Задачи из Математического Просвещения N13 (2009)

[ewert]

juna писал(а):

по крайней мере нужно показать, что $f(n)=O(\frac{1}{n!})$

А не выйдет показать:

$$S_n\sim\sqrt[4]{n^3\over8\pi}\cdot(2\pi)^{n\over2}\cdot{1\over\sqrt{n!}}$$

(если ничего в первом сомножителе не напутал, но это не принципиально).

[juna]

ewert в сообщении #210383 писал(а):

А не выйдет показать:

$$S_n\sim\sqrt[4]{n^3\over8\pi}\cdot(2\pi)^{n\over2}\cdot{1\over\sqrt{n!}}$$

(если ничего в первом сомножителе не напутал, но это не принципиально).

Это утверждение или вопрос?
В принципе и по площади поверхности есть соответствующая ссылка
Как Вы получили свою оценку, я не понял, но ее было бы достаточно.

[ewert]

juna в сообщении #210388 писал(а):

Как Вы получили свою оценку, я не понял, но ее было бы достаточно.

Естественно, достаточно. При этом не необходимо: из явной формулы моментально следует, что отношение соседних объёмов (только с шагом не 1, а 2) стремится к нулю.

Я просто тупо (и из чисто спортивного интереса) выписал асимптотику явного выражения по формуле Стирлинга. Два последних сомножителя вполне надёжны, в первом -- может, чего и зевнул.

[juna]

Тогда проще взять формулу (1) из http://mathworld.wolfram.com/Ball.html
и все сразу увидеть $\frac{V_{n+2}}{V_n}=\frac{2\pi R^2}{n+2}$. Только наверное это все далеко от авторского решения.

[ewert]

juna в сообщении #210411 писал(а):

Тогда проще взять формулу (1) из http://mathworld.wolfram.com/Ball.html

Ровно это и имелось в виду.

juna в сообщении #210411 писал(а):

Только наверное это все далеко от авторского решения.

Вот именно это меня с самого начала и удивило: какого решения автор-то ожидал, если есть общая формуля, и вполне известная?

Если же решать "с нуля", то наиболее разумную версию предложил TOTAL:

TOTAL в сообщении #209784 писал(а):

С ростом $n$ интеграл стремится к нулю, этого достаточно.

(я когда думал о том, как обойти готовую формулу, зачем-то пытался получить отсюда факториальную оценку. Что, конечно, легко, но -- действительно не нужно.)

[EtCetera]

Ниже приводится "школьное" доказательство того факта, что объем $n$-мерного куба стремится к 0.
Будем обозначать
$V^{(n)}$ - объем $n$-мерного тела. Индексом в данной записи может быть:
sp - шар (sphere);
cl - цилиндр (cylinder);
cn - конус (cone);
tc - усеченный конус (truncated cone).
$n$-мерные тела (все определения приближены к "школьным", точность не гарантируется):
1. Шар - г.м.т., расстояние от которых до некоторой центральной точки (центра шара), не превышает некоторого конечного расстояния (радиуса шара). Объем $n$-мерного шара:
$V_{sp}^{(n)}(r)=a_nr^n$ (1),
где $a_n$ - некоторая константа (при $n=1$ она равна 2, при $n=2$ - $\pi$, при $n=3$ - $\frac{4\pi}{3}$ и т.д.; реальное точное ее значение нам не понадобится, поэтому в дальнейших выкладках она будет фигурировать без конкретизации), $r$ - радиус шара.
Двухмерный шар - круг.
2. Цилиндр - часть $n$-мерного пространства, "заметаемая" при перемещении шара $n-1$-го порядка вдоль направления, перпендикулярного подпространству, в котором расположен шар, на некоторое конечное расстояние (высоту цилиндра). Объем $n$-мерного цилиндра:
$V_{cl}^{(n)}(r,h)$, где $r$ - радиус основания цилиндра, $h$ - его высота.
Из такого определения следует, что объем цилиндра равен:
$V_{cl}^{(n)}(r,h)=hV_{sp}^{(n-1)}(r)$ (2)
Двухмерный цилиндр - прямоугольник.
3. Конус - отличается от цилиндра тем, что перемещении шар $n-1$-го порядка равномерно уменьшается (точнее, уменьшается его радиус), постепенно стягиваясь в точку (вершину конуса). Расстояние, пройденное к этому моменту - высота конуса. Радиус шара уменьшается пропорционально пройденному расстоянию. Объем $n$-мерного конуса:
$V_{cn}^{(n)}(r,h)$, где $r$ - радиус основания конуса, $h$ - его высота.
Основываясь на приведенном выше определении и обладая простейшими навыками интегрирования, можно заключить, что
$V_{cn}^{(n)}(r,h)=\frac{1}{n}hV_{sp}^{(n-1)}(r)$ (3)
Двухмерный конус - равнобедренный треугольник.
4. Усеченный конус - отличается от обычного конуса тем, что шар прекращает свое движение до того, как стянется в точку. Объем $n$-мерного усеченного конуса:
$V_{tc}^{(n)}(r_1,r_2,h)$, где $r_1$ и $r_2$ - радиусы оснований усеченного конуса (подразумевается, что $r_1>r_2$), $h$ - его высота.
Объем усеченного конуса можно найти тем же способом, которым он находится для трехмерного случая (с использованием формулы (3)):
$V_{tc}^{(n)}(r_1,r_2,h)=\frac{1}{n}h\frac{r_1V_{sp}^{(n-1)}(r_1)-r_2V_{sp}^{(n-1)}(r_2)}{r_1-r_2}=\frac{a_{n-1}}{n}h\frac{r_1^n-r_2^n}{r_1-r_2}$
Двухмерный усеченный конус - равнобочная трапеция.
Конечно, все приведенные выше "определения" - чистой воды "математическая алхимия", но школьникам ("продвинутым") могут быть интуитивно понятны.

