Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Если вы будете писать программу для КРМ, то хотелось бы прокрутить такой вариант: берём КРМ с двумя строками:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Это собственно ещё и нельзя назвать КРМ, это просто две строки, содержащие координаты. Начинаем программу с блока добавления третьей строки. На этом этапе могут быть получены КРМ, показанные мной в посте от 30 марта. Или, например, ещё такая КРМ:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 a 7 5 2 4 0 8 3 6

Предполагаю, что этот блок программы выдаст очень много решений (больше тысячи). Например, аналогичный блок для порядка 8 выдал 931 решение. Этот блок программы я пробовала выполнять, решения выдаются, но до конца я программу не выполнила, потому что конца не видно.
Далее из этого блока идём на подпрограмму добавления четвёртой строки.
Эта подпрограмма для каждого решения, полученного в начальном блоке, добавляет четвёртую строку. Примеры КРМ с четырьмя строками тоже приведены в указанном посте. Вот одно из решений для КРМ из трёх строк, показанной здесь:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 a 7 5 2 4 0 8 3 6
2 1 7 5 2 4 0 8 3 6 a

Эту подпрограмму я тоже написала и пробовала выполнить. Делала я это, искусственно задавая значения переменных в циклах. Известные мне решения таким образом получены. Следовательно, программа работает правильно.
Далее из этой подпрограммы идём на подпрограмму добавления пятой строки. Понятно, что эта подпрограмма к каждой КРМ, полученной в предыдущей подпрограмме, будет добавлять пятую строку. Эту подпрограмму я ещё не написала и не пробовала выполнить. Понятно, что заранее известных решений для этой подпрограммы у меня нет
Вот такая структура воображаемой мной программы. Всё очень просто. Только реально ли выполнить такую программу?
Можно поступить проще. Написать программу для добавления пятой строки и выполнить её для четырёх известных КРМ, состоящих из четырёх строк (у меня есть ещё одна КРМ из четырёх строк). Это будет неполное решение. Но вдруг и так удастся получить КРМ из пяти строк.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Далее из этого блока идём на подпрограмму добавления четвёртой строки.

Такие вещи необязательно объяснять человеку, решившему весь http://projecteuler.net

Но до программы руки у меня пока не дошли.

[Nataly-Mak]

Вот ёлки зелёные, да откуда же мне знать, что вы решили А кстати, что это такое - по вашей ссылке? Я пошла туда, там опять английский. Но что-то связано с Эйлером? А с квадратами это связано? Расскажите, пожалуйста. Интересно! Что там за проблемы, которые вы все разрешили?
А я программу написала, только, как и предполагала, выполнить её не смогла. Я просто хотела вам подробно рассказать, какой алгоритм хотелось бы попробовать. Ну вот, я попробовала самый простой случай. Взяла КРМ с четырьмя строками, вот эту:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 a 5 8 3 2 7 0 6 4
1 2 5 a 6 0 4 3 8 1 7

и составила для неё программу добавления пятой строки. Программа здесь: http://www.natalimak1.narod.ru/mk/OLK10.txt
Программа написана на языке QBASIC. Если я фиксирую в программе пару-тройку из 11 переменных, программа выполняется до конца и не находит пятой строки. Выполнить программу для всех переменных не могу.
Зато выполнила аналогичную программу для порядка $n = 4$. Скажите, сколько существует неизоморфных групп MOLS 4-го порядка? Я построила по программе 36 КРМ из четырёх строк, а потом каждая КРМ из четырёх строк даёт мне три решения КРМ с пятью строками. Правда второй этап я проверила только для трёх из 36 решений, дальше лень было проверять. Эти 9 решений я показала в статье "Группы MOLS четвёртого порядка".
Все эти латинские квадраты так похожи друг на друга, разных цифр в них так мало, что от меня совершенно ускользает момент изоморфности или неизоморфности этих групп. Тоже лень было проверять. Неужели групп действительно 108 и все они неизоморфные? Тогда сколько же неизоморфных групп MOLS 8-го порядка? Мне удалось построить только две группы MOLS 8-го порядка (см. статью "Оригинальные группы MOLS восьмого порядка". По-моему, построенные мной группы неизоморфны стандартной группе MOLS, которая строится в Maple и приводится во многих статьях и книгах.
Я говорю, что мне удалось построить только две группы, имея в виду, что выполнила аналогичную программу с КРМ только для двух конкретных вариантов. При желании можно выполнить её ещё для любого количества вариантов. Как уже сказано, на первом этапе эта программа выдала 931 решение.
Почти написана статья "Метод построения пар ОЛК порядка 6k + 4". Сегодня думаю загрузить её на сайт.
Вы писали, что этот метод тоже нельзя назвать общим, потому что он не справляется с другими чётными порядками. Да, но он является общим для данной группы порядков и справляется со всеми порядками этой группы без исключений. Даже при $k = 0$ работает. Метод очень легко формализовать и запрограммировать, дана КРМ в ощем виде для любого порядка этой группы. Подобный метод я хотела бы найти для группы порядков $n = 6k + 2$.
Вот вы говорили, что во второй из приведённых вами статей в общих чертах описываются все методы построения пар (групп) ОЛК. В самом деле, интересный вопрос. Группы MOLS построены для всех порядков до $n = 10000$. Неужели для каждого порядка группа строилась частным образом и нет никаких общих закономерностей? Я имею в виду порядки вида $6k + 2$.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Вот ёлки зелёные, да откуда же мне знать, что вы решили А кстати, что это такое - по вашей ссылке? Я пошла туда, там опять английский. Но что-то связано с Эйлером?

