5 23 11 24 12 30 0 18 6 27 15 33 3 21 9 25 13 31 1 19 7
27 15 33 3 21 9 24 12 30 0 18 6 28 16 34 4 22 10 25 13 31 1 19 7 29 17 35 5 23 11 26 14 32 2 20 8
25 13 31 1 19 7 27 15 33 3 21 9 24 12 30 0 18 6 29 17 35 5 23 11 26 14 32 2 20 8 28 16 34 4 22 10
29 17 35 5 23 11 28 16 34 4 22 10 27 15 33 3 21 9 26 14 32 2 20 8 25 13 31 1 19 7 24 12 30 0 18 6
26 14 32 2 20 8 29 17 35 5 23 11 25 13 31 1 19 7 28 16 34 4 22 10 24 12 30 0 18 6 27 15 33 3 21 9
18 0 24 6 30 12 19 1 25 7 31 13 20 2 26 8 32 14 21 3 27 9 33 15 22 4 28 10 34 16 23 5 29 11 35 17
22 4 28 10 34 16 20 2 26 8 32 14 23 5 29 11 35 17 18 0 24 6 30 12 21 3 27 9 33 15 19 1 25 7 31 13
21 3 27 9 33 15 18 0 24 6 30 12 22 4 28 10 34 16 19 1 25 7 31 13 23 5 29 11 35 17 20 2 26 8 32 14
19 1 25 7 31 13 21 3 27 9 33 15 18 0 24 6 30 12 23 5 29 11 35 17 20 2 26 8 32 14 22 4 28 10 34 16
23 5 29 11 35 17 22 4 28 10 34 16 21 3 27 9 33 15 20 2 26 8 32 14 19 1 25 7 31 13 18 0 24 6 30 12
20 2 26 8 32 14 23 5 29 11 35 17 19 1 25 7 31 13 22 4 28 10 34 16 18 0 24 6 30 12 21 3 27 9 33 15
6 18 0 30 12 24 7 19 1 31 13 25 8 20 2 32 14 26 9 21 3 33 15 27 10 22 4 34 16 28 11 23 5 35 17 29
10 22 4 34 16 28 8 20 2 32 14 26 11 23 5 35 17 29 6 18 0 30 12 24 9 21 3 33 15 27 7 19 1 31 13 25
9 21 3 33 15 27 6 18 0 30 12 24 10 22 4 34 16 28 7 19 1 31 13 25 11 23 5 35 17 29 8 20 2 32 14 26
7 19 1 31 13 25 9 21 3 33 15 27 6 18 0 30 12 24 11 23 5 35 17 29 8 20 2 32 14 26 10 22 4 34 16 28
11 23 5 35 17 29 10 22 4 34 16 28 9 21 3 33 15 27 8 20 2 32 14 26 7 19 1 31 13 25 6 18 0 30 12 24
8 20 2 32 14 26 11 23 5 35 17 29 7 19 1 31 13 25 10 22 4 34 16 28 6 18 0 30 12 24 9 21 3 33 15 27
30 24 18 12 6 0 31 25 19 13 7 1 32 26 20 14 8 2 33 27 21 15 9 3 34 28 22 16 10 4 35 29 23 17 11 5
34 28 22 16 10 4 32 26 20 14 8 2 35 29 23 17 11 5 30 24 18 12 6 0 33 27 21 15 9 3 31 25 19 13 7 1
33 27 21 15 9 3 30 24 18 12 6 0 34 28 22 16 10 4 31 25 19 13 7 1 35 29 23 17 11 5 32 26 20 14 8 2
31 25 19 13 7 1 33 27 21 15 9 3 30 24 18 12 6 0 35 29 23 17 11 5 32 26 20 14 8 2 34 28 22 16 10 4
35 29 23 17 11 5 34 28 22 16 10 4 33 27 21 15 9 3 32 26 20 14 8 2 31 25 19 13 7 1 30 24 18 12 6 0
32 26 20 14 8 2 35 29 23 17 11 5 31 25 19 13 7 1 34 28 22 16 10 4 30 24 18 12 6 0 33 27 21 15 9 3
12 30 6 24 0 18 13 31 7 25 1 19 14 32 8 26 2 20 15 33 9 27 3 21 16 34 10 28 4 22 17 35 11 29 5 23
16 34 10 28 4 22 14 32 8 26 2 20 17 35 11 29 5 23 12 30 6 24 0 18 15 33 9 27 3 21 13 31 7 25 1 19
15 33 9 27 3 21 12 30 6 24 0 18 16 34 10 28 4 22 13 31 7 25 1 19 17 35 11 29 5 23 14 32 8 26 2 20
13 31 7 25 1 19 15 33 9 27 3 21 12 30 6 24 0 18 17 35 11 29 5 23 14 32 8 26 2 20 16 34 10 28 4 22
17 35 11 29 5 23 16 34 10 28 4 22 15 33 9 27 3 21 14 32 8 26 2 20 13 31 7 25 1 19 12 30 6 24 0 18
14 32 8 26 2 20 17 35 11 29 5 23 13 31 7 25 1 19 16 34 10 28 4 22 12 30 6 24 0 18 15 33 9 27 3 21

