Задачи из Математического Просвещения N13 (2009)

[maxal]

Задачи из номера 13 "Математического Просвещения". См. также задачи из номеров 10, 11 и 12.


1. (Фольклор) Треугольник $ABC$ может быть покрыт тремя единичными кругами с центрами в его вершинах. Соответствующие стороны треугольника $A'B'C'$ меньше соответствующих сторон треугольника $ABC$. Верно ли, что треугольник $A'B'C'$ обладает тем же свойством?


2. (А. Я. Белов) К чему стремится объем $n$-мерного шара радиуса $2008$ при $n\to\infty$?


3. (Фольклор) Известно, что для любой последовательности $\{a_i\}_{i=1}^\infty$ такой, что $\sum_{i=1}^\infty a_i^2<\infty$ ряд $\sum_{i=1}^\infty a_ib_i<\infty$. Докажите, что тогда $\sum_{i=1}^\infty b_i^2<\infty$.


4. (Фольклор) Для каких $\lambda\in [0,1]$ для любой непрерывной функции $f\colon[0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $f(0)=f(1)$ обязательно найдется такое $x\in [0,1-\lambda]$, что $f(x)=f(x+\lambda)$?


5. (А. А. Заславский) Известно, что в любом треугольнике расстояние между $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей выражается через их радиусы $R$ и $r$ с помощью формулы Эйлера: $OI^2=R^2-2Rr$.
Докажите обобщение этой формулы: если в треугольник вписан эллипс с фокусами $F_1$, $F_2$ и малой осью $l$, то

$$R^2l^2=(R^2-OF_1^2)(R^2-OF_2^2).$$

6. Докажите, что в алгебре матриц порядка $n$ выполняются следующие тождества:
а) Тождество Размыслова:

$$\begin{array}{r} n\cdot Tr(A)\cdot \sum_{\sigma\in S_{n^2}}(-1)^\sigma x_{\sigma(1)}y_1x_{\sigma(2)}y_2x_{\sigma(3)}\cdot\ldots\cdot x_{\sigma(n^2-1)}y_{n^2-1}x_{\sigma(n^2)}=\\ = \sum_{\sigma\in S_{n^2}}(-1)^\sigma Ax_{\sigma(1)}y_1x_{\sigma(2)}y_2\cdot\ldots\cdot y_{n^2-1}x_{\sigma(n^2)} +\\+\sum_{\sigma\in S_{n^2}}(-1)^\sigma x_{\sigma(1)}y_1Ax_{\sigma(2)}y_2\cdot\ldots\cdot y_{n^2-1}x_{\sigma(n^2)} +\\ +\dots+ \sum_{\sigma\in S_{n^2}}(-1)^\sigma x_{\sigma(1)}y_1x_{\sigma(2)}y_2\cdot\ldots\cdot y_{n^2-1}Ax_{\sigma(n^2)} \end{array}$$

б) Тождество Амицура -- Левицкого:

$$\sum_{\sigma\in S_{2n}}(-1)^\sigma x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)}\cdot\ldots\cdot x_{\sigma(2n)}=0.$$

Здесь $x_i$, $y_i$, $A$ - произвольные матрицы, $S_k$ - группа перестановок из $k$ элементов, $(-1)^\sigma=+1$ для четных перестановок и $(-1)^\sigma=-1$ для нечетных.

Решение приведено в номере 20 (стр. 258-263)


7. (Фольклор) Существует ли множество из $2(2n-1)$ точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, которое можно разбить на $2n-1$ пару точек так, чтобы любая прямая, проходящая через точки из разных пар, проходила бы еще через одну точку этого множества?


8. (SEEMOUS 2008, Mircea Dan Rus) Непрерывная функция $f$ такова, что

$$\int_0^1x^kf(x)dx=1$$

для любого $k\in\{1,\dots,n-1\}.$ Докажите, что

$$\int_0^1(f(x)^2)dx\le n^2.$$

9. (А. В. Анджанс) В компании $n$ человек. У каждого своя новость. Они перезваниваются, причем в каждом разговоре собеседники сообщают друг другу все известные им новости.
а) Докажите, что понадобится не менее, чем $2n-4$ звонка, чтобы все узнали все новости.
б) За один день каждый человек участвует не более, чем в одном разговоре. Какое минимальное количество дней необходимо, чтобы все узнали все новости?


10. (Л. Радзивиловский, И. Фещенко, Д. Радченко, М. Танцура) $k$-параллелепипедом называется прямоугольный параллелепипед, среди ребер которого имеется не более $k$ различных. Докажите, что если параллелепипед $P$ можно разрезать на $k$-параллелепипеды, то длины его ребер порождают векторное пространство размерности не выше $k$ над $\mathbb{Q}$.


11. (Фольклор) Докажите, что бесконечно много натуральных чисел не представимо в виде разности $x^2-y^3$, ($x, y$ - целые).


