2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 33  След.
 
 
Сообщение03.03.2009, 23:23 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Коровьев в сообщении #191387 писал(а):
То, чем вы Мат занисаетесь называется "Захват темы", что крайне неэтично по отношению к автору темы/а попросту хамством/, поскольку забивает постами, абсолютно не связанными с темой, саму тему.
Есди вам нечего сказать по поводу последних выводов Petern1, то лучше помолчите.

 !  Коровьев,
Оставьте модерирование модераторам. Свои замечания автору или модераторам вы всегда можете высказать в ЛС или в Работе форума.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Вот нашёл парочку простых чисел вида $12k+1$
$277=9^2+14^2$ и $313=12^2+13^2$,
которые не представимы формулой Petern1 для суммы квадратов этих чисел.
*****
Вообще, найти целочисленные решения неопределённого уравнения $ A^2  - AB + B^2  = C^2  + D^2  $ достаточно легко, ибо оно есть равенство норм двух чисел двух квадратичных полей
$N(A+ \eta B)=N(C+jD)$
где
$\eta ^2  + \eta  + 1 = 0,$
$j=\sqrt { - 1}, $
В свою очередь эти числа есть числа поля четвёртой степени с базисом $(1,  \eta ,j,  \eta j)$
$ \alpha _1  = x + \eta y + jz + j\eta t $
с изоморфизмами
$\bar \alpha _1  = x + \eta y - jz - j\eta t $
$ \alpha _2  = x + \eta ^2 y + jz + j\eta ^2 t $
$\bar \alpha _2  = x + \eta ^2 y - jz - j\eta ^2 t$
и нормой
$N( \alpha  )= \alpha _1 \bar \alpha _1 \alpha _2 \bar \alpha _2 $
1.Имеем
$ \alpha _1 \bar \alpha _1  = (x^2  + z^2  - y^2  - t^2 ) + \eta (2xy + 2zt - y^2  - t^2 ) = A + \eta B $
$\alpha _2 \bar \alpha _2  = A + \eta ^2 B$
$N(\alpha ) = (A + \eta B)(A + \eta ^2 B) = A^2  - AB + B^2  $
2. С другой стороны
$\alpha _1 \alpha _2  = (x^2  - xy + y^2  - z^2  + zt - t^2 ) + j(2xz + 2yt - xt - yz) = C + jD$
$ \bar \alpha _1 \bar \alpha _2  = C - jD $
$ N(\alpha ) =(C + jD)(C - jD) = C^2  + D^2 $
3. Окончательно, получили тождество
$ A^2  - AB + B^2  = C^2  + D^2 $
$ A = x^2  + z^2  - y^2  - t^2$
$B = 2xy + 2zt - y^2  - t^2  $
$C = x^2  - xy + y^2  - z^2  + zt - t^2 $
$D = 2xz + 2yt - xt - yz $
*****
Это решение исчерпывает, вероятно, все целочисленные решения исходного уравнения.
Чтобы доказать это, надо доказать, что любое простое $p=12k+1$ есть норма некого целого числа $\alpha$
$N( a + \eta b + jc + j\eta d )=p$
Что я пока не вижу, как сделать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 19:51 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Коровьев писал(а):
Это решение исчерпывает, вероятно, все целочисленные решения исходного уравнения.
Чтобы доказать это, надо доказать, что любое простое $p=12k+1$ есть норма некого целого числа $\alpha$
$N( a + \eta b + jc + j\eta d )=p$
Что я пока не вижу, как сделать.

Действительно, вы правы, всякое простое число $6k+1$ представимо как $a^2-ab+b^2$ причем двумя способами. Но насчет доказательства мне придется помолчать, не могу же я нарушить вашу просьбу выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 21:05 


06/12/08
115
maxal

Ваши сообщения об уравнении $x^2+k=y^3$ , о кривых Морделла, об алгоритмах свидетельствуют о том, что Вы весьма сведущи в этой проблеме. В связи с этим убедительно прошу, если это Вас сильно не затруднит, просветить некоторые вопросы.
Правильно ли я понимаю, что разработанными алгоритмами можно вычислить все целочисленные решения этого ур—ния. Так, что задавшись $y=5$ можно получить $1^2+124=5^3,  2^2+121=5^3,  3^2+116=5^3….9^2+44=5^3….11^2+4=5^3$. И так для любого $y$ вплоть до $y=10000$?
Второй вопрос. Позволяют ли алгоритмы определять, вычисляемые числа $k$ являются единственными, или они будут повторяться при других $x  ,  y$ , и сколько раз?
Третий вопрс. В этом ур—нии представляет интерес уметь находить наибольший квадрат и наименьшее $k$, которые в сумме равны кубу. Именно так я понял эту теорему. Так вот позваляют ли алгоритмы определять, какое из вычисленных $k$ является наименьшим?
Буду чрезвычайно благодарен. С уважением Petern1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 22:18 


06/12/08
115
Ответ Коровьеву.

