Абстракция актуальной бесконечности

[Someone]

epros в сообщении #196188 писал(а):

Не буду спорить. Тем более, что мне совершенно безразлично чему равносильно моё определение. Вы ведь не утверждаете, что оно бессмысленно?

Оно не бессмысленно. Оно равносильно определению Дедекинда, которое, видимо, было первым определением бесконечного множества. В то время никакой аксиоматики теории множеств не было, никто за употреблением аксиомы выбора не следил (да и сейчас подавляющее большинство математиков, столкнувшись с построением, требующим аксиомы выбора, даже не заметит её употребления), поэтому определение казалось вполне адекватным. Только много позже выяснилось, что, согласно этому определению, конечным может оказаться множество, в котором можно найти произвольно много элементов. Поэтому по современным понятиям это определение неприемлемо, а правильным является то, которое я сформулировал под номером 1. Именно его можно найти, например, в книгах

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. (Глава III, § 4.)
Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. "Наука", Москва, 1982. (Томас Дж.Йех. Об аксиоме выбора. §§ 6, 8. Здесь явно сформулированного определения нет, но есть "дедекиндово множество действительных чисел, т.е. бесконечное множество, не содержащее счётных подмножеств".)

Распространённость Вашего определения среди тех, кто не занимается профессионально теорией множеств, связана с тем, что обычно "по умолчанию" принимают аксиому выбора, а она делает оба определения равносильными.

epros в сообщении #196188 писал(а):

Вот здесь пример:

Там есть часть формулировки, которая читается так: "Последователь любого $b$, принадлежащего $a$, принадлежит $a$". Это и есть "прямое" заявление о том, что все последователи минимального элемента включены во множество.

Не могли набрать формулу? Зачем нужно было ссылаться на внешний файл?

$\exists a(\varnothing\in a\wedge\forall b(b\in a\to b\cup\{b\}\in a))$

Ну и что? Возьмём утверждение, которое конструктивизмом безусловно принимается: "ноль является натуральным числом, и каждый последователь натурального числа является натуральным числом". Используя множество $\mathscr H$, определённое Кушнером, это утверждение можно записать так:
$0\in\mathscr H\wedge\forall n(n\in \mathscr H\to n|\in\mathscr H)$.
В чём разница?

epros в сообщении #196188 писал(а):

Во втором предложении, естественно, речь шла о натуральных числах. Т.е.: Это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее все натуральные числа.

Зато Кушнер это утверждает. Кушнер прямо определяет $\mathscr H$ как "множество натуральных чисел", а не как "конечное множество, содержащее какие-нибудь натуральные числа". Не забывайте, что он истолковывает множества как свойства, и Ваше утверждение, что $\mathscr H$ содержит не все натуральные числа, означает, что свойство "быть натуральным числом" в действительности таковым не является.

Б.А.Кушнер. Лекции по конструктивному математическому анализу. "Наука", Москва, 1973.

Вообще, у меня такое впечатление, что Вы Кушнера не читали, а, в лучшем случае, бегло листали.

Давайте откроем главу 1, § 3, и прочтём там:

стр. 107 писал(а):

Множество $\mathscr M$ назовём бесконечным, если осуществим арифметически полный алгорифм, перечисляющий без повторений некоторое подмножество $\mathscr M$.
...
Множество $\mathscr M$ назовём финитным, если можно указать такой список $P_0,\ldots,P_n$ его элементов, что всякий элемент $\mathscr M$ совпадает с одним из членов этого списка.
Множество $\mathscr M$ назовём нефинитным, если неверно, что оно финитно. Обратное утверждение, неверное, вообще говоря, для произвольных множеств (таковы иммунные множества; см., например, Мальцев [1]), для перечислимых множеств легко следует из теоремы 2 (и принципа Маркова).

Вы хотели явного указания на бесконечные множества в конструктивном анализе? Ваше желание исполнилось. Как я понимаю, А.И.Мальцев - один из столпов конструктивного анализа. Вы явно хотите быть святее самого Папы римского, о чём я Вам уже писал.

epros в сообщении #196188 писал(а):

Это всё не имеет отношения к вопросу, ибо является интерпретациями. Я точно так же могу интерпретировать все эти слова и выражения таким образом, что речь идёт о конечных множествах, которые "дополняются" по мере необходимости.

Никто не запрещает Вам интерпретировать точно также и ZFC (или GB).

epros в сообщении #196188 писал(а):

Поэтому у меня нет конструктивного доказательства того, что таких чисел конечное количество. Но согласно определению их количество не может быть бесконечным. Вы придумали очередной замечательный пример неснимаемого двойного отрицания.

