Абстракция актуальной бесконечности

[epros]

Pi писал(а):

Что такое муж? А может у нас многомужество разрешенно

Высказывание "$a$ является мужем $b$" записывается предикатом $\mathrm{isHusband}(a,b)$. Всё, больше никакими философскими вопросами типа "что есть муж" и "разрешено ли многомужество" можете не заморачиваться. Тут недавно AD сказал, что математика - это игра в буковки. Вот и давайте исходить из этого.

Соответственно, высказывание "У Маши есть муж" запишется так:
$(\exists a)(\mathrm{isHusband}(a,\mbox{Маша}))$.

Если есть желание, то и высказывание про многомужество можно записать.

Pi писал(а):

но топик то про возможность непротиворичивой нетрадиционной логики!

Не-а. Топик про то, насколько конструктивно было бы убрать актуальную бесконечность, оставив "традиционную" логику.

[Pi]

epros писал(а):

Высказывание "$a$ является мужем $b$" записывается предикатом $\mathrm{isHusband}(a,b)$.

Соответственно, высказывание "У Маши есть муж" запишется так:
$(\exists a)(\mathrm{isHusband}(a,\mbox{Маша}))$.

Вот тут то и собака порылась! Не определенно что такое "a", например, допустимо ли для него только одно значение или множество, диапозон? Нету укзания принадлежности к какому либо множеству.
Во входное значения "а" isHusband допускают ли только одно значение или интервал? И на выходе из него одно значение или интервал, множество, неоднозначная функция?
Если вы это определите однозначно силой воли, то никаких разночтений не будет в любой логике. Иначе все могут понимать как им вздумается. Для меня, например, многозначность так же естественна как др.

[Nxx]

Цитата:

Соответственно, высказывание "У Маши есть муж" запишется так:
$(\exists a)(\mathrm{isHusband}(a,\mbox{Маша}))$.

В том-то и дело, что такого $a$ в вашей теории не существует.

[man]

epros писал(а):

Не-а. Топик про то, насколько конструктивно было бы убрать актуальную бесконечность, оставив "традиционную" логику.

Каков же ответ ? Что Вас меньше устраивает, классическая логика (закон исключенного третьего, снятия двойного отрицания) или аксиома бесконечности ?

[epros]

Pi писал(а):

epros писал(а):

Высказывание "$a$ является мужем $b$" записывается предикатом $\mathrm{isHusband}(a,b)$.

Соответственно, высказывание "У Маши есть муж" запишется так:
$(\exists a)(\mathrm{isHusband}(a,\mbox{Маша}))$.

Вот тут то и собака порылась! Не определенно что такое "a", например, допустимо ли для него только одно значение или множество, диапозон? Нету укзания принадлежности к какому либо множеству.
Во входное значения "а" isHusband допускают ли только одно значение или интервал? И на выходе из него одно значение или интервал, множество, неоднозначная функция?
Если вы это определите однозначно силой воли, то никаких разночтений не будет в любой логике. Иначе все могут понимать как им вздумается. Для меня, например, многозначность так же естественна как др.

Pi, похоже, что Вы просто не понимаете, что такое математическая логика. В частности - исчисление предикатов первого порядка. Рассуждения о том, "что такое $a$": "одно значение или множество, диапазон", - это всё философия, не имеющая к математической логике никакого отношения. С точки зрения исчисления предикатов $a$ - это просто символ, обозначаюший предметную переменную. Вот и всё. Она может принимать те значения, относительно которых в теории сказано, что она может их принимать. Например, если сказано, что $(\exists a)(a=\mbox{Коля} \vee a=\mbox{Вася})$, то нам уже известно, что $a$ может быть равно "Коля" или "Вася". А вот про то, может ли $a$ быть равной "Петя", ничего не сказано. Да и вообще, существуют ли в мире "Пети" - про то в теории ничего не сказано.

Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:

Nxx писал(а):

Цитата:

Соответственно, высказывание "У Маши есть муж" запишется так:
$(\exists a)(\mathrm{isHusband}(a,\mbox{Маша}))$.

В том-то и дело, что такого $a$ в вашей теории не существует.

А Вы какой логикой пользуетесь (если у Вас вообще есть логика)? В классическом исчислении предикатов первого порядка это высказывание в этой теории доказуемо.

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

man писал(а):

epros писал(а):

Не-а. Топик про то, насколько конструктивно было бы убрать актуальную бесконечность, оставив "традиционную" логику.

