Определение угла

[Ulrih]

Странно что еще никто не вспоминал про тензоры?.. Ведь число (скаляр) является тензором нулевого ранга, вектор --- 1-ого ранга; 2-ого ранга позволяет описывать, например, физические анизотропные среды; тензоры высших рангов представить себе гораздо сложнее...
Ну дак, если произведем свертку произведения двух тензоров 1-ого ранга то получим угол или что???

Цитата:

Поскольку числа или функции образуют векторное пространство, то в результате действий над ними, мы получаем вектор, который имеет величину и направление. И это может происходить без применения тригонометрических функций. Для отделения значения от угла или угла от значения без тригонометрии не обойтись.

[AD]

Dan B-Yallay в сообщении #207142 писал(а):

Если бы было сказано "Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством и ничем больше", было бы понятны эти претензии. Вам чем-то не нравится евклидово пространство размерности 1? Или вы считаете что оно(мн-во действ чисел) именно одномерным евклидовым не является?

Ну претензия заключается в том, что пространство - это не множество, а пара "(множество, операции)".

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

Dan B-Yallay в сообщении #207142 писал(а):

Приведите биекцию из множества действительных чисел в пространство всех функций заданных на отрезке [0,1]

Вообще да, это он загнул, конечно ... Телепатия подсказывает, что имелось в виду "пространств конечной размерности".

[Pi]

AD в сообщении #207140 писал(а):

А с какого перепуга Вы вдруг решили, что я говорил именно о множестве действительных чисел?

Да потому-что именно это вы и сказали.

Pi в сообщении #207130 писал(а):

AD в сообщении #207099 писал(а):
Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством.

А почему не пространством Римана? Или любым другим пространством?
Чтоб вы понимали что любое линейное пространство задается скалярным произведением на множестве. А не множество является пространством.

Для любого нормального человека слово является, является синонимом включения первого понятия во второе понятие. Именно так понимают это слово в математике.
И ничего больше там не написанно.

Dan B-Yallay в сообщении #207142 писал(а):

А поподробнее с этого места, название теоремы или книги со страницей..

Любая книга по теории множеств. Конечно мы сдесь расматриваем только пространства конечных размерностей, о других речи не шло.

AD в сообщении #207140 писал(а):

Это скалярное произведение вводится на линейном пространстве, но скалярное произведение не является необходимым атрибутом линейного.

Пусть так, это я зря написал в неразвернутом виде получилось не то что я утверждал, правильно читать эту фразу надо "что любое линейное пространство задается на множестве. А не множество является пространством. " Про скалярное произведение, это в этом месте не важно совсем, важно именно то что выделенно!, именно это утверждалось.

[AD]

Pi в сообщении #207155 писал(а):

Да потому-что именно это вы и сказали.

Укажите-ка, где это я там произнес слово "множество"? Нет, Вы его сами мне приписали.

Добавлено спустя 5 минут 2 секунды:

Pi в сообщении #207155 писал(а):

линейное пространство задается на множестве

Ну и снова бред. Может, уже закончите позориться и пойдете книжки читать?

[Pi]

AD в сообщении #207161 писал(а):

Pi в сообщении #207155 писал(а):
Да потому-что именно это вы и сказали.
Укажите-ка, где это я там произнес слово "множество"? Нет, Вы его сами мне приписали.

Ну вы вообщееееее,

Цитата:

AD в сообщении #207099 писал(а):
Действительные числа являются одномерным евклидовым пространством.

А слова "действительные числа" что не подрузумевают множества для всякого нормального человека?
Надо уметь признавать свои ошибки или оговорки, а не припинаться до бесконечности.

[AD]

Ulrih, я извиняюсь за это безобразие. Он первый начал

[Pi]

AD в сообщении #207161 писал(а):

Ну и снова бред. Может, уже закончите позориться и пойдете книжки читать?

AD, Все я с вами больше припинаться не буду, вы для меня не существуете. Все что вы говорите не верно по определению и на всегда. И можете писать сколь угодно много слов....

[AD]

Pi в сообщении #207165 писал(а):

А слова "действительные числа" что не подрузумевают множества для всякого нормального человека?

Неа. Для одних они подразумевают поле, для других - упорядоченное множество, для третьих - топологическое пространство. И из контекста это всегда понятно. Но на Вашем примере я понял, что не всем.

Добавлено спустя 1 минуту 24 секунды:

Pi в сообщении #207167 писал(а):

Все я с вами больше припинаться не буду

Где-то я это уже слышал.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Pi в сообщении #207167 писал(а):

Все что вы говорите не верно по определению и на всегда.

2+2=4

Добавлено спустя 5 минут 54 секунды:

Pi в сообщении #207165 писал(а):

Надо уметь признавать свои ошибки или оговорки, а не припинаться до бесконечности.

+1.

[bot]

Как-то, ожидая маршрутку, вспомнил эту дискуссию и задумался об определении угла, максимально близкое к школьному:

Часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки называется углом. Меру угла также часто называют углом.

Вспоминая AD , который где-то тут говорил о направлении в любом вещественном пространстве, берём произвольное вещественное нормированное пространство, а в нём два луча
$x=a+b_1t, \, x=a+b_2t, \, t\geqslant 0$. Тогда угол - это множество точек $x=a+b_1t_1+b_2t_2, \, t_1, t_2 \geqslant 0$.
Говоря угол, часто подразумевают его меру. Меру угла определяем криволинейным интегралом $\int\limits_{L} ||dx||$, в котором $L$ - это дуга окружности радиуса 1, соединяющая точки $a+\frac{b_1}{||b_1||}, \, a+\frac{b_2}{||b_2||}, $ то есть $L=\big\{x=a+b_1t_1+b_2t_2, \, \big|\, t_1, t_2\geqslant 0, \, ||x-a||=1\big\}$.