М-м-м... Может быть. Ладно, этот вопрос закроем, поскольку он здесь offtopic (как, впрочем, и практически вся Ваша дискуссия с Nxx).

[Nxx]

epros писал(а):

Nxx писал(а):

epros писал(а):

Nxx писал(а):

Возраст Маши числом быть не может.

Примем по определению, что "возраст Маши" - это вектор Банахова пространства.

В таком случае и муж - тоже вектор.

Не-ее, муж - это квантовая суперпозиция из мужиков: "полу-Вася, полу-Коля".

Это ведь не я придумал измерять возраст "не числом", а Вы. В моей постановке задачи возраст измерялся натуральным числом лет.

Ну что ж, возраст согласно постановке вашей задачи не может быть и натуральным числом. В зависимости от способа определения натуральных чисел нетрудно показать, что построить возраст маши невозможно.

[Someone]

Pi в сообщении #195963 писал(а):

Ведь до сих пор не установленна не противоричивость аксиом ZFC.

Ещё гораздо хуже. Непротиворечивость арифметики тоже до сих пор не установлена.

Pi в сообщении #195963 писал(а):

И вопиющий пример - Аксиома выбора - ну нет единого мнения, и нет просвета будет ли вообще.

У Вас сильно устаревшие сведения. Дискуссия среди квалифицированных математиков, разбирающихся в этом вопросе, закончилась несколько менее ста лет тому назад. Вопрос решён в пользу аксиомы выбора, ибо совсем без неё математический анализ стал бы достаточно странным. Споры продолжают околоматематические псевдофилософы и неспециалисты, что-то об этом услышавшие. Специалисты занимаются не глупыми спорами, а математическими исследованиями. В том числе, они изучают и теории множеств без аксиомы выбора или с ограниченными вариантами аксиомы выбора (например, для математического анализа, скорее всего, хватило бы аксиомы зависимого выбора). Доказано, что аксиома выбора сама по себе не может быть причиной противоречивости: если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZFC.

[Nxx]

Цитата:

Поэтому по современным понятиям это определение неприемлемо, а правильным является то, которое я сформулировал под номером 1.

Именно определение под номером 1 абсолютно неприемлемо: пользуясь таким определением, можно построить множество, которое имея количество элементов строго меньше некоторого натурального числа, тем не менее, по определению 1, бесконечно.

[Someone]

Nxx в сообщении #196248 писал(а):

Именно определение под номером 1 абсолютно неприемлемо: пользуясь таким определением, можно построить множество, которое имея количество элементов строго меньше некоторого натурального числа, тем не менее, по определению 1, бесконечно.

Предъявите. В ZF. Не в своих фантазиях.

[Nxx]

Someone писал(а):

Nxx в сообщении #196248 писал(а):

Именно определение под номером 1 абсолютно неприемлемо: пользуясь таким определением, можно построить множество, которое имея количество элементов строго меньше некоторого натурального числа, тем не менее, по определению 1, бесконечно.

Предъявите. В ZF. Не в своих фантазиях.

Пример: множество алгоритмов для машины Тьюринга длинной меньше 10 миллионов бит, которые рано или поздно завершают свою работу.

[epros]

Someone писал(а):

Только много позже выяснилось, что, согласно этому определению, конечным может оказаться множество, в котором можно найти произвольно много элементов. Поэтому по современным понятиям это определение неприемлемо, а правильным является то, которое я сформулировал под номером 1.

Это Вы считаете его неприемлемым, потому что с Вашей точки зрения определить "актуальную бесконечность" автоматически означает, что определено и конечное множество. С моей же точки зрения оно приемлемо, а "существование" того, что Вы называете "конечным множеством, в котором можно найти произвольно много элементов", меня совершенно не смущает.

Вы, наверное, полагаете, что если спросите у меня определение конечного множества, то услышите в ответ: "Множество, не являющееся актуальной бесконечностью". Ан нет. Это не классическая двузначная логика. Конечные типы определяются совсем не так.

Someone писал(а):

Не могли набрать формулу? Зачем нужно было ссылаться на внешний файл?

Мог бы, а зачем? Так было быстрее.