Там раз в неделю вывешивается задача, для решения которой надо не только запрограммировать перебор, но и подумать головой, чтобы он завершился за разумное время.

Nataly-Mak писал(а):

А с квадратами это связано?

Из двухсот с лишним задач про квадраты была одна - посчитать количество магических квадратов 4x4 с элементами от 0 до 9, которые могут повторяться. Если вам интересно, получилось чуть больше семи миллионов.

Nataly-Mak писал(а):

По-моему, построенные мной группы неизоморфны стандартной группе MOLS

Это нетривиальный вопрос, я пока не готов его обсуждать.

Nataly-Mak писал(а):

Вот вы говорили, что во второй из приведённых вами статей в общих чертах описываются все методы построения пар (групп) ОЛК. В самом деле, интересный вопрос. Группы MOLS построены для всех порядков до $n = 10000$. Неужели для каждого порядка группа строилась частным образом и нет никаких общих закономерностей?

У них есть набор из нескольких методов типа описанного мной. Каждый метод работает для своей группы порядков, причем эти группы частично пересекаются. Причем каждый метод, возможно, дает разное количество квадратов в группе, а их интересует только максимальное.

[Nataly-Mak]

tolstopuz писал(а):

Там раз в неделю вывешивается задача, для решения которой надо не только запрограммировать перебор, но и подумать головой, чтобы он завершился за разумное время.

Вот-вот! Именно такую задачу и я "вывесила". Придумать оптимизацию для этой задачи не так-то просто. Ещё сложнее решать её в лоб, без КРМ. Там вообще, по-моему, увязнешь с головой. Понятно, почему задача до сих пор не решена. Но ведь не доказано, что не существует группы MOLS 10-го порядка, состоящей более чем из двух квадратов? Думаю, что этот третий квадратик существует. Вот только найти его чрезвычайно трудно.
О задаче про магические квадраты 4х4 не совсем поняла. Это что же получаются нетрадиционные магические квадраты, если элементы от 0 до 9 в них повторяются. И чем же интересны такие квадраты?
А вы можете вывесить там задачу? У меня есть хорошая задача о бимагическом пандиагональном квадрате 8-го порядка, по-моему, тоже нерешённая. Я в этой ветке, кажется, о ней писала.
По поводу методов, описанных в статье. Не могли бы вы посмотреть, нельзя там выудить какую-то схему для порядков вида $n = 6k + 2$? Там тоже такая хитрая склейка, которую вы здесь показали? Один из путей поиска закономерностей такой: взять много-много пар ОЛК порядков этой серии (меня не интересует максимальное количество квадратов) и искать эти самые закономерности. Очень трудный и длинный путь, но другого не вижу.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

А вы можете вывесить там задачу? У меня есть хорошая задача о бимагическом пандиагональном квадрате 8-го порядка, по-моему, тоже нерешённая.

Там все-таки конкурс, а не исследование. Если жюри не решит задачу, она не будет опубликована.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Nataly-Mak писал(а):

Не могли бы вы посмотреть, нельзя там выудить какую-то схему для порядков вида $n = 6k + 2$?

Я уже показал вам комбинацию схем, которая покрывает все порядки, но она не нравится вам из эстетических соображений. Боюсь, с остальными схемами будет то же самое, так как авторов статьи интересовала не эстетика, а решение задачи.