Благодарен Вам за два числа 277 и 313. С числом 277 Вы видимо ошиблись. Оно подчинено формулам. Возмите
$l_1=2 , l_2=2 , t=3$ и Вы по формулам вычислите
$b_1=12 , b_2=7 , c=14 , d=9 , a=19$
$19^2-19*7+7^2=14^2+9^2$
С числом же 313 Вы правы. Оно не желает подчиниться формулам. И такие числа должны быть еще. Продолжим работу с надеждой на то, что и эти числа заставим слушаться.
С уважением Petern1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2009, 01:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Petern1 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что разработанными алгоритмами можно вычислить все целочисленные решения этого ур—ния. Так, что задавшись $y=5$ можно получить $1^2+124=5^3,  2^2+121=5^3,  3^2+116=5^3….9^2+44=5^3….11^2+4=5^3$. И так для любого $y$ вплоть до $y=10000$?
Второй вопрос. Позволяют ли алгоритмы определять, вычисляемые числа $k$ являются единственными, или они будут повторяться при других $x  ,  y$ , и сколько раз?
Третий вопрс. В этом ур—нии представляет интерес уметь находить наибольший квадрат и наименьшее $k$, которые в сумме равны кубу. Именно так я понял эту теорему. Так вот позваляют ли алгоритмы определять, какое из вычисленных $k$ является наименьшим?

Говоря о кривых Морделла и целых точках на них, я имел в виду прежде всего решение диофантова уравнения $x^2+k=y^3$ относительно $x,y$ при фиксированном $k$.

Говоря "задавшись $y=\dots$" вы, видимо имеете в виду решение уравнения $x^2+k=y^3$ относительно $x,k$ при заданном $y$. Это совсем другая и куда более простая задача. Все ее решения в неотрицательных целых числах задаются в параметрической форме:
$$\begin{cases}
x = t\\
k = y^3 - t^2
\end{cases}
$$
где параметр $t$ пробегает значения от $0$ до $\lfloor y^{3/2}\rfloor$.

Ваш второй вопрос по сути о числе представлений числа $k$ в виде $y^3 - x^2$. Аналитического решения я не знаю, но зато алгоритмическое следует из аппарата эллиптических кривых. Число представлений - это по сути число целых точек на соответствующей кривой Морделла.

Ответ на третий вопрос тривиально следует из ответа на первый вопрос: наибольший $x$ равен $\lfloor y^{3/2}\rfloor$, а соответствующее ему (наименьшее) $k$ равно $y^3 - \lfloor y^{3/2}\rfloor^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2009, 01:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Звезды уж так сложились, внимательнейшим образом изучил сегодня уравнение Морделла $x^2+2=p^3$ и не скрою своего желания похвастаться, что решить мне его все-таки удалось! :lol: (все-таки не удалось - ред. позже).
Пока новый метод хоть и сыроват, чтобы понять и оценить всю его красоту предлагаю всем желающим два уравнения или задачи, которые мне удалось решить удивительнейшим способом:
$1.$ Доказать, что уравнение $4(a^2+b^2)=k^2+3$ имеет единственное решение.
$2.$ Доказать, что уравнение $48t+1=u^2$ имеет также единственное решение!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2009, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Мат в сообщении #192213 писал(а):
$1.$ Доказать, что уравнение $4(a^2+b^2)=k^2+3$ имеет единственное решение.


$(a,b,k)=(2,3,7),(3,8,17),(4,15,31),(5,24,49),(6,11,25),(6,35,71),\ldots$

Мат в сообщении #192213 писал(а):
$2.$ Доказать, что уравнение $48t+1=u^2$ имеет также единственное решение!


$(u,t)=(7,1),(17,6),(23,11),(25,13),(31,20),(41,35),\ldots$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2009, 01:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Мат
Во-первых, частные случаи кривых Морделла разбирались в этой теме:
http://dxdy.ru/topic6188.html

Во-вторых, формулируйте четче относительно чего нужно решать уравнения.
Мат в сообщении #192213 писал(а):
$1.$ Доказать, что уравнение $4(a^2+b^2)=k^2+3$ имеет единственное решение.