[geomath]

В случае действительной прямой $X$ "дуга" $L$ будет состоять всего из одной точки или из двух: $x = a \pm 1$. Как тогда по ней интегрировать?

[Лиля]

AD в сообщении #207170 писал(а):

Неа. Для одних они подразумевают поле, для других - упорядоченное множество, для третьих - топологическое пространство.

для поля думаю действительных чисел не достаточно -для этого над еще определить операции над множеством
-для топологии соответственно топологию на множестве если уж писать то лучше: "поле действительных чисел " а не "действительные числа являються полем/пространством"

[AD]

Лиля в сообщении #207366 писал(а):

для поля думаю действительных чисел не достаточно -для этого над еще определить операции над множеством

Вы, безусловно, правы, это я уже давно подтвердил.

Лиля в сообщении #207366 писал(а):

для топологии соответственно топологию на множестве если уж писать то "поле действительных чисел " а не "действительные числа являються полем"

Это верно, но тем не менее я утверждаю, что подобные подмены являются вполне стандартными и общепринятыми, тем более, что это никогда не приводит к путанице. В математике существуют и куда более грубые подмены понятий, которые, однако, тоже не приводят к путанице, но существенно облегчают жизнь.

[Pi]

Я уже говорил что единственно правильное определение угла дано в Проективной геометрии.
По определению угол это двухмерная величина замкнутой фигуры, где есть радиус и длина сегмента заметенная этим радиусом, и вычисленная по формуле как отношения полной длины сегмента к полной длине радиусов.

И не как иначе.Почему так? Да потому-что кроме плоского пространства есть еще огромная куча других пространств.
Например, возьмем пространства постоянной кривизны, например, Лобачевского. Возьмем сферическую геометрию - например, на шаре.
Там прямые проходят по главному диаметру. То есть длина радиса равна длине сегмента!!! Отсюда, отношение длины окружности к диаметру там равна 2, а не 2\pi!!! И какой к черту арккосинус сдесь можно использовать?
А в гиперболической геометрии Римана для вычисления угла нужно пользоваться не arccos функциями, гиперболической arch.
А для пространств не постоянной кривизны так вообще найти обратную функуцию это целая эпопея. Эта функция и находятся из формулы приравнивания геометрической формулы угла к нормрованному скалярному произведению.

Но есть еще одна проблема. А если скалярное произведение не полное? То есть если есть такие (х,х)=0. То все, вычислить угол нельзя!!! Хотя он существует!!! А если в пространстве вообще не заданно никакое скалярное произведение?

Вот отсюда и получается что определение угла через скалярное произведение только для узкого класса пространств, и оно по любому опирается на геометрию. Определение угла данное в проективной геометрии подходит к любому метрическому пространству. То есть достаточно задать метрику, и поэтому универсально.

И вообще, меньше надо слушать людей что все почерпнули из Википедии. Мы все к ней имеем доступ. Поэтому перепечатывать оттуда не надо.
Википедия это справочник, она не способена дать правильные ответы на все вопросы, она может только давать какие-то частности,справки,ссылки,альтернативы.
И думать что она способна заменить учебник глубокая ошибка, которая порождает мнящих о себе черт знает что самодуров, которые ничего не зная думают что все знают и всегда правы, общаются совершенно нестандартным языком запутывая всех и не понимая ничего.

[AD]

Pi в сообщении #207403 писал(а):

единственно правильное

Уууу, далеко пойдёте, фанатик Вы наш. Если кто не в курсе, определения не обсуждаются вообще. Они не бывают "правильными" и "неправильными".

Pi в сообщении #207403 писал(а):

А если скалярное произведение не полное? То есть если есть такие (х,х)=0.

Сильно путаетесь в терминологии. Полнота тут вообще не в кассу. Более того, такие всегда есть: скажем, (0,0) всегда равно нулю. Более того: если таких более одного, то это не есть скалярное произведение.

Pi в сообщении #207403 писал(а):

И вообще, меньше надо слушать людей что все почерпнули из Википедии. Мы все к ней имеем доступ. Поэтому перепечатывать оттуда не надо.
Википедия это справочник, она не способена дать правильные ответы на все вопросы, она может только давать какие-то частности,справки,ссылки,альтернативы.
И думать что она способна заменить учебник глубокая ошибка, которая порождает мнящих о себе черт знает что самодуров, которые ничего не зная думают что все знают и всегда правы, общаются совершенно нестандартным языком запутывая всех и не понимая ничего.

А еще они любят ставить много восклицательных знаков, чтобы показать, насколько они правы.

[ewert]

Pi в сообщении #207403 писал(а):

По определению угол это двухмерная величина замкнутой фигуры, где есть радиус и длина сегмента заметенная этим радиусом, и вычисленная по формуле как отношения полной длины сегмента к полной длине радиусов.

И что бы это могло значить? Ну например: почему надо брать длину сегмента, а не его теплоёмкость? и почему полного сегмента, а не худого?

Pi в сообщении #207403 писал(а):

И какой к черту арккосинус сдесь можно использовать?

Самый что ни на есть обычный арккосинус. Посколько многообразие -- локально плоское. При этом с метрикой. А вот отношение длины окружности к диаметру, между прочим, там вовсе не два, а меняется от двух до пи -- в зависимости от диаметра. Так что дли определения угловой меры ни в каком смысле не годится.