Каков же ответ ? Что Вас меньше устраивает, классическая логика (закон исключенного третьего, снятия двойного отрицания) или аксиома бесконечности ?

Предпочитаю пока обходиться без всего этого.

[Nxx]

Цитата:

А Вы какой логикой пользуетесь (если у Вас вообще есть логика)? В классическом исчислении предикатов первого порядка это высказывание в этой теории доказуемо.

Существует-то оно существует, причем не одно, но конкретный возраст Маши в вашей теории невычислим, а значит, его нет.

[Someone]

Nxx в сообщении #196255 писал(а):

Пример: множество алгоритмов для машины Тьюринга длинной меньше 10 миллионов бит, которые рано или поздно завершают свою работу.

Докажите средствами ZF, что оно бесконечно. В любом из двух смыслов.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Это Вы считаете его неприемлемым, потому что с Вашей точки зрения определить "актуальную бесконечность" автоматически означает, что определено и конечное множество.

Не говорите чушь. Никакой "актуальной бесконечности" никто не определяет, потому что в математике такого понятия нет. В теории множеств сначала определяются натуральные числа, потом - конечные множества. Все остальные (которые не конечные) считаются бесконечными.

epros в сообщении #196321 писал(а):

С моей же точки зрения оно приемлемо, а "существование" того, что Вы называете "конечным множеством, в котором можно найти произвольно много элементов", меня совершенно не смущает.

Вам только нужно убедить других конструктивистов (например, А.И.Мальцева), что такие множества являются конечными. Поскольку они в конструктивном анализе известны под другим названием.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Вы, наверное, полагаете, что если спросите у меня определение конечного множества, то услышите в ответ: "Множество, не являющееся актуальной бесконечностью". Ан нет. Это не классическая двузначная логика. Конечные типы определяются совсем не так.

Ну зачем я буду спрашивать у Вас? Вы - фанатик, находящийся в плену околоматематических мифов. Вы очень легко можете вместо корректной информации выдать один из своих мифов. Определение финитного множества есть у Кушнера, я ему доверяю. Кстати, термин "конечное множество" он не употребляет.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Someone писал(а):

$\exists a(\varnothing\in a\wedge\forall b(b\in a\to b\cup\{b\}\in a))$

Ну и что? Возьмём утверждение, которое конструктивизмом безусловно принимается: "ноль является натуральным числом, и каждый последователь натурального числа является натуральным числом". Используя множество $\mathscr H$, определённое Кушнером, это утверждение можно записать так:
$0\in\mathscr H\wedge\forall n(n\in \mathscr H\to n|\in\mathscr H)$.
В чём разница?

Очевидно всего лишь в том, что в последнем случае отсутствует утверждение о существовании такой совокупности объектов.

Вы не знаете синтаксиса формального языка математической логики? $\mathscr H$ - это константа. После квантора должна стоять переменная. Запись $\exists\mathscr H$ запрещена синтаксисом. Точно так же нельзя написать $\exists 0$. Формула означает, что вполне конкретный объект, обозначенный константным символом $\mathscr H$, содержит строку $0$ и вместе с каждой строкой $n$ содержит строку $n|$.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Против существования свойства "быть натуральным числом" никто не возражает. И то, что это свойство определяет потенциально бесконечный тип, - тоже принято.

Ну так «свойство "быть натуральным числом"» - это и есть множество, именуемое "натуральным рядом". Вам сколько раз нужно повторять, что множества и есть свойства? Не все свойства, а только, в некотором смысле, ограниченные. И не делятся свойства на "актуально бесконечные" и "потенциально бесконечные". Это не более чем Ваши интерпретации, позаимствованные у околоматематических псевдофилософов. Вы же сами писали, что интерпретации не имеют значения.

epros в сообщении #196188 писал(а):

Это всё не имеет отношения к вопросу, ибо является интерпретациями. Я точно так же могу интерпретировать все эти слова и выражения таким образом, что речь идёт о конечных множествах, которые "дополняются" по мере необходимости.

Вот и интерпретируйте множества ZFC так же, как Вы интерпретируете множества CRA. Никакие формулы языка ZFC от этого не изменятся, все аксиомы и правила вывода - тоже, так что та или иная интерпретация действительно не имеет значения для формальной теории.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Это не те "множества", которыми Вы привыкли оперировать в рамках теории множеств. Против потенциально бесконечных типов нет возражений, но они не могут "существовать" в том же смысле, в котором существуют объекты предметной теории, относящиеся к соответствующим типам.

