Фундаментальные свойства степеней

[maxal]

В общем виде результат выглядит так:

Пусть рациональная точка $(x,y)=(x_0,y_0)$ лежит кривой:

$$y^2 = x^3 - \frac{85}{3} x + \frac{1550}{27}$$

Рассмотрим рациональное число $\frac{3y_0}{20-6x_0}=\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ - это целые взаимно-простые числа, являющиеся соответственно числителем и знаменателем этого рационального числа.
Тогда $(a,b)=(p^2 - 3q^2,2q^2)$, если одно из $p$ и $q$ четно, или $(a,b)=(\frac{p^2 - 3q^2}{2},q^2)$, если оба $p$ и $q$ нечетны, являются взаимно-простыми решениями системы:

$$\begin{cases} 4a^2-b^2+2ab=\Box\\ 2ab+3b^2=\Box\end{cases}$$

Группа рациональных точек указанной кривой имеет ранг 1 с генератором $P=(-\frac{5}{3},10)$, а подгруппа кручения состоит из $Q=(\frac{10}3, 0)$ и $2Q=E$.

Решения $(a,b)$ и соответствующие им решения $\frac{x^5+y^5}{x+y}=z^2$ получаются из кратных $kP$ (точку $Q$ можно не учитывать - ее прибавление дает те же решения) такие:

k=1: [a,b]=[-1, 1] [x,y]=[1, 0] z=1
k=2: [a,b]=[1, 2] [x,y]=[3, -1] z=11
k=3: [a,b]=[-13, 9] [x,y]=[11, 8] z=101
k=4: [a,b]=[73, 32] [x,y]=[123, 35] z=13361
k=5: [a,b]=[-997, 1225] [x,y]=[808, -627] z=1169341
k=6: [a,b]=[31057, 6498] [x,y]=[43993, 20965] z=1612186411
k=7: [a,b]=[-1547593, 1151329] [x,y]=[1404304, 761577] z=1624763543401
k=8: [a,b]=[33525409, 96660608] [x,y]=[113095273, -72676071] z=20188985439712961
k=9: [a,b]=[-16526403961, 14720726241] [x,y]=[16258517264, 3470319335] z=240020196429554642201
k=10: [a,b]=[5267046686449, 134924540450] [x,y]=[5907678749271, 4692803610731] z=29891946989942513908518251

Из этого списка, например, следует, что

$$\frac{43993^5 + 20965^5}{43993 + 20965} = 1612186411^2.$$

[Мат]

Удивительно!
maxal
Ваши решения меня вдохновили и я решил рассмотреть уравнение кубов:

$$\frac{x^5+y^5}{x+y}=p^3$$

и вот что у меня вышло:

$$x=\frac{\sqrt{4a^3+60ab^2-30a^2b-50b^3}+\sqrt{6a^2b+10b^3}}{2}$$

$$y=\frac{\sqrt{4a^3+60ab^2-30a^2b-50b^3}-\sqrt{6a^2b+10b^3}}{2}$$

Т.е.

$$\begin{cases} 4a^3+60ab^2-30a^2b-50b^3=p^2\\ 6a^2b+10b^3=q^2\end{cases}$$

Есть также три другие условия (полное решение), но они более громоздки, думаю можно ограничиться и этим.
К сожалению решений у меня нет. Может быть вы попробуете?

[maxal]

Petern1
Рекомендую вам ознакомиться с книгой Серпинского "О решении уравнений в целых числах": http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm
Там вы найдете много результатов о решении диофантовых уравнений, в том числе и тех, которые вы указали в исходном сообщении.

[maxal]

Мат
Систему вряд ли удастся решить, если она неоднородная и степени выше 2, и уж точно не общем виде.

[Мат]

В пределах 10000 единственная пара чисел, удовлетворяющая первому уравнению:
$a=9025$
$b=552$
Я уверен, что и система также решается. Только в гораздо более старших числах.

[Petern1]

Сообщение MatУ

Уважаемый Мат, я не потерялся. Упорно работаю над задачей
$A_5=z^2$. Пока плохо. Petern1.