[Nataly-Mak]

Меня тоже интересует решение задачи. Впрочем, красивые решения ещё никому не вредили
Ваша схема меня не устраивает не из-за эстетических соображений, а по причине, которую я уже указывала. У меня другое разбиение на группы порядков. В каждой группе есть свой алгоритм, покрывающий все порядки без исключения. Я показала это на примере группы порядков вида $6k + 4$. Мне не хватает алгоритма построения пар ОЛК группы порядков вида $6k + 2$. Пусть это будет неэстетический алгоритм, но чтобы он действовал абсолютно для всех порядков этой группы без исключений (и для тех порядков, для которых работает метод составных квадратов, тоже), то есть для k = 1, 2, 3, ... (весь натуральный ряд чисел). В приведённой же вами статье метод не покрывает все порядки, для некоторой группы порядков приведены частные решения, которые не вписываются в общую схему. Вы скажете: ну и что, ведь решения приведены для всех порядков. Ну, частные решения известны для всех порядков до $n = 10000$. Но это не общий метод, это частные решения.
Если же вы покажете мне схему, которая работает для всех порядков указанного вида без исключения, я приму её неэстетичность безоговорочно.
***
Так пусть жюри решит мою задачу о бимагическом пандиагональном квадрате

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Ну, частные решения известны для всех порядков до $n = 10000$. Но это не общий метод, это частные решения.

Я не понимаю. Если в статье про $N_2$ указано, как строить пару MOLS любого порядка, это можно назвать "общим методом"? Или, чтобы называться "общим методом", метод должен не просто работать для любого порядка, но и принимать во внимание придуманное вами с неизвестной целью разбиение порядков на какие-то группы?

Добавлено спустя 9 минут 8 секунд:

Nataly-Mak писал(а):

Так пусть жюри решит мою задачу о бимагическом пандиагональном квадрате

В Спортлото обращаться не пробовали?

[Nataly-Mak]

tolstopuz писал(а):

В Спортлото обращаться не пробовали?

У меня есть чувство юмора, но не настолько большое...
Считаю дальнейший диалог бессмысленным.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

tolstopuz писал(а):

В Спортлото обращаться не пробовали?

У меня есть чувство юмора, но не настолько большое...
Считаю дальнейший диалог бессмысленным.

Как хотите. Я тоже считаю странным юмором желание отвлечь людей от их любимого дела, чтобы они вместо проведения конкурса решали задачу о бимагическом пандиагональном квадрате.

Кстати, я запустил полный перебор КРМ для порядка 10, думаю, через час он завершится. Он выдал уже больше четырехсот четырехстрочных КРМ и пока ни одной пятистрочной.

Да, в каждой строке КРМ можно ограничиться нулем в первом небуквенном столбце. При прибавлении одного и того же числа ко всей строке КРМ сохраняет свои свойства, так что такое преобразование тоже можно считать изоморфизмом.

Добавлено спустя 53 минуты 19 секунд:

Итак, найдено:
- 2025 трехстрочных КРМ;
- 3240 четырехстрочных КРМ;
- 0 пятистрочных КРМ.

Естественно, четырехстрочные КРМ попарно связаны перестановкой третьей и четвертой строк, так что интересных из них только 1620.

Могу привести здесь программу или выслать результат.

Добавлено спустя 4 минуты 1 секунду:

Nataly-Mak писал(а):

Вот одно из решений для КРМ из трёх строк, показанной здесь:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 a 7 5 2 4 0 8 3 6
2 1 7 5 2 4 0 8 3 6 a

Второй вариант четвертой строки:

0 1 6 a 7 5 2 4 0 8 3

Остальные варианты получаются прибавлением от 1 до 8 к этим двум.

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

Nataly-Mak писал(а):

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 a 5 8 3 2 7 0 6 4
1 2 5 a 6 0 4 3 8 1 7

Второй вариант четвертой строки:

0 8 3 6 1 0 5 7 4 2 a

Были варианты третьей строки, которые давали три и даже целых четыре варианта четвертой, но все четыре, естественно, были попарно неортогональны.