Подозреваю, что решать надо относительно $a,b$. Но в любом случае утверждение неверно. Наример, для $k=9$ оно вообще не имеет решений, а для $k=71$ имеет 2 решения (с точностью до порядка следования $a,b$): $(a,b)=(6,35)$ и $(a,b)=(19,30)$.
Мат в сообщении #192213 писал(а):
$2.$ Доказать, что уравнение $48k+1=u^2$ имеет также единственное решение!

Это вообще бессмысленно выглядит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2009, 02:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Верно, напутал, мои извинения.
Правильное частное решение второго уравнения:
$48t+1=u^2$
$u=48k\pm7$
Одним из частных решений первого уравнения
$4(a^2+b^2)=k^2+3$ является:
$a=(4p^2-1), b=2p, k=(8p^2-1)$
$4((4p^2-1)^2+(2p)^2)=(8p^2-1)^2+3$
Нахождение общего решения трудоемко и не имеет никакой практической пользы для темы, поэтому я не стал этим заниматься.
К сожалению для доказательства единственности необходимы все решения данного уравнения, чтобы последовательно доказать, что ни одно из них не годится для решения уравнения Морделла, поэтому данный способ решения уравнения Морделла трудоемок и малопригоден.
P.S.
Жаль а метод был очень красив.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2009, 11:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Для общего решения уравнения:
$4(a^2+b^2)=k^2+3$ потребовалось решить уравнение:
$a^2+b^2=c^2+3d^2$ которое очень похоже на уравнение
$a^2+b^2=m^2-mn+n^2$, которое решили Коровьев и Petern1. Тем более, если заменить $m+n=c$, $mn=d$. :lol:
Удивительная связь между уравнением Морделла $x^2+2=p^3$ и предыдущим $$\frac{a^5+b^5}{a+b}=m^2$$, не так ли?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2009, 21:14 


06/12/08
115
КОРОВЬЕВ

Ваше число 313 так же вычисляется по предложенным мною формулам. Возмите $l_1=-3 , l_2=9 , t=9$, подставте в формулы и Вы получите $a=19 , b_1=16 , b_2=3 , c=13 , d=12$. Я так же малость поспешил, и мне показалось, что это число не желает подчиниться формулам. Но как видите с формулами пока порядок. Конечно, не плохо бы было опробировать формулы на большом количестве чисел. Но где их взять.
Посмотрел я так же и Ваши формулы. И, наверно, я что-то не понимаю. Ведь достаточно взять числа $x=4,y=3,z=2,t=1$, подставить в Ваши формулы, и результат не стыкуется. Возможно здесь должны быть какие-нибудь оговорки. Поясните пожалуста?
И позвольте поздравить близких к Вам женщин с праздником, пожелать им здоровья, благополучия, взаимопонимания!
С уважением Petern1

Добавлено спустя 31 минуту:

МАТ и MAXAL

Уважаемые Мат и maxal , сильно, сильно благодарен вам за вашу быструю, интенсивную работу. Но давайте завтра передохнем. Большой праздник. И позвольте поздравить ваших женщин с этим светлым праздником , пожелать им всего самого наилучшего! Petern1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2009, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Petern1 в сообщении #192815 писал(а):
Посмотрел я так же и Ваши формулы. И, наверно, я что-то не понимаю. Ведь достаточно взять числа , подставить в Ваши формулы, и результат не стыкуется. Возможно здесь должны быть какие-нибудь оговорки. Поясните пожалуста?

У меня опять описка. В самом выводе правильно, а в сводке результатов напорол. Исправил.
*****
Теперь. Описываемые алгебраические числа принадлежат полю четвёртого порядка, являющимся объединением двух квадратичных полей. Для описания всех его элементов необходимо и достаточно четыре независимых переменных.
Три независимых переменных не могут описать все эти числа.
Это аналогично тому, что, к примеру, все целочисленные точки трёхмерного евклидового пространства, требующие три независимые переменные, мы смогли бы описать с помощью двух независимых переменных.
Искать же числовое опровержение слишком муторно. Но оно должно быть. Иначе это переворот в математике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2009, 22:38 


06/12/08
115
Коровьев.

