Someone писал(а):
И не докажете. Потому что Ваше определение равносильно моему второму, а про первое мне точно известно, что оно второму (следовательно, и Вашему) не равносильно, если нет аксиомы выбора.
Не буду спорить. Тем более, что мне совершенно безразлично чему равносильно моё определение. Вы ведь не утверждаете, что оно бессмысленно?
Someone писал(а):
Вы так старались обойти слово "множество" или какой-нибудь его заменитель...
Слово "множество" меня совершенно не пугает. Хотя иногда я стараюсь его не употреблять, чтобы у собеседника не создавать впечатление, что я говорю об объекте, определённом ZFC или какой-либо аналогичной теоретико-множественной аксиоматикой. Но конечные совокупности объектов можно называть "множествами", почему бы и нет?
Someone писал(а):
В том смысле, что прямо об этом никто не заявил. Вот аксиома бесконечности в теории множеств прямо заявляет, что множество включает всех последователей. Есть такое же прямое утверждение где-то, например, у того же Кушнера?
Что значит - "прямое"?
Вот здесь пример:
Там есть часть формулировки, которая читается так: "Последователь
любого , принадлежащего
, принадлежит
". Это и есть "прямое" заявление о том, что
все последователи минимального элемента включены во множество.
Someone писал(а):
Термины типа "
- множество комплексных чисел" обозначают именно множество
всех объектов указанного типа.
Вы Кушнера внимательно читали? Он далее определяет операции и отношения
на множестве , используя при этом обозначения вида
. Что, по Вашему мнению, у него получилось бы, если бы
включало не все натуральные числа?
Вы в курсе, что высказывания со свободными переменными трактуются так, будто по всем свободным переменным имеются кванторы всеобщности?
Что, по Вашему мнению, означает утверждение
"
каковы бы ни были натуральные числа , , имеет место ",
если не
"
"?
Это всё не имеет отношения к вопросу, ибо является
интерпретациями. Я точно так же могу интерпретировать все эти слова и выражения таким образом, что речь идёт о
конечных множествах, которые "дополняются" по мере необходимости.
Someone писал(а):
Someone писал(а):
epros писал(а):
Я могу говорить о каких-то совокупностях натуральных чисел, даже называть их "множествами" и обозначать специальными буквами. Но это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее их все.
"Их" - это кого? Множества или натуральные числа?
Совокупности натуральных чисел.
Пока никто, кроме Вас, не говорил о множестве совокупностей натуральных чисел.
Я понял так, что Ваш вопрос: "Их" - это кого?, - относился к моему: ... даже называть
их "множествами" и обозначать специальными буквами.
Здесь "их" - это "совокупности натуральных чисел". И я готов называть их "множествами", подразумевая при этом, что речь идёт о конечных совокупностях.
Во втором предложении, естественно, речь шла о натуральных числах. Т.е.: Это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее все натуральные числа.
Someone писал(а):
Я так и не смог понять из Ваших слов, ни что такое "актуальная бесконечность" (не повторяйте, пожалуйста, своё "определение", оно никакой "актуальности" не определяет), ни чем она хуже "потенциальной" (которую тоже следовало бы определить).
Я не говорю что она "хуже". Я говорю, что речь идёт о разных утверждениях, причём одно к другому не сводится. Соответственно, принять одно - конструктивно, а другое - нет.
Someone писал(а):
Пока, вроде бы, прояснилось, что "актуально бесконечное" множество содержит все свои элементы, а "потенциально бесконечное" - не все. Или я Вас не так понял?
Как-то станно Вы выразились: содержит все "свои" элементы. Подразумевается, что для любой совокупности натуральных чисел любое натуральное число автоматически будет "своим"?
Я не верю, что Вы не поняли, о чём я говорю. Совокупности натуральных чисел "существуют", никто против этого не возражает. Мы всегда можем собрать такую совокупность натуральных чисел, в которую войдёт любое заранее заданное число (или даже "все числа меньше него"). Не существует такой
конечной совокупности, которая включала бы
все натуральные числа (это утверждение о потенциальной бесконечности типа натуральных чисел). Но я
не утверждаю, что существует совокупность, включающая все натуральные числа. Заметьте, "не утверждаю" не означает "утверждаю, что это не так".
Someone писал(а):
Мы рассматривали не такой случай, когда очередной шаг перебирающего алгоритма может оказаться неразрешимым. Эту возможность Вы сами домыслили.
Насколько я помню, явно это предположение не формулировалось. В данном случае я хотел на примере конечного множества смоделировать ситуацию, которая более естественно возникает в случае бесконечного множества.
Когда из того, что объектов
конечное количество, делается вывод, что алгоритм проверки
закончится, то это только потому, что предикат
изначально рассматривался как разрешимый для любого
.
Someone писал(а):
Вы исходите из того, что перебирающий "будет ждать" пока не наберётся ровно 100 штук, а поэтому если их меньше, то не дождётся.
Видите ли, по условию известно только, что объектов не более
, поэтому, пока мы
штук не набрали, у нас нет оснований остановить перебор.
Конструктивно доказанное утверждение о конечности некой совокупности объектов автоматически подразумевает, что существует способ определения того, когда наступит этот "конец". Вот если у нас есть неконструктивно заданное "условие", тогда другое дело.
Someone писал(а):
Но очевидно, что разумные условия перебора не могут быть таковыми. Когда перебор закончится и в ящике не останется больше предметов, алгоритм остановится и об этом нам станет известно.
Не почему же "не могут"? Очень легко могут. Представьте себе, что наш "ящик" представляет собой растущий лабиринт...
Если у меня нет гарантий того, что я в любой момент могу определить, что ящик пуст, то я не считаю такие условия перебора объектов в ящике "разумными". Скажем, если мне скажут, что на очередном шаге мне могут просто не открыть ящик, и отправят меня искать ключ в тридесятое царство, то я на таких условиях перебирать предметы в нём не возьмусь.
Someone писал(а):
Почему Вы думаете, что конструктивное доказательство обязательно должно давать точное количество объектов?
Если оно доказывает, что объектов конечное количество, то процедура перебора заведомо конечна, а в её конце мы будем знать и количество объектов (заранее, конечно, можем и не знать). Иначе это просто не есть конструктивное доказательство.
Например, я не знаю, сколько элементов в последовательности Гудстейна, начинающейся с числа 65537. Но я знаю, что их конечное количество, а это значит, что по завершении процедуры, вычисляющей элементы этой последовательности, мы будем это количество знать.
Someone писал(а):
Предположим, что нас интересуют не просто совершенные числа. У нас есть некоторое число
, и нас для каждого
интересует наименьшее совершенное число, которое при делении на
даёт остаток
. Здесь прямо из определения видно, что найти требуется не более
чисел. Какие у Вас гарантии, что их действительно столько найдётся? Чего здесь неконструктивного? (Пример, конечно, условный.)
Здесь у меня нет доказательства того, что найдётся очередное совершеное число, которое при делении на
даст остаток
. Поэтому у меня нет конструктивного доказательства того, что таких чисел конечное количество. Но согласно определению их количество не может быть бесконечным. Вы придумали очередной замечательный пример неснимаемого двойного отрицания.