[Nataly-Mak]

Сенсация! Мне shwedka прислала статью, в которой описывается построение пары ортогональных диагональных латинских квадратов (ОДЛК).
shwedka, не просто спасибо, а грандиозное спасибо. Наконец-то я увидела пару ОДЛК 14-го порядка!
Вот название статьи: “ORTOGONAL DIAGONAL LATIN SQUARES OF ORDER FOURTEEN” (L. Zhu, 1982 г.)
В статье приводится оригинальный метод построения пары ОДЛК 14-го порядка, который я уже успешно применила для построения пар ОДЛК 15-го и 18-го порядков.
Заметьте, что эта статья была написана до того, как были построены пары ОДЛК 10-го порядка. В то время проблемными оставались порядки 10, 14, 15, 18 и 26. В этой статье как раз и решается задача для одного из проблемных порядков – 14-го. В 1989 г. была решена задача ещё для трёх проблемных порядков – 15, 18 и 26. Я нашла ссылку вот на такую статью: А. В. Назарок. Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26. // Комбинаторный анализ. Вып. 32. М.: МГУ, 1989 г.
К сожалению, статью мне найти не удалось. И, наконец, в 1992 г. Браун и компания закрывают последний проблемный порядок – 10.
Поскольку пары ОДЛК 15-го и 18-го порядков я построила сама по аналогии с парой ОДЛК 14-го порядка, у меня остаётся один проблемный порядок – 26. Кроме этого порядка, я не знаю, как строить пары ОДЛК и для многих других порядков, например, 12, 21, 24 и т. д. Насколько я поняла, математики эту задачу давно решили, но где найти её решение?
Очень хотелось бы найти указанную выше статью о парах ОДЛК 15-го, 18-го и 26-го порядков. Интересно, какие пары ОДЛК 15-го и 18-го порядка построены в этой статье (хочется сравнить с построенными мной парами). Кроме того, в этой статье есть построение пары ОДЛК 26-го порядка, которую мне пока построить не удалось. Если кто-нибудь может, помогите, пожалуйста, найти эту статью.
Читайте описание построения пар ОДЛК 14-го порядка в моей статье. В статье ещё не описано построение пар ОДЛК 15-го и 18-го порядков, скоро будет продолжение. Для порядка 15 построена не только пара ОДЛК, а группа попарно ортогональных диагональных латинских квадратов, состоящая из 4 квадратов. Для этого я взяла известную группу MOLS 15-го порядка и применила к ней найденный метод.
Вот пример пары ОДЛК 15-го порядка.
Первый латинский диагональный квадрат:

1 7 12 10 9 3 15 8 2 14 11 4 13 5 6
3 2 8 13 11 10 4 9 1 12 5 14 6 7 15
2 4 3 9 14 12 11 10 13 6 1 7 8 15 5
14 3 5 4 10 1 13 11 7 2 8 9 15 6 12
8 1 4 6 5 11 2 12 3 9 10 15 7 13 14
4 9 2 5 7 6 12 13 10 11 15 8 14 1 3
11 5 10 3 6 8 7 14 12 15 9 1 2 4 13
9 10 11 12 13 14 1 15 8 7 6 5 4 3 2
6 11 9 8 2 15 5 7 14 1 13 10 3 12 4
10 8 7 1 15 4 3 6 5 13 14 12 9 2 11
7 6 14 15 3 2 10 5 9 4 12 13 11 8 1
5 13 15 2 1 9 14 4 6 8 3 11 12 10 7
12 15 1 14 8 13 6 3 4 5 7 2 10 11 9
15 14 13 7 12 5 8 2 11 3 4 6 1 9 10
13 12 6 11 4 7 9 1 15 10 2 3 5 14 8

Второй диагональный латинский квадрат:

1 11 8 3 6 12 9 14 7 2 10 5 15 13 4
8 2 12 9 4 7 13 1 3 11 6 15 14 5 10
4 9 3 13 10 5 8 2 12 7 15 1 6 11 14
13 5 10 4 14 11 6 3 8 15 2 7 12 1 9
9 14 6 11 5 1 12 4 15 3 8 13 2 10 7
15 10 1 7 12 6 2 5 4 9 14 3 11 8 13
5 15 11 2 8 13 7 6 10 1 4 12 9 14 3
12 13 14 1 2 3 4 15 11 10 9 8 7 6 5
10 7 2 5 11 8 3 13 14 6 1 9 4 15 12
6 1 4 10 7 2 11 12 9 13 5 14 8 3 15
14 3 9 6 1 10 15 11 5 8 12 4 13 7 2
2 8 5 14 9 15 1 10 13 4 7 11 3 12 6
7 4 13 8 15 14 5 9 1 12 3 6 10 2 11
3 12 7 15 13 4 10 8 6 14 11 2 5 9 1
11 6 15 12 3 9 14 7 2 5 13 10 1 4 8

[Nataly-Mak]