Интересно, что повторяющиеся числа в диагоналях все кратны 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35. Чудеса! Кто-нибудь может проверить этот квадрат? Очень хочется знать, ошиблась я или совершенного квадрата 36-го порядка действительно не существует. Наверное, в указанной статье написано об этом. Сегодня попробую построить совершенный ЛК 36-го порядка методом составных квадратов. Не знаю пока, что получится; идея пришла только что.
Кстати, искала вчера в Интернете информацию о совершенных ЛК. Так вот, Google даёт многообещающее: переведённые статьи по теме. Иду по этой ссылке, там перечень переведённых статей, но! Ни одного перевода мне так и не дали, всё выходит какая-то ошибка, то формат не такой, то не может быть выдан, то ещё что-нибудь. Меня очень заинтересовал такой финт Google. Кто-нибудь может это объяснить? Причём страничку с абстрактом (аннотацией) выдают именно переведённую, далее на этой страничке есть ссылка на полный текст статьи (как правило, в формате pdf), кликаю полный текст статьи и выдаётся какая-нибудь ошибка. Далее предлагается ознакомиться с оригиналом статьи!! Прикольно, как говорит молодёжь.
Я видела в перечне переведённых статей (там статей 10 или больше) и указанную выше статью, однако перевод её мне не дали. Попробуйте-ка получить перевод этой самой статьи! Если получите, пришлите мне, ПОЖАЛУЙСТА ([e-mail]). Хотя переводы Google тоже не блеск, но всё же лучше, чем ничего.
Сегодня ещё попробую по-другому “раскрутить” Google на перевод статьи: попытаюсь найти эту статью в поиске, а потом перевести.
Жаль, жаль и жаль, что на этом форуме абсолютно никто не интересуется латинскими квадратами!
Статью о совершенных латинских квадратах вчерне уже написала. Ждите её на сайте!

[shwedka]

Статью Гергели Вам отправила емылом, но, думаю, она сильно устарела. Он строит диагональные квадраты, а теперь ведь уже и ортогональные пары умеют строить.

[Schraube]

Навеяло...
Для тех, кого интересует "приклад" латинских квадратов.
В 80-е в ВЦ АрмАН работала очень интересная группа обработчиков цифровых сигналов во главе с Сосом Суреновичем Агаяном.
После распада СССР распалась и группа. Сам Агаян в Канаде(?), учеников его встречаю, выступающих за финнов и др.
Так вот, в своей докторской Сос что-то делал с латинскими квадратами (рекламируя по обыкновению в кулуарах, что сделал ВСЁ для латинских квадратов ), используя их для построения дискретных ортогональных преобразований со свойствами, адаптированными к тому или иному классу обрабатываемых сигналов.
Его докторская у меня где-то есть.
Если у кого-то интерес возникнет "неплатонический", то можно поискать.

[Nataly-Mak]

shwedka, спасибо! Статью ещё не смотрела, тут опять был хоккей. Ура! Мы выиграли.
Schraube, надеюсь, диссертация не на армянском языке?
У меня интерес как раз неплатонический. Если язык русский, то поищите, пожалуйста. А то я уже от английского языка (который абсолютно не знаю) измочалилась донельзя. Если ещё армянский мне подкинуть или китайский, я совсем выдохнусь.
Пока смотрела матч, строила совершенный латинский квадрат 36-го порядка по-разному. Нет! Никак не получается, на диагоналях есть повторяющиеся числа, и всё время эти повторяющиеся числа кратны 7. Вот интересный факт!

[Schraube]

попробую разыскать диссертацию, но после 15.05.
Хотя я не представляю, как я переправлю Вам часть про латинские квадраты.
Диссертация более 500 стр, отпечатана на матричном принтере в древнем редакторе.
Только если отксерю нужную часть и перешлю почтой.
После 15.05. напишите в личку.

[shwedka]

Schraube
погодите сканить. если вы с Агаяном знакомы, то разыщите его (я помогу )и попросите прислать нужную часть

Добавлено спустя 12 минут 3 секунды:

вот все о нем.
С ним можно по-русски общаться.


College of Engineering
University of Texas
San Antonio, TX 78249
Peter Flawn Distinguished Professor
Department of Electrical and Computer Engineering


Email: [e-mail]
Phone: [phone]
Fax: [phone]

URL: http://engineering.utsa.edu/~sagaian
http://engineering.utsa.edu/EE/images/f ... an_sos.jpg

[Schraube]

А Вы с ним знакомы?

Я часто встречался с ним в конце 80-х - начале 90-х.
В чем-то даже конкурировали.
Потом контакт был утерян.
Да и за работами его я не следил - немного разошлись научные интересы.
Спасибо за адрес.

Но я не уверен, что у него остались электронные материалы диссертации, набранные в архаичном редакторе.
Быть может, какие-то более поздние статьи, тезисы...
Надо списаться, конечно.
А то на европейских конференциях я его не встречал и за публикациями не следил