Будем рассматривать шар диаметра 1 (радиус шара $r=\frac{1}{2}$), так как все остальные случаи сводятся к этому простым масштабированием или заменой единиц измерения длины (как уже было замечено выше).
1. Заметим, что $n$-мерный шар радиусом $r$ полностью "помещается" в $n$-мерный цилиндр радиусом $r$ и высотой $2r$. То есть
$V_{sp}^{(n)}(r)<V_{cl}^{(n)}(r,2r)=2rV_{sp}^{(n-1)}(r)$
Откуда
$\frac{V_{sp}^{(n)}(r)}{V_{sp}^{(n-1)}(r)}<2r=1$ (в нашем случае),
что говорит о том, что объем шара диаметра 1 уменьшается с увеличением размерности шара. Однако у последовательности $V_{sp}^{(n)}(\frac{1}{2})$ может быть предел, не равный нулю. Докажем, что его нет.
2. "Спилим" с торцов описанного цилиндра фаску размером $1-x$ от радиуса основания цилиндра (под углом 45 градусов, для простоты). После такой операции цилиндр превратится в тело, состоящее из двух одинаковых усеченных конусов (с радиусами основания $r_1=r$ и $r_2=xr$, высотой $h=(1-x)r$) и центрального цилиндра (радиусом $r$ и высотой $2xr$). Объем такого тела равен:
$V^{(n)}(r)=2(V_{cl}^{(n)}(r,xr)+V_{tc}^{(n)}(r,xr,(1-x)r))=$
$=2(xrV_{sp}^{(n-1)}(r)+\frac{a_{n-1}}{n}(1-x)r\frac{r^n-(xr)^n}{r-xr})=$
$=2(xrV_{sp}^{(n-1)}(r)+\frac{1}{n}(1-x)rV_{sp}^{(n-1)}(r)\frac{1-x^n}{(1-x)r})=$
$=2rV_{sp}^{(n-1)}(r)(x+\frac{1-x^n}{n})$
Обозначим
$b_n(x)=x+\frac{1-x^n}{n}$
Тогда
$V^{(n)}(r)=2rb_n(x)V_{sp}^{(n-1)}(r)$
Примечания:
а) Конечно, "пилить" надо аккуратно, чтобы "не задеть" лежащий внутри тела шар. Для этого надо брать $\sqrt{2}-1\le x\le1$ (что понятно из простейших геометрических соображений).
б) Такое преобразование описанного тела имеет смысл при $n\ge2$.
При таких ограничениях можно подобрать такие значения $x=x'$, что
$x'\le\frac{n-1}{n}$
Для этих значений x
$b_n(x')<x'+\frac{1}{n}\le\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n}=1$
Однако
$V_sp^{n}<V^{(n)}(r)=2rb_n(x)V_{sp}^{(n-1)}(r)$ (шар лежит внутри тела), поэтому
$\frac{V_{sp}^{(n)}(r)}{V_{sp}^{(n-1)}(r)}<2rb_n(x')=b_n(x')$ (в случае $r=\frac{1}{2}$).
Таким образом, при увеличении размерности на 1 объем шара уменьшается в некоторое число раз, большее 1 (адаптированное объяснение школьнику: очередной элемент последовательности объемов шаров не превышает соответствующего элемента бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Очевидно, что последовательность объемов шаров с увеличивающейся размерностью имеет своим пределом 0.
Увы, изяществом "доказательство" не блещет. Зато школьнику может быть понятно.