Невероятно! shwedka нашла очень ценную статью, ссылка на неё была найдена мной и послала ей просьбу поискать эту статью.
DOUBLY DIAGONAL ORTHOGONAL LATIN SQUARES (Katherine HEINRICH, A. J. HILTON. Discrete Mathematics 46, 1983).
Распечатала и посмотрела статью. Но... Конечно, английский язык...
В статье доказывается, например, такая теорема.
Theorem. For all $n>= 7, n<> 10, 12, 14, 15, 18, 26$ there exists a pair of $DDOLS(n)$.
Вот она - теорема существования пар ОДЛК! Оказывается, порядок 12 тоже относится к проблемным порядкам. То-то я для него никак не построю пару ОДЛК. У меня теперь два проблемных порядка осталось - 12 и 26.
В статье, кроме того, описывается некоторый метод построения пар ОДЛК.
Одним словом, статья чрезвычайно интересная. Если есть здесь люди, интересующиеся этой темой, могу поделиться статьёй, но с условием, что мне расскажете статью по-русски
Вчера построила пару ОДЛК 22-го порядка причём не одну, а 576 неизоморфных пар! Статью об этом ещё не написала.
shwedka, вам, конечно, огромное спасибо. Скажите, вы всех на форуме снабжаете литературой? Тогда участникам форума необыкновенно повезло!

[Nataly-Mak]

Скажите, пожалуйста, кто-нибудь видел точное определение изоморфных латинских квадратов и, соответственно, изоморфных пар латинских квадратов? Я понимаю это следующим образом: два латинских квадрата изоморфны, если они получаются друг из друга преобразованием трансформации тождественной перестановки чисел. Например, вот два изоморфных латинских квадрата, согласно данному определению:

0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3

1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0 1 2 3 4

Здесь выполнена трансформация тождественной перестановки чисел - циклический сдвиг. Понятно, что для латинского квадрата 5-го порядка таких трансформаций будет 120 и, следовательно, есть 120 изоморфных латинских квадратов. Я правильно понимаю изоморфизм латинских квадратов?
Далее, отлично помню, что при неоднократных поисках статей о ЛК в Интернете как-то промелькнуло ...изоморфные латинские квадраты ... эквивалентные латинские квадраты...
К сожалению, не посмотрела сразу эту веб-страницу, а теперь уже не знаю, где именно это промелькнуло. Так вот, если понятие изоморфизма ЛК определено мной правильно, то что такое "эквивалентные латинские квадраты"? Если, например, переставить строки (и/или столбцы) в латинском квадрате произвольным образом, получится эквивалентный латинский квадрат? Одним словом, нужно точное определение изоморфных и эквивалентных латинских квадратов. Насколько мне известно, для магических квадратов эти два понятия совпадают.
Ещё получен, на мой взгляд, интересный результат. В книге "Handbook of Combinatorial Designs" построена, например, группа MOLS 18-го порядка, состоящая из трёх квадратов. Но, по-моему, нигде не упоминается (поправьте меня, если это не так), что на основе построенной группы можно получить 24 неизоморфные группы MOLS.
Для группы MOLS 26-го порядка, состоящей из 4 квадратов, я получила 14400 неизоморфных групп, и это только с соответственными перестановками (определение соответственных перестановок дано в моей статье). Далее найдено ещё 14400 вариантов пар ОЛК с одной не соответственной перестановкой и 14400 вариантов пар ОЛК с другой не соответственной перестановкой. Больше не соответственных перестановок найти не удалось.
Эти результаты можно посмотреть в статьях:
http://www.natalimak1.narod.ru/neizom.htm
http://www.natalimak1.narod.ru/mols18_26.htm
Благодарю за внимание. А внимание, как мне кажется, имеется (судя по количеству просмотров темы). Только вот отвечать почему-то никто не отваживается
Хотя, как мне помогли недавно установить, данная тема, согласно статистике форума, по количеству ответов находится на 4-ом месте.