[Petern1]

Уважаемый Mат! Две недели упорного труда завершились кой-каким результатом и я немедленно спешу сообщить Вам об этом. В начале я, как и Вы, пытался решить задачу через квадратное уравнение. Но увы, в конце получалось так, что надо методом проб и ошибок подбирать $a,b$ такие, чтобы под корнем был квадрат. Не годиться.
В последнем сообщении я писал, что числа $A_5$ можно представить
$A_5=(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)-a^2b^2$. Предполагаем, что
$(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)-a^2b^2=z_2$ И запишем
$(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)=z^2+a^2b^2$. Это равенство обязывает неполный квадрат разности (обозначим его $A_3$) быть суммой квадратов. И вот возникла попутная, совершенно самостоятельная!!! задача: найти способ вычисления $a,b$ , таких, при которых $A_3$ равна сумме квадратов. О числах $A_3$ мы с Вами знаем, что они могут быть равны квадрату, кубу и любой степени и мы с Вами имеем точные формулы вычисления таких $a,b$ , при которых $A_3$ равна степени (см. первую стр. нашей темы П3.) . Здесь же надо
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$. И вот такие формулы я получил:
$a=6l^2+4lt+t^2$ деленное на $t$ (я не знаю как передать дробь)
$b_1=6l^2+2lt$ деленное на $t$
$b_2=2l+t$
$c=6l^2+3lt$ деленное на $t$
$d=3l+t$ В трехчлен подставим значения $a, b_1$ из этих формул. (Только числители)

$$a^2=36l^4+48l^3t+28l^2t^2+8lt^3+t^4$$

$-ab_1=-36l^4-36l^3t-14l^2t^2-2lt^3$
$b^2=36l^4+24l^3t+4l^2t^2$. Сумма их
$36l^4+36l^3t+18l^2t^2+6lt^3+t^4$
$c^2=36l^4+36l^3t+9l^2t^2$
$d^2=9l^2t^2+6lt^3+t^4$ Сумма
$c^2+d^2=36l^4+36l^3t+18l^2t^2+6lt^3+t^4$ Видим--- суммы равны.
Подставляя в полученные формулы любые $l,t$ , мы будем вычислять такие $a,b_1,b_2$, при которых $A_3$ будет равно сумме квадратов. Важно заметить, что будут получаться целые числа, дроби и даже иррациональные числа. Не трудно понять, что целые числа будут при $t=1,t=2,t=3,t=6$. А также при
$l=l_1t$ Суммы чисел
$a+b_1=12l^2+6lt+t^2$, деленное на $t$
$a+b_2=6l^2+6lt+2t^2$, деленное на $t$
Если теперь мы сможем доказать, что числители сумм не могут быть равны квадратам, то мы тем самым докажем, что
$a^5+b^5$ не может быть равна квадрату для таких чисел $a.b$, которые вычисляются по приведенным формулам. И этого мы достигаем не исследуя числа $A_5$. По мойму замачиво.
Уважаемый Мат, я здесь не показал как получились формулы. В общем-то это не безинтересно и если Вы пожелаете, я с удовольствием изложу. Жду Ваших суждений.
Petern1.

[Коровьев]

Petern1 в сообщении #188135 писал(а):

Сообщение МАТУ.

В нижнем левом углу сообщения любого участника есть кнопочка-иконка ЛС - Личное Сообщение. На неё можно кликнуть мышкой и вы войдёте в область личных сообщений, видимых тока вам двоим. Это раз.
Написав в своём сообщении "Сообщение МАТУ." вы ставите участников в неловкое положение. Вы им открытым текстом сообщаете, мол это не вам, не вмешиваётесь, у нас, мол, свои дела. Это два.
И наконец, три.
Если вы это поняли, то уберите это сообщение или адресацию сообщения.

[Мат]

Petern1 писал(а):

И вот такие формулы я получил:

$$a=\frac{6l^2+4lt+t^2}{t}$$

(наведите мышкой на формулу, чтобы посмотреть во всплывающей подсказке как записывается дробь)

$$b_1=\frac{6l^2+2lt}{t}$$

$b_2=2l+t$

$$c=\frac{6l^2+3lt}{t}$$

$d=3l+t$
...
Сумма
$c^2+d^2=36l^4+36l^3t+18l^2t^2+6lt^3+t^4$ Видим--- суммы равны.
Подставляя в полученные формулы любые $l,t$ , мы будем вычислять такие $a,b_1,b_2$, при которых $A_3$ будет равно сумме квадратов.