12. (А. Канель) Докажите, что следующие числа могут начинаться с любой комбинации цифр:
а) $2^{n^2}$
б) $2^{2^n3^k}$
в) Докажите, что множество $A\subset \mathbb{ R}$ чисел таких, что последовательность первых цифр $c^{2^n}$ периодична, счетно, а множество $B\subset \mathbb{ R}$ чисел таких, что последовательность первых цифр $c^{10^n}$ периодична, несчетно.

[ewert]

maxal писал(а):

2. (А. Я. Белов) К чему стремится объем $n$-мерного шара радиуса $2008$ при $n\to\infty$?

Очень странная постановка задачи. Для объёма $n$-мерного шара есть просто явная формула с гамма-функцией в знаменателе. С немедленно вытекающими отсюда последствиями.

[maxal]

maxal в сообщении #209356 писал(а):

1. (Фольклор) Треугольник $ABC$ может быть покрыт тремя единичными кругами с центрами в его вершинах. Соответствующие стороны треугольника $A'B'C'$ меньше соответствующих сторон треугольника $ABC$. Верно ли, что треугольник $A'B'C'$

Эта задача обсуждалась здесь: http://dxdy.ru/topic22086.html

maxal в сообщении #209356 писал(а):

8. (SEEMOUS 2008, Mircea Dan Rus) Непрерывная функция $f$ такова, что

$$\int_0^1x^kf(x)dx=1$$

для любого $k\in\{1,\dots,n-1\}.$ Докажите, что

$$\int_0^1(f(x)^2)dx\le n^2.$$

А эта - здесь: http://dxdy.ru/topic12925.html

Добавлено спустя 13 минут 12 секунд:

maxal в сообщении #209356 писал(а):

9. (А. В. Анджанс) В компании $n$ человек. У каждого своя новость. Они перезваниваются, причем в каждом разговоре собеседники сообщают друг другу все известные им новости.
а) Докажите, что понадобится не менее, чем $2n-4$ звонка, чтобы все узнали все новости.
б) За один день каждый человек участвует не более, чем в одном разговоре. Какое минимальное количество дней необходимо, чтобы все узнали все новости?

Подобную задачу когда-то решали в fido7.ru.math.

[Профессор Снэйп]

maxal писал(а):

4. (Фольклор) Для каких $\lambda\in [0,1]$ для любой непрерывной функции $f\colon[0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $f(0)=f(1)$ обязательно найдется такое $x\in [0,1-\lambda]$, что $f(x)=f(x+\lambda)$?

Эта, кажется, простая. Нужное $x$ найдётся тогда и только тогда, когда $\lambda = 0$ или $\lambda = 1/n$ для целого $n \geqslant 1$.

1) При $\lambda = 0$ всё очевидно.

2) Пусть $\lambda = 1/n$ для положительного $n \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим непрерывную на $[0,1-\lambda]$ функцию $g(x) = f(x+\lambda)-f(x)$. Предположим, что она не принимает значение $0$. Тогда она знакопостоянна. Заменив при необходимости $f$ на $-f$, можно считать, что $g(x) > 0$ при всех $x \in [0,1-\lambda]$. Но тогда $f(0) < f(\lambda) < f(2\lambda) < \ldots < f(n\lambda) = f(0)$. Противоречие.

3) Пусть $\lambda > 0$ и $\lambda \neq 1/n$ для всех целых положительных $n$. Выберем целое положительное $m$, такое что $m\lambda < 1$ и $(m+1)\lambda > 1$. Для каждого целого $i$ от $0$ до $m$ пусть $a_i = i\lambda$ и $b_{m-i} = 1-i\lambda$. Получим $0=a_0 < b_0 < a_1 < \ldots < b_{m-1} < a_m < b_m = 1$. Соединим точки $(a_0,0), (b_0,-m), (a_1, 1), (b_1, -m+1), (a_2,2), (b_2, -m+2), \ldots, (b_{m-1},-1), (a_m,m), (b_m,0)$ ломаной линией в том же порядке, в котором они перечислены, и будем трактовать эту линию как график функции $f$. Ясно, что $f(0)=f(1)=0$, что $f$ непрерывна и что $f(x+\lambda) = f(x)+1$ для всех $x \in [0,1-\lambda]$.

Добавлено спустя 17 минут 46 секунд:

maxal писал(а):

в) Докажите, что множество $A\subset \mathbb{ R}$ чисел таких, что последовательность первых цифр $c^{2^n}$ периодична, счетно, а множество $B\subset \mathbb{ R}$ чисел таких, что последовательность первых цифр $c^{10^n}$ периодична, несчетно.

Уточните, пожалуйста, условие.