Someone писал(а):

$\exists a(\varnothing\in a\wedge\forall b(b\in a\to b\cup\{b\}\in a))$

Ну и что? Возьмём утверждение, которое конструктивизмом безусловно принимается: "ноль является натуральным числом, и каждый последователь натурального числа является натуральным числом". Используя множество $\mathscr H$, определённое Кушнером, это утверждение можно записать так:
$0\in\mathscr H\wedge\forall n(n\in \mathscr H\to n|\in\mathscr H)$.
В чём разница?

Очевидно всего лишь в том, что в последнем случае отсутствует утверждение о существовании такой совокупности объектов. $\mathscr{H}$ является бесконечным перечислимым типом, а не объектом предметной теории.

Someone писал(а):

Не забывайте, что он истолковывает множества как свойства, и Ваше утверждение, что $\mathscr H$ содержит не все натуральные числа, означает, что свойство "быть натуральным числом" в действительности таковым не является.

Против существования свойства "быть натуральным числом" никто не возражает. И то, что это свойство определяет потенциально бесконечный тип, - тоже принято.

Someone писал(а):

Вы хотели явного указания на бесконечные множества в конструктивном анализе? Ваше желание исполнилось. Как я понимаю, А.И.Мальцев - один из столпов конструктивного анализа. Вы явно хотите быть святее самого Папы римского, о чём я Вам уже писал.

Это не те "множества", которыми Вы привыкли оперировать в рамках теории множеств. Против потенциально бесконечных типов нет возражений, но они не могут "существовать" в том же смысле, в котором существуют объекты предметной теории, относящиеся к соответствующим типам. (Я намеренно не следую терминологии Мальцева и употребляю термин "тип" вместо термина "множество", чтобы не возникало путаницы с объектами, определяемыми теорией множеств).

Someone писал(а):

Никто не запрещает Вам интерпретировать точно также и ZFC (или GB).

Не получится. ZFC, используемая в качестве предметной теории, определяет такой объект, как "минимальное индуктивное множество" $\omega_0$, который может подставляться в качестве значения предметных переменных и т.п. Так что от утверждения об актуальном существовании бесконечности никуда не деться.

Someone писал(а):

epros в сообщении #196188 писал(а):

Поэтому у меня нет конструктивного доказательства того, что таких чисел конечное количество. Но согласно определению их количество не может быть бесконечным. Вы придумали очередной замечательный пример неснимаемого двойного отрицания.

М-м-м... Может быть. Ладно, этот вопрос закроем, поскольку он здесь offtopic (как, впрочем, и практически вся Ваша дискуссия с Nxx).

И зря, между прочим, закрываете. Ибо во-первых, это не офтопик, поскольку вопрос о законе исключённого третьего был поставлен уже при открытии темы. Во-вторых, он очень тесно связан определениями конечных и бесконечных типов: Вы здесь привели пример определения типа, про который доказано, что он не может быть бесконечным, но не доказано, что он конечный.

[Pi]

Someone писал(а):

Pi в сообщении #195963 писал(а):

И вопиющий пример - Аксиома выбора - ну нет единого мнения, и нет просвета будет ли вообще.

они изучают и теории множеств без аксиомы выбора или с ограниченными вариантами аксиомы выбора (например, для математического анализа, скорее всего, хватило бы аксиомы зависимого выбора). Доказано, что аксиома выбора сама по себе не может быть причиной противоречивости: если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZFC.

Вот про это я и сказал. Какая аксиома выбора достаточна и нужна ли она вообще, мнения расходятся. То что она не противоричит ничему это и так понятно.
Не доказанно что без аксиомы выбора можно обойтись. То есть что она необходима для теории множеств. В этом то и есть отсутствие единого мнения.

[epros]

Nxx писал(а):

Ну что ж, возраст согласно постановке вашей задачи не может быть и натуральным числом.

По-моему, Вы говорите ерунду.

[Nxx]

epros писал(а):

Nxx писал(а):

Ну что ж, возраст согласно постановке вашей задачи не может быть и натуральным числом.

По-моему, Вы говорите ерунду.

Натуральное число - это такое число, которое можно получить из единицы, увеличивая ее на 1. Возраст Маши вы не получите таким образом.

[Pi]

Ну во-первых не определенно понятие "муж".
Поэтому, определение понятия муж ={Вася,Коля} ничем не хуже других.
Поэтому мы можем сказать что верно как и
Маша имеет мужа (или Вася или Коля)
так и
Маша имеет {Вася,Коля}
Во-вторых мы можем сказать что
Возраст Маши не определен (нет числа)
так и
Возраст Маши определен в диапазоне [20;30] (равнозначно числу)

Все эти утверждения равнозначны.
Потому-что понятие определенности это внешнее по отношению к высказыванию понятия. В математике мы всегда пишем "Пусть дано A со свойтвами ... и $a\in A$], тогда верно высказывание ...".

