СВОБОДНАЯ ВОЛЯ
1.В последнее время вопросом о наличии свободы воли у живых существ заинтересовались, наконец, не только философы , но и естествоиспытатели. Вот ссылки на две интересные серии опытов, проведенных, соответственно, над мухами (см.[1], [2]):
http://www.lenta.ru/news/2007/05/16/flies/
и над людьми (см.[3]):
http://www.itogi.ru/paradox/2008/24/34600.html
Впрочем, результаты этих опытов не дают окончательного ответа на поставленный вопрос, а являются всего лишь шагом к его разрешению.
Стивен Хокинг не так давно писал в своей книге “Кратчайшая история времени” (СПб., Амфора, 2006, с.132):
«Конечно, можно утверждать, что свободная воля все равно иллюзия. Если действительно существует всеобъемлющая физическая теория, которая управляет всем сущим, то следует полагать, что она детерминирует и наши действия. Однако она делает это так, что ее следствия невозможно предвычислить для такого сложного организма, как человеческое существо, и, кроме того, она включает определенный элемент случайности, соответствующий квантово-механическим эффектам. Это позволяет говорить, что наши декларации о свободной воле человека проистекают из невозможности предсказать, что он будет делать.»
Хокингу принадлежит также соображение о том, что возможность путешествия во времени и наличие свободы воли противоречат друг другу.
Похоже, однако, что в настоящее время не существует реалистичной идеи такого эксперимента, который объективно опроверг бы или, напротив, подтвердил существование свободы воли.
В данной заметке предлагается еще один (появившийся в результате чтения математических текстов) подход к этому вопросу.
2. Дело в том, что одно из вполне надежных мыслительных средств, которыми пользуются математики , прямо опирается на существование свободной воли.
Это средство - ОПЕРАТОР СВОБОДНОГО ВЫБОРА (не путать с аксиомой выбора [4]), действие которого определяется словами:
«
пусть x – произвольно взятый элемент множества X». (*)
(Вместо термина “произвольно взятый” употребляются также его синонимы: “некоторый произвольный”. “любой”, “какой-либо”, “ какой-нибудь”.)
Приведем пример использования оператора (*) при доказательстве одной из школьных теорем.
Теорема. Площадь каждого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. (Точнее: численное значение площади каждого треугольника равно половине произведения численного значения длины его основания на численное значение длины опущенной на это основание высоты.)
Доказательство. Рассмотрим произвольно взятый треугольник ; обозначим его
АВС. Далее, применяя общеизвестные построения и вычисления, докажем утверждение теоремы применительно к треугольнику
АВС. Так как треугольник
АВС был выбран произвольным образом, заключаем, что площадь каждого треугольника определяется по такой же формуле. Теорема доказана.
Замечание. Покажем, что “
произвольный выбор” заменить на “
случайный выбор” в доказательстве нельзя. Действительно, попробуем провести доказательство так: пусть
АВС – некоторый случайным образом выбранный треугольник. Проведя для треугольника
АВС соответствующие построения и вычисления, докажем для этого треугольника требуемую формулу. Так как треугольник
АВС был выбран нами случайно (а не произвольно), то … закончить доказательство не удается. Из того, что для некоторого случайно выбранного треугольника верна какая-то формула, еще не следует, что эта формула верна для всех треугольников.
Мы видим, что комбинация слов “произвольно взятый элемент” обладает замечательной способностью фокусировать нас на одном-единственном объекте так, что результат наших рассмотрений оказывается приложим ко всем объектам сразу.
Приведем другой характерный пример применения оператора свободного выбора – на этот раз из математической физики (см. Курант Р. Уравнения математической физики.- М.: Мир, 1964, с.267-269). Рассуждение приводится в сокращенном пересказе, с тем чтобы подчеркнуть применение оператора свободного выбора.
Итак, требуется установить, что некоторая функция
U(Q), заданная на внутренности шара, при стремлении точки
Q к границе шара стремится к заданным граничным значениям. Доказательство ведется следующим образом.
Пусть P – произвольная точка на границе шара,Q – произвольная точка внутри шара. Доказываем, опираясь на геометрические соображения, что U(Q) сколь угодно мало отличается от граничного значения в точке P , если Q достаточно близко к P. Затем Курант сразу заключает : «
Это завершает доказательство», опуская , как чересчур очевидное, соображение “
так как точка P на границе шара была выбрана произвольно”.
Замечание. Слова
“так как элемент x был выбран произвольным образом, то проведенное рассуждение справедливо для всех x” представляют собой , по сути, вторую часть оператора (*) и должны завершать доказательство, начинающееся с применения оператора (*). В неформализованных (т.е. не пользующихся языком формальной логики) математических текстах это соображение, как правило, опускается. В разделе логики, именуемом
теория предикатов , упомянутое логическое действие называется
правилом обобщения.
3. Зададим теперь себе вопрос: чья же свободная воля имеется в виду в каком-либо математическом тексте, использующем оператор (*)? Очевидно, что , поскольку математический текст призван убедить читателя в справедливости того или иного вывода, то имеется в виду именно свободная воля читателя. Иными словами, тысячи математиков, пишущих тексты , где явно или неявно используется оператор (*), предполагают наличие свободной воли у всех, кому они адресуют свои труды.
Итак, понятие “свободная воля” – один из инструментов значительной части математики (в частности - математического анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений), а также математической физики. С помощью этого понятия получена масса результатов, допускающих физическую проверку и выдержавших ее. Если свободная воля - иллюзия, то как объяснить предсказательную силу этих математических работ?
Москва, 2009
[1] Fruit flies display free will. - New Scientist, 16.05.2007.
[2] Defending free will: A fruit fly makes choices. – Reuters, 16.05.2007.
[3] Крючков В. Несвобода воли . Парадокс . – Итоги, №24/626 (10.06.2008).
[4] Аксиома выбора утверждает: «
Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств cуществует [по меньшей мере одно] множество C, которое имеет только один общий элемент x c каждым из множеств B данного семейства A .» А вот одна из альтернативных формулировок: «
Пусть X —множество непустых множеств. Тогда мы можем выбрать единственный элемент из каждого множества в X».( Подчеркнем, что выбор, о котором здесь идет речь, без ущерба для смысла аксиомы можно считать случайным.)
