Задача Куратовского

[sartr14]

Задача Куратовского: указать на прямой (со стандартной метрикой) такое множество А, что с помощью операций замыкания, дополнения и взятия внутренности (объединение всех открытых множеств, содержащихся в данном множестве), применённых к этому множеству, можно получить 14 различных множеств.

Я пока добрался только до 11 множеств. Пример: $A = B \bigcup C$, где $B$ - множество точек вида $\left\{1/n\right\}, n= 1..\infty$, $C$- множество рациональных чисел на орезке [2,3] (на самом деле вместо множества рациональных чисел можно взять любое счётное всюду плотное множество на [2,3]).

Если кто знает ответ -- попрошу его (ответ, в смысле) не писать. Только на уровне идеи, что-нибудь.

[Хорхе]

Вы взяли множество с пустой внутренностью, чем сразу ограничили возможности примера.

[sartr14]

Цитата:

Вы взяли множество с пустой внутренностью, чем сразу ограничили возможности примера.

Да, но хотелось выбрать такое множество, чтобы его внутренность и замыкание не совпадали с ним самим, так как С(С(А))=А - выполняется всегда. Притом в качестве дополнения к внутренности получаем всё простанство.

[Someone]

У Вас $A$ и его дополнение в некотором смысле не симметричны; например, одно имеет внутренние точки, другое - нет; одно имеет точки "нигде не плотности", другое - нет.

P.S. Обратите внимание на надпись наверху страницы (над названием темы) и не нарушайте правила. Пока не поздно, исправьте запись формул. Инструкция - в темах http://dxdy.ru/topic8355.html (краткая) и http://dxdy.ru/topic183.html (более подробная). Иначе сейчас появится кто-нибудь из модераторов и перенесёт тему в "Карантин".

[sartr14]

Уже исправил, спасибо!

[id]

Я бы еще поэкспериментировал с добавлением множеств вида $[\alpha,\beta) \bigcup (\beta, \gamma)$.