Ну, на мой взгляд, Ваш фанатизм не даёт Вам увидеть очевидную вещь. Читайте внимательно Кушнера. Вы там найдёте не только множества, но и, например, их объединения и пересечения, причём, не только для конечного набора множеств, но и для последовательностей множеств. Так что множества являются вполне законными объектами CRA.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Не получится. ZFC, используемая в качестве предметной теории, определяет такой объект, как "минимальное индуктивное множество" $\omega_0$, который может подставляться в качестве значения предметных переменных и т.п. Так что от утверждения об актуальном существовании бесконечности никуда не деться.

Ну сделайте маленькое интеллектуальное усилие. "Минимальное индуктивное множество" - это такое индуктивное свойство, что всякий объект, который этим свойством обладает, будет обладать также и любым другим индуктивным свойством. После чего Вы спокойно можете считать, что объекты, обладающие этим свойством, не лежат перед Вами сразу все большой кучей, а появляются "по мере надобности". Как в Вашей интерпретации $\mathscr H$. Причём, $\mathscr H$ точно так же может подставляться в качестве значения предметных переменных.

epros в сообщении #196188 писал(а):

Как-то станно Вы выразились: содержит все "свои" элементы. Подразумевается, что для любой совокупности натуральных чисел любое натуральное число автоматически будет "своим"?

Прошлый раз спешил и забыл пояснить. "Свои" для множества те элементы, которые ему принадлежат. В частности, для "любой" совокупности "своими" будут только её элементы.

epros в сообщении #196321 писал(а):

И зря, между прочим, закрываете. Ибо во-первых, это не офтопик, поскольку вопрос о законе исключённого третьего был поставлен уже при открытии темы. Во-вторых, он очень тесно связан определениями конечных и бесконечных типов: Вы здесь привели пример определения типа, про который доказано, что он не может быть бесконечным, но не доказано, что он конечный.

Мне это не очень интересно, а для более глубокого обсуждения мне нужно существенно глубже вникнуть в суть дела, на что у меня нет времени. Вы же видите, что я отвечаю достаточно редко. Обсуждайте этот вопрос с Nxx.

Я вижу, что указанное мной множество не является финитным в смысле определения, которое имеется у Кушнера. Термин "конечное множество" у Кушнера не определён. С точки зрения классической математики множество является конечным, хотя, может быть, невозможно ответить на вопрос о числе его элементов (ответ может зависеть от интерпретации арифметики, поэтому не выводиться из аксиом). Боюсь, что Вы понимаете конечность в смысле финитности, а я - в существенно другом. Поэтому каждый из нас прав, просто мы не договорились об определениях.

Что касается оффтопика, то тема называется "Абстракция актуальной бесконечности" и к закону исключённого третьего имеет более чем отдалённое отношение. Хотя бы потому, что закон исключённого третьего - это логическая аксиома, а указанная в заголовке абстракция не является математическим или логическим утверждением и не играет никакой роли в математике или логике.

epros в сообщении #196321 писал(а):

Someone писал(а):

Не могли набрать формулу? Зачем нужно было ссылаться на внешний файл?

Мог бы, а зачем? Так было быстрее.

Затем, что кто-нибудь отредактирует статью в Википедии, и Ваша картинка сгинет без следа.

Pi в сообщении #196333 писал(а):

Вот про это я и сказал. Какая аксиома выбора достаточна и нужна ли она вообще, мнения расходятся.

У профессионалов не расходятся, поскольку они понимают роль аксиомы выбора. Расходятся мнения у околоматематических псевдофилософов и тех, кто их слушает.

Принятие аксиомы выбора неизбежно уже потому, что она необходима для формализации ряда построений, применяемых математиками, вовсе не думающими ни о какой аксиоме выбора. Теория множеств претендует на то, чтобы быть базой для большей части математики, поэтому она включает аксиому выбора.

Pi в сообщении #196333 писал(а):

Не доказанно что без аксиомы выбора можно обойтись. То есть что она необходима для теории множеств.

(У Вас тут какое-то противоречие в высказываниях.)

Для теории множеств самой по себе аксиома выбора не нужна. Однако она очень сильно регуляризует теорию множеств.

