2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача Куратовского
Сообщение21.02.2009, 21:30 
Задача Куратовского: указать на прямой (со стандартной метрикой) такое множество А, что с помощью операций замыкания, дополнения и взятия внутренности (объединение всех открытых множеств, содержащихся в данном множестве), применённых к этому множеству, можно получить 14 различных множеств.

Я пока добрался только до 11 множеств. Пример: $A = B \bigcup C$, где $B$ - множество точек вида $\left\{1/n\right\}, n= 1..\infty$, $C$- множество рациональных чисел на орезке [2,3] (на самом деле вместо множества рациональных чисел можно взять любое счётное всюду плотное множество на [2,3]).

Если кто знает ответ -- попрошу его (ответ, в смысле) не писать. Только на уровне идеи, что-нибудь.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:41 
Аватара пользователя
Вы взяли множество с пустой внутренностью, чем сразу ограничили возможности примера.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:46 
Цитата:
Вы взяли множество с пустой внутренностью, чем сразу ограничили возможности примера.


Да, но хотелось выбрать такое множество, чтобы его внутренность и замыкание не совпадали с ним самим, так как С(С(А))=А - выполняется всегда. Притом в качестве дополнения к внутренности получаем всё простанство.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:57 
Аватара пользователя
У Вас $A$ и его дополнение в некотором смысле не симметричны; например, одно имеет внутренние точки, другое - нет; одно имеет точки "нигде не плотности", другое - нет.

P.S. Обратите внимание на надпись наверху страницы (над названием темы) и не нарушайте правила. Пока не поздно, исправьте запись формул. Инструкция - в темах http://dxdy.ru/topic8355.html (краткая) и http://dxdy.ru/topic183.html (более подробная). Иначе сейчас появится кто-нибудь из модераторов и перенесёт тему в "Карантин".

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:30 
Уже исправил, спасибо!

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 08:45 
Я бы еще поэкспериментировал с добавлением множеств вида $[\alpha,\beta) \bigcup (\beta, \gamma)$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group