[Nataly-Mak]

Вчера искала в Интернете определение изоморфных латинских квадратов.
Google дал такую цитату:

“Эта пара квадратов неизоморфна паре Паркера. Действительно,
совокупность циклических составов 180 подстановок, связывающих парал-
лельные ряды каждого из квадратов, является комбинаторным инвариантом
пары квадратов относительно подстановок строк, столбцов, первых
символов, вторых символов и взаимной замены строк на столбцы. Для
наших квадратов каждая подстановка содержит транспозицию, а для
квадратов Паркера встречаются десятичленные циклы (например, для
строк 1 и 8 первого квадрата).
Рассматриваемые пары квадратов неизоморфны и в более сильном
смысле. Каждая пара ортогональных латинских квадратов, если . их
клетки принять за «точки», определяет 4 пучка «прямых», соответству­
ющих строкам, столбцам, первым символам и вторым символам. Подста­
новками этих пучков можно получить новые пары ортогональных латин­
ских квадратов. Проверка показала, что все пары квадратов, получаемые
этим способом из нашей пары, неизоморфны паре Паркера, так как все
подстановки, связывающие параллельные ряды новых квадратов, отличны
от десятичленных циклов.
В то время как над парой квадратов Паркера не может быть
построена проективная плотность, для нашей пары вопрос о возможно­
сти расширения до проективной плоскости остается открытым”.
(УМН. 18:5(113) (1963), 173-174)

(Примечание: это точная копия цитаты, в последнем абзаце, видимо, сделана опечатка и следует читать: В то время как над парой квадратов Паркера не может быть построена проективная плоскость…).

Вот такое весьма туманное для меня разъяснение неизоморфности пары ОЛК 10-го порядка А. И. Лямзина паре ОЛК Паркера.
Совпадает ли это разъяснение с моим определением изоморфности (см. предыдущий пост)

***
А существует ли понятие “нетрадиционный латинский квадрат”? Есть обобщённые латинские квадраты, но это не то, что я имею в виду. Если такое понятие ещё не ввели, то я буду первая. Почему бы не ввести такое понятие по аналогии с нетрадиционными магическими квадратами? Итак, определение: нетрадиционным латинским квадратом порядка $n$ называется квадратная таблица размером $n*n$, заполненная натуральными числами от 1 до $m$ ($m > n$) так что в каждой строке и в каждом столбце таблицы все элементы различны.
Для нетрадиционных латинских квадратов с ходу составляется пара ОЛК 2-го порядка, например, такая:

1 2   2 1
3 4   4 3

Эти латинские квадраты заполнены числами 1, 2, 3, 4. Точно так же, как для классических латинских квадратов, если все элементы в каждой главной диагонали квадрата различны, такой нетрадиционный латинский квадрат называется диагональным. В приведённом примере оба латинских квадрата диагональные. Так что, мы имеем пару ортогональных диагональных нетрадиционных латинских квадратов 2-го порядка.
Для нетрадиционных латинских квадратов 10-го порядка существует группа MOLS из пяти латинских квадратов. Я построила эту группу очень просто: взяла известную группу MOLS 12-го порядка и вырезала из неё одинаковым образом квадраты размером 10х10. Все пять квадратов 10х10 заполнены числами от 1 до 12 и все они попарно ортогональны.
Из этой же группы MOLS 12-го порядка я получила группу из пяти попарно ортогональных нетрадиционных латинских квадратов 6-го порядка. Вот первые два квадрата из этой группы:

2 3 4 11 12 7
3 4 5 12 7 8
10 11 12 1 2 3
11 12 7 2 3 4
12 7 8 3 4 5
7 8 9 4 5 6

1 12 6 8 10 3
2 7 1 9 11 4
9 2 8 4 6 11
10 3 9 5 1 12
11 4 10 6 2 7
12 5 11 1 3 8

Не существует идеальных магических квадратов 6-го порядка, а нетрадиционные идеальные магические квадраты 6-го порядка существуют. Не существует ортогональных классических латинских квадратов 6-го порядка, а нетрадиционные ортогональные латинские квадраты 6-го порядка – вот они! Для классических латинских квадратов 10-го порядка не найдена группа более чем из двух ортогональных квадратов. А для нетрадиционных латинских квадратов я нашла группу из пяти попарно ортогональных латинских квадратов.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #210494 писал(а):

Скажите, пожалуйста, кто-нибудь видел точное определение изоморфных латинских квадратов и, соответственно, изоморфных пар латинских квадратов? Я понимаю это следующим образом: два латинских квадрата изоморфны, если они получаются друг из друга преобразованием трансформации тождественной перестановки чисел.

... а также перестановкой строк и столбцов.
Для пар (или даже групп) квадратов определение изоморфности такое же, только преобразование тождественной перестановки должно быть одно и то же в обоих (всех) квадратах, и перестановки строк/столбцов должны осуществляться одновременно во всех квадратах. Ну и еще, конечно, можно произвольно перетасовывать сами квадраты в группе.
см. http://en.wikipedia.org/wiki/Latin_squa ... in_squares