Поэтому спор выеденного яйца не стоит, каждый из вас доопределил в голове эти понятия как ему показалось. И все расхождения отсюда.
Просто надо всегда смотреть что все понятия определенны строго, и нет разночтений.

Ранее было правильно замеченно что определение бесконечного множества зависит от аксиоматики, то есть от внешнего определения по отношению к высказыванию что такое "бесконечное множество".

[epros]

Pi писал(а):

Ну во-первых не определенно понятие "муж".
Поэтому, определение понятия муж ={Вася,Коля} ничем не хуже других.

Определено, что мужем может быть Коля. Определено, что мужем может быть Вася. Про суперпозицию Коли с Васей ничего не сказано.

Pi писал(а):

Поэтому спор выеденного яйца не стоит, каждый из вас доопределил в голове эти понятия как ему показалось. И все расхождения отсюда.
Просто надо всегда смотреть что все понятия определенны строго, и нет разночтений.

Всё, что должно быть определено, про то сказано в постановке задачи. Разве что понятия о числах, в которых описывается возраст Маши, ссылаются на стандартную арифметику. Так что не надо ничего "доопределять в голове".

[Pi]

epros писал(а):

Pi писал(а):

Ну во-первых не определенно понятие "муж".
Поэтому, определение понятия муж ={Вася,Коля} ничем не хуже других.

Определено, что мужем может быть Коля. Определено, что мужем может быть Вася. Про суперпозицию Коли с Васей ничего не сказано.

Pi писал(а):

Поэтому спор выеденного яйца не стоит, каждый из вас доопределил в голове эти понятия как ему показалось. И все расхождения отсюда.
Просто надо всегда смотреть что все понятия определенны строго, и нет разночтений.

Всё, что должно быть определено, про то сказано в постановке задачи. Разве что понятия о числах, в которых описывается возраст Маши, ссылаются на стандартную арифметику. Так что не надо ничего "доопределять в голове".

А вот это субъективное мнение. Я вижу что нет. Потому-что муж есть отдельное понятие от васи и коли. и тд. Можно сказать что это не так, но это надо строго определить.

Еще раз скажу что я не вижу никаких припятсвий к использованию "множественной" логики. Не видел ее и Льюис Кэрролл, то что она не стала традиционной, так это потому-что в 19 веке все классики страшно боялись неоднозначных функций. А мы нет.
Она непротиворечивая альтернативная логика более высокого порядка, чем традиционная.

[epros]

Pi писал(а):

муж есть отдельное понятие от васи и коли. и тд. Можно сказать что это не так, но это надо строго определить.

По-моему, Вы какое-то словоблудие разводите. Понятно, что фразу "Маша вышла замуж за Колю" в логике первого порядка можно формально записать соответствующим предикатом с двумя соответствующими аргументами. Что ещё Вам нужно "определить"?

[Pi]

epros писал(а):

Pi писал(а):

муж есть отдельное понятие от васи и коли. и тд. Можно сказать что это не так, но это надо строго определить.

По-моему, Вы какое-то словоблудие разводите. Понятно, что фразу "Маша вышла замуж за Колю" в логике первого порядка можно формально записать соответствующим предикатом с двумя соответствующими аргументами. Что ещё Вам нужно "определить"?

Что такое муж? А может у нас многомужество разрешенно
Потому-что мы можем выразить все это словами
Маша в возрасте [20;30] лет имеет {Вася, Коля}.
И это не противоричиво!
Возраст в годах это тоже диапазон 20 = [20.0...;20.999...) лет.

Согласен, что вашь взгляд естественнен для традиционной логики и вы уж очень сильно лично к ней привязанны, но топик то про возможность непротиворичивой нетрадиционной логики! Так вот я и показал что она так же возможна, и естественна, все дело в привычке.
Вы читаете между строк по привычке свои определения, а вот человек у которого нет этой привычки может прочесть это и по другому.

Кстати, возвращаясь к логике Льюиса Кэррола у него есть по существу есть, в современных обозначениях, терм

$$\frac {\{x,y\}} 2$$

. Понятно что он значит " любое из". Я даже не хочу обсуждать правильно это, или нет, поскольку, в этом нет смысла. Это возможно, это непротиворичиво, это может быть полезно, и этого достаточно.