[Утундрий]

Что-то вы, воля ваша, несусветное тут нагородили. Не проще ли для бедного школьника запомнить то стояще под интегралами произведение синусов с возрастающими степенями и возпользовавшись пару раз интегрированием по частям получить это несчастное отношение $\[{{V_{n + 2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{V_{n + 2} } {V_n }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {V_n }}\]$?

[ewert]

Ну не так всё проще. Интегрирование по частям даёт лишь соотношение между соотношениями объёмов. А оттуда до самих объёмов поди ещё дотянись. Нет, дотянуться можно, конечно, но это -- некоторая морока.

[Утундрий]

Но уж всяко проще чем путь EtCetera

[EtCetera]

Через интегралы конечно проще. Но проще человеку, окончившему по крайней мере 1-ый курс вуза. Для школьников брать интеграл, чтобы получить рекуррентное соотношение, которое, в свою очередь необходимо, чтобы указать на некоторое нужное нам свойство последовательности объемов шаров с возрастающей размерностью - это логическая цепочка, по меньшей мере два звена в которой относятся к области, не лежащей на фундаменте его знаний и потому применяющиеся не часто. К тому же это чисто алгебраический путь решения в задаче, по сути, геометрической.
1. В моем же доказательстве присутствует фактически только одна формула, полученная с помощью простого интеграла (который берется "в лоб"):
$V_{cn}^{(n)}(r,h)=\frac{1}{n}hV_{sp}^{(n-1)}(r)$
Эту формулу лично я (на интуитивном уровне, безо всяких интегралов) прекрасно понимал еще в школе.
2. Алгебраические преобразования - на уровне 6-7 класса школы.
3. Единственная формула, которая была получена из геометрических соображений (не считая формул для объема цилиндра и усеченного конуса):
$V^{(n)}(r)=2(V_{cl}^{(n)}(r,xr)+V_{tc}^{(n)}(r,xr,(1-x)r))$
4. Конечно, в конце доказательства используются некоторые понятия из высшей математики, недоступные обычному школьнику. Но их (как указано) можно "адаптировать" под школьный "математический словарный запас".
Так что мне кажется, что мой путь (несмотря на некоторую нестрогость) более близок к школьному уровню.
Вообще же достаточно просто нарисовать квадрат, вписать в него окружность, "отрезать" у квадрата углы под 45 градусов (не задев при этом круга), а все остальное - "приложится".

[maxal]

maxal в сообщении #209356 писал(а):

2. (А. Я. Белов) К чему стремится объем $n$-мерного шара радиуса $2008$ при $n\to\infty$?

Авторское решение из 14-го выпуска:

А. Я. Канель-Белов в http://www.mccme.ru/free-books/matpros/mpe.pdf писал(а):

Ответ: этот объем стремится к нулю!

Этот факт вытекает из формулы для объёма $n$-мерного единичного шара. (Этой формуле посвящена заметка А. А. Заславского в данном выпуске, см. с. 270-271). Наша цель -- показать, как это увидеть непосредственно.

Объем $n$-мерного шара радиуса $R$ равен $B_nR^n$, где $B_n$ -- объем $n$-мерного шара единичного радиуса. Нам достаточно показать, что для любого $\varepsilon>0$ существует такое $C>0$, что $B_n<C\varepsilon^n$. В этом случае предел $\lim_{n\to\infty}B_nR^n=0$ при любом $R$.

В свою очередь, для этого достаточно установить, что $B_n/B_{n-1}<\varepsilon$ при всех достаточно больших $n$. Легко видеть, что

$$B_n=\int_{-1}^1B_{n-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1}dx$$

или

$$B_n/B_{n-1}=\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1}dx.$$

Но

$$ \int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1}dx= \int_{-1}^{-\varepsilon/3}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1}dx +\int_{\varepsilon/3}^{1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1}dx +\int_{-\varepsilon/3}^{\varepsilon/3}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1}dx. $$

Остаётся заметить, что первые два интеграла не превосходят

$$\left(\sqrt{1-(\varepsilon/3)^2}\right)^{n-1}$$

и, следовательно, стремятся к нулю при $n\to\infty$, а третий интеграл не превосходит $2\varepsilon/3$. (Мы пользуемся тем, что значение интеграла не превосходит произведения максимального значения функции на меру множества, по которому интегрируют). Задача решена.

[Dimoniada]

Удивительно, но задача 5 оказалась не такой уж и сложно! Элементарные шажки, но их много