Но, например, для математического анализа, изучаемого в ВУЗах на первом курсе, аксиома выбора (хотя бы в ослабленном варианте) крайне желательна, без неё основные понятия анализа раздваиваются: получается по два неэквивалентных определения предела, производной, интеграла...; множество действительных чисел может оказаться объединением счётного множества счётных множеств, и у нас будут проблемы с мерой Лебега и интегралом Лебега, и т.п. Вероятно, здесь хватило бы аксиомы зависимого выбора или даже счётной аксиомы выбора (точно не знаю).
Однако дальнейшее развитие теории (функциональный анализ, гильбертовы и банаховы пространства, линейные топологические пространства) требует уже более сильных версий аксиомы выбора, без которой появляются некоторые "странные" объекты, такие, как линейное пространство, не имеющее базиса, или имеющее два базиса разной мощности.
Топология уже откровенно не может обходиться без аксиомы выбора, поскольку важнейшие теоремы топологии без аксиомы выбора могут оказаться неверными (например, теорема о компактности произведения компактных пространств или теорема о непустоте произведения, которая просто равносильна аксиоме выбора).

[Nxx]

Цитата:

Докажите средствами ZF, что оно бесконечно. В любом из двух смыслов.

Оно бесконечно в первом смысле так как не существует равномощного ему множества натуральных чисел. Не знаю, можно ли это доказать в ZF, но для меня лично, это очевидно, и является поводом для того, чтобы отвергнуть систему аксиом, в которой биекция считается существующей (так как биекции в любом случае не существует).

[epros]

Nxx писал(а):

epros писал(а):

А Вы какой логикой пользуетесь (если у Вас вообще есть логика)? В классическом исчислении предикатов первого порядка это высказывание в этой теории доказуемо.

Существует-то оно существует, причем не одно, но конкретный возраст Маши в вашей теории невычислим, а значит, его нет.

Вы не отвечаете на вопросы и комментируете не то, что процитировали. По-Вашему это конструктивное обсуждение?

Речь была о высказывании "У Маши есть муж":
$(\exists a)(\mathrm{isHusband}(a,\mbox{Маша}))$.

Я сказал, что в этой теории данное высказывание доказуемо (если применять классическую логику, включающую закон исключённого третьего). Что именно Вы хотели бы возразить?

[Nxx]

Цитата:

Я сказал, что в этой теории данное высказывание доказуемо (если применять классическую логику, включающую закон исключённого третьего). Что именно Вы хотели бы возразить?

Если использовать в качестве высказываний логические выражения, не имеющие смысла и что-то из них выводить, то да.

[epros]

Someone писал(а):

Не говорите чушь. Никакой "актуальной бесконечности" никто не определяет, потому что в математике такого понятия нет. В теории множеств сначала определяются натуральные числа, потом - конечные множества. Все остальные (которые не конечные) считаются бесконечными.

Я дал определение "такому понятию". Можете "считать" вместе со "всеми остальными" про конечные и бесконечные множества всё, что угодно, но это не имеет никакого отношения к вопросу о том, что я имею в виду, когда употребляю термин "актуальная бесконечность".

Someone писал(а):

Вам только нужно убедить других конструктивистов (например, А.И.Мальцева), что такие множества являются конечными. Поскольку они в конструктивном анализе известны под другим названием.

Во-первых, мне не нужно никого ни в чём убеждать, потому что я не утверждал, что в конструктивном анализе соответствующие типы считаются конечными.
Во-вторых, Ваша фанатическая зацикленность на теории множеств мешает Вам увидеть, что в конструктивном анализе не утверждается существование объектов, являющихся совокупностями всех объектов какого-нибудь из таких типов.

Someone писал(а):

Ну зачем я буду спрашивать у Вас?

Наверное, чтобы узнать именно моё мнение (независимо от того, "правильное" ли оно). Мнение Кушнера, Мальцева, Маркова и т.п. Вы можете узнать непосредственно из их работ (хотя я вижу, что Вы интерпретируете их совершенно неверно - выходя далеко за пределы того, что непосредственно сказано).

Someone писал(а):

Определение финитного множества есть у Кушнера, я ему доверяю. Кстати, термин "конечное множество" он не употребляет.

Боже мой, какие страсти! Я, видите ли, употребляю термин "конечное" вместо "финитное". Это криминал?

Someone писал(а):

epros в сообщении #196321 писал(а):

... в последнем случае отсутствует утверждение о существовании такой совокупности объектов.

Вы не знаете синтаксиса формального языка математической логики? $\mathscr H$ - это константа. После квантора должна стоять переменная. Запись $\exists\mathscr H$ запрещена синтаксисом. Точно так же нельзя написать $\exists 0$. Формула означает, что вполне конкретный объект, обозначенный константным символом $\mathscr H$, содержит строку $0$ и вместе с каждой строкой $n$ содержит строку $n|$.