Действительно, хороший результат. Поздравляю. Но надо заметить, что для того, чтобы число $A_5$ было квадратом необходимо также и выполнение еще двух условий:
При вычислении $a$ и $b$ по указанным формулам должно выполняться:
1. $a^2+b^2=p^2-pq+q^2$
2. $z^2+a^2b^2=u^2-uv+v^2$

[Petern1]

Ответ Коровьев "У.

Уважаемый, Коровьев! Некоторые участники форума на первых страницах высказали весьма не вежливые суждения в мой адрес. Надо полагать посчитали меня круглым дилетантом.
Мат же продолжал проявлять интерес к моим наработкам и мне казалось, что он остался единственным таким человеком.
Сейчас я вижу, что это не так. Вы совершенно правы. Я допустил не корректность. Приношу извинение и лично Вам, а также другим участникам форума. Я убежден в том, что коллективными усилиями можно достичь результатов и быстрее и лучше. Будем взаимно вежливы!
Однако, не можете ли Вы высказать Ваше мнение могут или не могут быть квадратами выражения:
$12l^2+6lt+t^2$
$6l^2+6lt+2t^2$
С уважением Petern1.

Добавлено спустя 42 минуты 40 секунд:

Ответ Мат "У.

Быть может я Вас не правильно понял относительно двух условий
1). $a^2+b^2=p^2-pq+q^2$
2). $z^2+a^2b^2=u^2-uv+v^2$ Равенство
$(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)=z^2+a^2b^2$ требует, чтобы
$(a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ но не требует, чтобы
$a^2+b^2=p^2-pq+q^2$ и чтобы
$z^2+a^2b^2=u^2-uv+v^2$. Откуда возникли эти два условия? Поясните пожалуйста. И я чрезвычайно благодарен Вам за высокую оценку последнего результата. Но этот результат есть результат наших совместных усилий.
С уважением Petern1.

[Мат]

Petern1 писал(а):

Равенство
$(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)=z^2+a^2b^2$ требует, чтобы
$(a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ но не требует, чтобы
$a^2+b^2=p^2-pq+q^2$ и чтобы
$z^2+a^2b^2=u^2-uv+v^2$. Откуда возникли эти два условия?

Здравствуйте, Petern1
К сожалению требует.
Данное равенство $(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)=z^2+a^2b^2$ можно представить:

$$a^2-ab+b^2=\frac{z^2+a^2b^2}{a^2+b^2}$$

. Откуда следует что каждое из выражений $a^2+b^2$ и $z^2+a^2b^2$ должно быть также и неполным квадратом, т.к. каждый множитель $a^2-ab+b^2$ должен быть неполной суммой квадратов, в том числе и множители $a^2+b^2$ и $z^2+a^2b^2$.
Откуда и следуют данные два дполнительные условия.

[Petern1]

Ответ Mat "У.

Все понял, спасибо. Задумаемся. Очень рад. Этим ответом Вы сделали мне подарок к 23-му февраля. Взаимно поздравляю Вас с этим праздником, праздником славы и гордости, но в этот день надо и поскорбить о тех людях кто отдал свои жизни за честь и независимость Родины. Убываю на дачу.
С уважением Petern1.

[Мат]

Petern1
Спасибо большое, но 23-е только послезавтра Если вас до 23-го не будет, то вас также поздравляю. Научных успехов.

[shwedka]

Мат в сообщении #188237 писал(а):

. каждый множитель $a^2-ab+b^2$ должен быть неполной суммой квадратов, в том числе и множители $a^2+b^2$ и $z^2+a^2b^2$

доказательства нет

[maxal]

shwedka в сообщении #188329 писал(а):

доказательства нет

Это проблема присутствует практически во всех построениях в этой теме. То есть, по сути они сводятся к рецептам, что если сделать так-то так-то, то получится то, что надо. Но доказательства того, что это единственная возможность добиться требуемого, нет. А без этого доказательства всем этим построениям место разве что на страницах занимательных книг для школьников. Математического содержания (как впрочем, и новизны) пока не наблюдается.