Задачи из Математического Просвещения N13 (2009)

[worm2]

ewert писал(а):

Ежели школьник продвинутый, то для него это тривиально (и при чём тут Демидович, кстати?). Ежели непродвинутый -- то она неподъёмна.

Неподъёмна задача о формуле для объёма шара.
Но в задаче-то спрашивается, как себя ведёт объём шара конкретного радиуса при $n\to\infty$, а это уже чуточку другая задача. Может быть, тут просто нужно показать, что этот объём будет стремиться к нулю?

[ewert]

А это невозможно доказать, не вычисляя. Ну т.е. не знаю, может и можно, но уж во всяком случае не элементарными методами. Ведь для куба-то это неверно, хотя куб -- это тоже некий шар.

[worm2]

Ну, попробовать-то можно.

Я исхожу из того, что школьники знают, что такое шар в n-мерном пространстве, как в этом пространстве считаются расстояния, ну и о свойствах n-мерного объёма им тоже кое-что должно быть известно.

Исходя из формулы $\sum x_i^2 \leqslant 2008^2$ и неравенства Коши-Буняковского получаем: $\sum |x_i| \leqslant 2008\sqrt{n}$, в то время как половинка единичного куба удовлетворяет неравенству $\sum |x_i| > \frac{n}{2}$, и дальше можно попробовать эту идею развить...

[ewert]

Ну, неравенства Коши-Буняковского школьники не знают. Кроме того, это неравенство довольно грубое "в среднем по шару" (поэтому не выглядит перспективным). Кроме того, не вижу пока здесь никакого объёма. (Не утверждаю, что его нет, но -- пока не вижу.)

И, кстати, 2008 стоит временно из рассуждений выкинуть, т.е. заменить единичкой.

[TOTAL]

Объемы единичных шаров размерностей $n$ и $n+1$ связаны соотношением

$$v_{n+1}=v_n \int_{-1}^{1} \left( \sqrt{1-x^2} \right)^n dx$$

С ростом $n$ интеграл стремится к нулю, этого достаточно.

[ewert]

Конечно. Вопрос был в том, можно ли доказать, вообще не пытаясь считать объём.

[gris]

Любой школьник знает, что диагональ n-мерного единичного куба неким мистическим образом увеличивается как $\sqrt n$. И количество этих диагоналей растёт.
А диаметр вписанного шара остаётся равным 1. Отсюда следует, что отношение объёма куба к объёму шара растёт. В многомерном шаре до любой точки можно дотянуться рукой длины 1/2. А в кубе руку придется растягивать и растягивать. Объём куба равен 1, значит объём шара становится всё меньше.
Очень нестрого, конечно и не идейно

[TOTAL]

gris писал(а):

Объём куба равен 1, значит объём шара становится всё меньше.
Очень нестрого, конечно и не идейно

Допустим, поверили, что объем этого шара стремится к нулю. Что дальше?

[gris]

принять диаметр шара за единицу длины.
Это не доказательство, разумеется, а просто довольно наглядная иллюстрация. Переходя от отрезка к квадрату, далее к кубу, мы видим, как увеличивается количество и объём места в кубе вне шара. Эта наглядность может подвести в других случаях, но в этом работает.

Ну и, конечно, можно использовать и то, что вероятность попадания точки в шар при бросании в описанный куб стремиться к нулю при возрастании размерности.

[ewert]

gris в сообщении #210179 писал(а):

Переходя от отрезка к квадрату, далее к кубу, мы видим, как увеличивается количество и объём места в кубе вне шара.

Вообще-то мы ничего пока не видим. Требуется ведь стремление к нулю не абы какое, а сверхлинейное (т.е.быстрее любой геометрической прогрессии).

gris в сообщении #210179 писал(а):

Ну и, конечно, можно использовать и то, что вероятность попадания точки в шар при бросании в описанный куб стремиться к нулю при возрастании размерности.

Откуда это следует?

[juna]

Рассуждение по аналогии подсказывает, что могут быть верны формулы:
$S_{2n-1}=V_{2n-1},V_{2n}=\frac{R}{2n}\cdot V_{2n-1},\forall n: S_n=\frac{\partial V_{n+1}}{\partial R}$, где $S_n$ - площадь поверхности $n$-мерного шара.
Например,
$V_4=\frac{\pi R^4}{3}, S_3=\frac{4\pi R^3}{3}$
$V_5=\frac{16\pi R^5}{45},S_4=\frac{16\pi R^4}{9}$
$V_6=\frac{8\pi R^6}{135}, S_5=\frac{16\pi R^5}{45}$
$V_7=\frac{256\pi R^7}{4725},S_6=\frac{256\pi R^6}{675}$

[ewert]

juna в сообщении #210186 писал(а):

Рассуждение по аналогии подсказывает, что могут быть верны формулы:

Конечно, может быть всё. А может и не быть. Вот и эти формулы нечаянно оказались неверными. Все до единой.

[juna]

Увы и ах.
К кругу на плоскости можно подрисовать шесть кругов того же радиуса.
Вместо кругов возьмем шарики и перейдем в пространство. Количество шариков увеличится до 12 штук (если не ошибся).
Ясно, что при переходе в пространство большей размерности это число растет. Грубая верхняя оценка $k<3^n$.
Радиус для нас - вопрос масштаба, поэтому опишем вокруг этой конструкции шаров единичный гиперкуб, тогда диаметр каждого шарика тоже можно сохранить при переходе в другую размерность равным 1/3. Объем гиперкуба всегда равен 1. С другой стороны, объем конструкции шариков $kV_n<1$, где $V_n$ - объем одного шарика. Поскольку $k$ увеличивается, $V_n$ обязано уменьшаться.

[TOTAL]

gris писал(а):

принять диаметр шара за единицу длины.
Это не доказательство, разумеется, а просто довольно наглядная иллюстрация. Переходя от отрезка к квадрату, далее к кубу, мы видим, как увеличивается количество и объём места в кубе вне шара. Эта наглядность может подвести в других случаях, но в этом работает.

Нет, не работает, т.к. в условии задан диаметр шара и он не равен единице.

[juna]

ewert в сообщении #210181 писал(а):

Требуется ведь стремление к нулю не абы какое, а сверхлинейное (т.е.быстрее любой геометрической прогрессии).

TOTAL в сообщении #210358 писал(а):

Нет, не работает, т.к. в условии задан диаметр шара и он не равен единице.

Да, согласен. Если $V_n=R^n\cdot f(n)$ - объем сферы, то по крайней мере нужно показать, что $f(n)=O(\frac{1}{n!})$ (на всякий случай вот ссылка на объем гипершара ).
Поэтому то, что написано - ничего не доказывает.