Норма непрерывной функции

[Юстас]

Задача со студенческой олимпиады:
Пусть $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ непрырывна и для некоторого натурального $n$ $\int_0^1 x^k f(x)dx=1$, $k=0,1,\dots, n-1$. Доказать, что $\int_0^1 \left(f(x)\right)^2 dx \geq n^2$.

[maxal]

Пусть $g(x)$ - произвольный полином степени не превосходящей $n-1$, тогда по неравенству Коши-Шварца:

$$\int_0^1 f(x)^2 dx \int_0^1 g(x)^2 dx \geq \left(\int_0^1 f(x) g(x) dx\right)^2 = g(1)^2$$

и поэтому:

$$\int_0^1 f(x)^2 dx \geq \frac{g(1)^2}{\int_0^1 g(x)^2 dx}.$$

Теперь достаточно максимизировать правую часть последнего неравенства по всем полиномам $g(x)$ степени не превосходящей $n-1$ (без потери общности можно также потребовать $g(1)=1$). При этом ее максимум как раз равен $n^2$. Только я что-то сходу не соображу, что за полиномы тут возникают - наверняка, что-то известное...

Вот несколько первых штук с $g(1)=1$:
$g_0(x) = 1$
$g_1(x) = \frac{1}{2}(3x-1)$
$g_2(x) = \frac{1}{3}(10x^2-8x+1)$
$g_3(x) = \frac{1}{4}(35x^3-45x^2+15x+1)$
$g_4(x) = \frac{1}{5}(126x^4-224x^3+126x^2-24x+1)$

UPD. Коэффициенты приведены в A178301.

[Gafield]

C точностью до множителя

$$g_n(x)=\, _2F_1(-n,n+2;1;x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n+k+1 \\ k \end{array} \right)x^k $$

[maxal]

Ага, только вот так красивее:

$$(n+1) g_n(x)=(-1)^n \sum_{k=0}^n {n\choose k} {-(n+2)\choose k} x^k$$

Кроме того, можно заметить, что это

$$[y^n] \frac{(-1-y)^n}{(1+xy)^{n+2}}$$

и применить формулу обращения Лагранжа для получения производящей функции:

$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) g_n(x) y^n = \frac{1}{2y(1-x)}\left(1-\frac{1-y}{\sqrt{(y+1)^2 - 4yx}}\right).$$

Добавлено спустя 2 часа 5 минут 8 секунд:

Gafield, кстати, а как вы получили свою формулу?

Я бы действовал так.
Пусть $g_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k \bar{P}_k(x)$, где $\bar{P}_k(x)=P_k(2x-1)$ - полиномы Лежандра ("сдвинутые" и обычные).
Тогда $g(1)=\sum_{k=0}^n a_k \bar{P}_k(1) = \sum_{k=0}^n a_k$ и в силу ортогональности сдвинутых полиномов Лежандра на $[0,1]$:

$$\int_0^1 g(x)^2 dx = \sum_{k=0}^n a_k^2 \int_0^1 \bar{P}_k(x)^2 dx = \sum_{k=0}^n \frac{a_k^2}{2k+1}.$$

Нам нужно минимизировать последнюю сумму при условии, что $\sum_{k=0}^n a_k=1.$ Применяя метод множителей Лагранжа, получаем $a_k = \frac{2k+1}{(n+1)^2}$ и $g_n(x) = \frac{1}{(n+1)^2} \sum_{k=0}^n (2k+1) P_k(2x-1).$
С другой стороны, так как

$$\sum_{k=0}^{\infty} (2k+1) P_k(x) y^k = (1-y^2) (1-2xy+y^2)^{-\frac 32},$$

то

$$(n+1)^2 g_n(x) = [y^n] (1+y) ((1+y)^2-4xy)^{-\frac 32}.$$

Интегрируя по $y$ и деля на $y$ получаем ту же производящую функцию, что и раньше:

$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) g_n(x) y^n = \frac{1}{2y(1-x)}\left(1-\frac{1-y}{\sqrt{(y+1)^2 - 4yx}}\right).$$

[Gafield]

Действовал также, как вы в первом посте, только нашел на пару функций больше, заметил, что при старшей степени стоит ${n+k+1 \choose k}$, а коэффициенты делятся на ${n \choose k}$, и угадал ответ. Интересно, какое решение предполагалось от студентов? По-моему, приведенное слишком трудоемкое. Может, следовало решать экстремальную задачу в лоб?

Возможно, производящая функция для $g_n$ будет проще записываться с помощью экспоненциальных п. ф. Там при умножении рядов как раз появляются биномиальные коэффициенты.

[Юстас]

Авторское решение:
Рассмотрим полином $p(x)$ степени $n-1 $с аналогичным функции $f$ свойством: $\int_0^1 x^k p(x)dx=1$
Тогда $\int_0^1 (f(x)-p(x))^2 dx = \int_0^1 f^2(x)dx - \sum\limits_0^{n-1} a_k \ge0$, где $a_k$ - коэффициенты $p$. Осталось показать, что сумма коэффициентов равна $n^2$. Перепишем условие, определяющие $p(x)$, в виде

$$\sum\limits_0^n \frac{a_i}{k+i}=1, \ k=0,\dots, n-1$$

То есть $0,1,\dots,n-1$ - нули функции $r(x)=\left(\sum\limits_1^n \frac{a_i}{x+i}\right)-1$. Заметим, что $\lim_{x\to\infty} r(x)=-1$, и преобразуем к виду $r(x)=\frac{q(x)-\prod (x+i)}{\prod (x+i)}$, $q$ - полином степени $n-1$. Коэффициент $q$ при $x^{n-1}$ равен как раз искомой сумме $\sum a_i$. Из вышесказанного(о корнях и асимптотике) легко следует, что $q(x)=\prod\limits_1^n (x+i) -\prod\limits_0^{n-1}(x-i)$, откуда имеем желаемый результат.