Насколько я понял, в первом случае подразумевается, что $c \in A$, а во втором, что $c \in B$. И, надо полагать, в обоих случаях имеются в виду записи чисел в виде бесконечной десятичной дроби. А вот какие цифры в этих записях считаются "первыми"? Те, что образуют целую часть или какие-то другие?

И что значит "периодична"? Если последовательность конечна, то она периодична с периодом, равным своей длине...

И $n$ --- оно фиксировано или как?

[worm2]

maxal в сообщении #209424 писал(а):

maxal в сообщении #209356 писал(а):

8. (SEEMOUS 2008, Mircea Dan Rus) Непрерывная функция $f$ такова, что

$$\int_0^1x^kf(x)dx=1$$

для любого $k\in\{1,\dots,n-1\}.$ Докажите, что

$$\int_0^1(f(x)^2)dx\le n^2.$$

А эта - здесь: http://dxdy.ru/topic12925.html

Что-то не так с этой задачей. Во-первых, в той теме k менялось от 0, а здесь от 1. Во-вторых, там знак неравенства был другой (

$$\ge$$

).
Очевидно, там знак был правильный, а здесь неправильный, но если k действительно меняется от 1, то оценку нужно как-то скорректировать.
Например, если $n=2$, $f(x)=3x$, то условия задачи выполняются, но интеграл от квадрата функции равен 3, что меньше требуемых 4.

Добавлено спустя 10 минут 55 секунд:

Не говоря уже о том, что запись $(f(x)^2)\,dx$, имхо, выглядит как-то неряшливо. Я бы написал $f^2(x)\,dx$, или на худой конец $(f(x))^2\,dx$. Хотя я не настаиваю...

[VAL]

maxal писал(а):

2. (А. Я. Белов) К чему стремится объем $n$-мерного шара радиуса $2008$ при $n\to\infty$?

12. (А. Канель) Докажите, что следующие числа могут начинаться с любой комбинации цифр:
а) $2^{n^2}$
б) $2^{2^n3^k}$
в) Докажите, что множество $A\subset \mathbb{ R}$ чисел таких, что последовательность первых цифр $c^{2^n}$ периодична, счетно, а множество $B\subset \mathbb{ R}$ чисел таких, что последовательность первых цифр $c^{10^n}$ периодична, несчетно.

Еще одна олимпиадная задачка:
Скольким авторам принадлежат задачи, перечисленные в цитате?

[worm2]

VAL писал(а):

Скольким авторам принадлежат задачи, перечисленные в цитате?

Могу сообщить, что множество авторов перечисленных в цитате вопросов является подмножеством участников нашего форума: http://dxdy.ru/profile.php?mode=viewprofile&u=9683

[VAL]

worm2 писал(а):

VAL писал(а):

Скольким авторам принадлежат задачи, перечисленные в цитате?

Могу сообщить, что множество авторов перечисленных в цитате вопросов является подмножеством участников нашего форума: http://dxdy.ru/profile.php?mode=viewprofile&u=9683

Не очень-то эти участники активны.
По-видимому, каждый по одному сообщению написал

[Утундрий]

Пардон. Это предлагается решить или просто из эстетических соображений приведено?

[Юстас]

ewert писал(а):

maxal писал(а):

2. (А. Я. Белов) К чему стремится объем $n$-мерного шара радиуса $2008$ при $n\to\infty$?

Очень странная постановка задачи. Для объёма $n$-мерного шара есть просто явная формула с гамма-функцией в знаменателе. С немедленно вытекающими отсюда последствиями.

Ну, школьник может попытаться сравнить объем шара с объемом куба.

[ewert]

Школьник (нормальный) эту задачу просто не решит -- он заведомо не знает, что такое многомерный шар.

[Утундрий]

Если школьник продвинутый, он запросто может выдрать готовую формулу из Демидовича. Нес па? )

[ewert]

Тут, знаете ли, одно из двух. Ежели школьник продвинутый, то для него это тривиально (и при чём тут Демидович, кстати?). Ежели непродвинутый -- то она неподъёмна. В обоих случаях задача бессмысленна. Ч.т.д.

[Утундрий]

Кстати, на мой вопрос так и не ответили...

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

ewert писал(а):

Тут, знаете ли, одно из двух. Ежели школьник продвинутый, то для него это тривиально (и при чём тут Демидович, кстати?). Ежели непродвинутый -- то она неподъёмна. В обоих случаях задача бессмысленна. Ч.т.д.

Демидович тут при том, что это в какой-то мере "бренд". И в нем есть задачка "доказать, что объем n-мерного шара дается формулой такой-то". После чего и приводится такая-то формула.

[ewert]

Утундрий в сообщении #209651 писал(а):

Демидович тут при том, что это в какой-то мере "бренд".

Он был бы брендом, если б задача была локальной. Однако же объём шара -- это в некотором смысле святое.

-----------------------------------------------------------------
Давайте попробую ответить. Это предлагалось именно решить, исходя из чисто эстетических соображений.