А я Вам о чём твержу? О том, что типы не являются объектами предметной теории, ибо определяются свойствами, а не предметными переменными или константами. Поэтому в предметной теории не может быть утверждения о "существовании" типа или о наличии у него каких либо свойств (например, свойства "конечности").

Тем не менее, конечность (и, соответственно, бесконечность) типа определяется мета-теоретически. И для любого конечного типа можно конструктивно доказать, что существует (определима в предметной теории) совокупность всех объектов данного типа. Для бесконечных типов такого утверждения нет, что и означает отсутствие в конструктивном анализе признания "актуального" существования бесконечности.

Someone писал(а):

Вам сколько раз нужно повторять, что множества и есть свойства? Не все свойства, а только, в некотором смысле, ограниченные.

А Вам сколько раз нужно повторять, что множества - не есть свойства? Что множества (я их называю "совокупностями" объектов) являются объектами предметного мира, а типы таковыми не являются. Да, тип определяется свойством (не всяким, а только разрешимым в предметной теории), но сам он - объект мета-теории, а не предметного мира. Мета-теория ничего не может утверждать о предметном мире, поэтому она не может утверждать, что её объекты (типы объектов предметной теории) существуют в предметном мире.

Someone писал(а):

И не делятся свойства на "актуально бесконечные" и "потенциально бесконечные". Это не более чем Ваши интерпретации, позаимствованные у околоматематических псевдофилософов. Вы же сами писали, что интерпретации не имеют значения.

Я Вам уже объяснял, что различия между "актуальным" и "потенциальным" существованием бесконечности формально определимы. "Потенциальное" существование бесконечности означает, что мы можем определить бесконечный тип (и доказать, что он бесконечный, в мета-теории). "Актуальное" существование бесконечности означало бы существование совокупности всех объектов бесконечного типа в предметном мире (т.е. её определимость в предметной теории).

Someone писал(а):

Вот и интерпретируйте множества ZFC так же, как Вы интерпретируете множества CRA. Никакие формулы языка ZFC от этого не изменятся, все аксиомы и правила вывода - тоже, так что та или иная интерпретация действительно не имеет значения для формальной теории.

Имеет значение, что утверждается существование (как объекта предметного мира) бесконечной совокупности объектов. И в результате из этого можно делать различные выводы.

Someone писал(а):

Ну, на мой взгляд, Ваш фанатизм не даёт Вам увидеть очевидную вещь. Читайте внимательно Кушнера. Вы там найдёте не только множества, но и, например, их объединения и пересечения, причём, не только для конечного набора множеств, но и для последовательностей множеств. Так что множества являются вполне законными объектами CRA.

Вполне законными, только вот объектами чего? Предметного мира или мета-теории? И те ли это "множества", которые суть объекты, состоящие их других объектов, или совсем другие - которые представляют собой типы объектов, но не объекты?

epros в сообщении #196321 писал(а):

Не получится. ZFC, используемая в качестве предметной теории, определяет такой объект, как "минимальное индуктивное множество" $\omega_0$, который может подставляться в качестве значения предметных переменных и т.п. Так что от утверждения об актуальном существовании бесконечности никуда не деться.

Someone писал(а):

Ну сделайте маленькое интеллектуальное усилие. "Минимальное индуктивное множество" - это такое индуктивное свойство, что всякий объект, который этим свойством обладает, будет обладать также и любым другим индуктивным свойством. После чего Вы спокойно можете считать, что объекты, обладающие этим свойством, не лежат перед Вами сразу все большой кучей, а появляются "по мере надобности". Как в Вашей интерпретации $\mathscr H$. Причём, $\mathscr H$ точно так же может подставляться в качестве значения предметных переменных.

Сделайте маленькое интеллектуальное усилие и сообразите, что $\mathscr H$ не может подставляться в качестве значения предметных переменных, ибо сие запрещено правилами исчисления предикатов первого порядка.

Someone писал(а):

epros в сообщении #196188 писал(а):

Как-то станно Вы выразились: содержит все "свои" элементы. Подразумевается, что для любой совокупности натуральных чисел любое натуральное число автоматически будет "своим"?

Прошлый раз спешил и забыл пояснить. "Свои" для множества те элементы, которые ему принадлежат. В частности, для "любой" совокупности "своими" будут только её элементы.

Так я не понял, каков ответ? Для любой совокупности натуральных чисел любое натуральное число будет "своим" или нет?