Относительно трехмерного евклидова пространства Вы сказали четко, понятно, бесспорно. Поэтому я упорно занялся поиском 4-го параметра, который должен быть в формулах вычисления чисел удовлетворяющих равенству
$b_1^2+b_1b_2+b_2^2=c^2+d^2$ и не нашел. Формулы с тремя переменными работают (если можно так выражаться).Произвел проверку на 20 числах подряд, без пропусков, начиная с 13 и кончая 601. Формулы не дали ни одной ошибки. Все-таки это серьезная заявка на их достоверность. Да и вывод формул, именно поднаготная вывода, говорит об этом.
С другой стороны Вы уверенно утверждаете, что опровержение этим формулам должно быть. Как же его найти?
Суважением Petern1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 23:50 


06/12/08
115
МАТ

В сообщении от 06. 03. 09 писал

«…внимательнейшим образом изучил сегодня уравнение Морделла $x^2+2=p^3$ и не скрою своего желания сказать, что решить мне его все-таки удалось! (все-таки не удалось---ред. позже).»

Уважаемый Мат, это равенство записанное в таком виде
$x^2+2=y^3$, на мой взгляд, следует называть теорема Ферма, а не уравнение Морделла. Так как именно Ферма впервые выдвинул ее перед людьми этак лет за 300 до Морделла. В общей записи $x^2+k=y^3$ за ним закрепилось название ур-ие Морделла. Но это так, между прочим.
Из ирформации, которую дал maxal, можно сказать, что это уравнение упорно не потдавалось решению. И математика пошла по другому пути: были разработаны алгоритмы вычисления $x  ,  y$ по заданному $k$. Но алгоритмы могут дать ответ что может быть, и не могут дать ответ чего быть не может. Так если алгоритмы вычислили, что при $k=2 , x=5, y=3$ и другие $x,y$ не вычисляются, то является ли это доказательством того, что других $x,y$ не существует? Предполагаю, что для $k=3$, алгоритмическим методом $x,y$ не обнаруживаются . Является ли это доказательством того, что их нет? Поясните пожалуйста maxal, и кто еще сведущие в этих вопросах.
Предлагаю на рассмотрение свое доказательство для $k=5$.
Невозможно среди целых чисел найти такой
квадрат, к которому если прибавить 5 полу-
чился бы куб.
Но предположим, что такое равенство возможно. Тогда запишем $x^2 +5=y^3,  x^2+5=k^3+3k^2+3k+1,  x^2+2^2=k(k^2+3k+3)$. Слева сумма квадратов, справа произведение, значит слева должно быть произведение двух сумм квадратов (доказано Эйлером). Тогда запишем
$(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=x^2+2^2=k(k^2+3k+3)$. Положим $k=a_1^2+b_1^2$, тогда
$$k^2+3k+3=a_2^2+b_2^2,   (k+1)^2+k+2=a_2^2+b_2^2,  k+1=a_2,  k+2=b_2^2,  a_1^2+b_1^2+2=b_2^2,  a_1^2+b_1^2+1=(b_2-1)(b_2+1)$$. Это равенство требует, чтобы $b_1^2+1=2a_1$.
Тогда $$a_1^2+2a_1=a_1(a_1+2)=(b_2-1)(b_2+1).   a_1=b_2-1,  b_2=a_1+1$$. Но $2a_1=b_1^2+1,   a_1=(b_1^2+1)$ деленное на 2.(у меня не получается записать дробь, извините) Тогда
$b_2=a_1+1=(b_1^2+3).$ деленное на 2
$a_2=k+1=a_1^2+b_1^2+1=(b_1^4+6b_1^2+5)$. Деленное на 4. И так числа $a_1,a_2,b_2$ точно определяются числом $b_1$. А теперь вспомним о формулах умножения сумм квадратов
$a=a_1a_2+b_1b_2$
$b=a_2b_1-a_1b_2$. Здесь $b$ должно быть равно 2 . Подставим значения чисел $a_1,a_2,b_2$
$(b_1^4+6b_1^26+5)*b_1$ деленное на 4, минус
$(b_1^2+1)* (b_1^2+3)$ деленное на 4. И эта разность должна быть равна 2 . Освободившись от знаменателя будем иметь
$b_1^5+6b_1^3+5b_1-(b_1^4+4b_1^2+3)=8$. Легко проверить: $b_1=0 ,  b=-3$
$b_1=1 ,  b=4$
$b_1=2 , b=55$. И так при любых $b_1$ разность, число $b$, не равно $8$. Это равенство не возможно, поэтому не возможно и равенство
$x^2+5=y^3$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 489 ]  На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 33  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group