Someone писал(а):

Я вижу, что указанное мной множество не является финитным в смысле определения, которое имеется у Кушнера. Термин "конечное множество" у Кушнера не определён. С точки зрения классической математики множество является конечным, хотя, может быть, невозможно ответить на вопрос о числе его элементов (ответ может зависеть от интерпретации арифметики, поэтому не выводиться из аксиом). Боюсь, что Вы понимаете конечность в смысле финитности, а я - в существенно другом. Поэтому каждый из нас прав, просто мы не договорились об определениях.

Так давайте договоримся об определениях. Я понимаю конечность, очевидно, таким же образом, как "финитность" у Кушнера. Тип является конечным, если есть алгоритм, который перечисляет все объекты данного типа и завершается.

Someone писал(а):

Что касается оффтопика, то тема называется "Абстракция актуальной бесконечности" и к закону исключённого третьего имеет более чем отдалённое отношение. Хотя бы потому, что закон исключённого третьего - это логическая аксиома, а указанная в заголовке абстракция не является математическим или логическим утверждением и не играет никакой роли в математике или логике.

В чём, как я полагаю, Вы неправы.

Someone писал(а):

Затем, что кто-нибудь отредактирует статью в Википедии, и Ваша картинка сгинет без следа.

Ну и ладно, через пару недель про этот пост никто и не вспомнит.

Добавлено спустя 42 минуты 22 секунды:

Nxx писал(а):

Цитата:

Я сказал, что в этой теории данное высказывание доказуемо (если применять классическую логику, включающую закон исключённого третьего). Что именно Вы хотели бы возразить?

Если использовать в качестве высказываний логические выражения, не имеющие смысла и что-то из них выводить, то да.

"Смысл" - это философская категория. А мы говорим о математической логике. Есть формально выводимое по правилам классической логики из аксиом теории утверждение, что "у Маши есть муж". Вы принимаете такие правила формального вывода или нет (без всяких философских отступлений про "смысл")? Конструктивный анализ - не принимает, поскольку в его основах заложено, что утверждение о существовании должно предполагать возможность предъявить объект. Поэтому конструктивная логика - другая, и никуда от этого не деться.

[Nxx]

Цитата:

Конструктивный анализ - не принимает, поскольку в его основах заложено, что утверждение о существовании должно предполагать возможность предъявить объект. Поэтому конструктивная логика - другая, и никуда от этого не деться.

Это правильно, но большой разницы между "существует" и "не может не существовать" не вижу. На мой взгляд то, что невозможно предъявить - не существует.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Конструктивный анализ - не принимает, поскольку в его основах заложено, что утверждение о существовании должно предполагать возможность предъявить объект. Поэтому конструктивная логика - другая, и никуда от этого не деться.

Это правильно, но большой разницы между "существует" и "не может не существовать" не вижу. На мой взгляд то, что невозможно предъявить - не существует.

Вот видите, Вы опять высказываетесь не о том, что процитировали. Я же не сказал, что мужа Маши "невозможно предъявить". Если доказано, что объект "невозможно предъявить", то, понятное дело, это и будет означать, что он "не существует". Но это тоже не доказано.

[Alexey Romanov]

Цитата:

"Смысл" - это философская категория. А мы говорим о математической логике. Есть формально выводимое по правилам классической логики из аксиом теории утверждение, что "у Маши есть муж".

Если среди аксиом теории есть утверждение, что у Маши есть возраст. Но (если возраст Маши -- натуральное число) тогда в конструктивной логике это тоже выводится!

Добавлено спустя 3 минуты 42 секунды:

Цитата:

Однако дальнейшее развитие теории (функциональный анализ, гильбертовы и банаховы пространства, линейные топологические пространства) требует уже более сильных версий аксиомы выбора, без которой появляются некоторые "странные" объекты, такие, как линейное пространство, не имеющее базиса, или имеющее два базиса разной мощности.

А с аксиомой выбора появляются такие странные объекты, как множества, неизмеримые по Лебегу.

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Цитата:

Никакие формулы языка ZFC от этого не изменятся, все аксиомы и правила вывода - тоже, так что та или иная интерпретация действительно не имеет значения для формальной теории.

В теории типов (о которой epros говорит) $x \in A$ даже не является высказыванием. Так что изменятся и формулы, и аксиомы. В конструктивной теории множеств формулы не изменятся, зато изменятся аксиомы.

[Nxx]

Цитата:

Если среди аксиом теории есть утверждение, что у Маши есть возраст.

Такая аксиома без указания на то, откуда этот возраст брать, сама по себе, неконструктивна.