Доказательство теоремы Ферма

[Мат]

Небольшое обобщение предложенного метода на степени вида $k$.
1. Ввиду п.2. если $x^n+y^n=z^n$, то $z=a^n+b^n$, где $a, b < x, y$. Сказанное можно обобщить и на уравнение $x^n+y^n=z^k$, $k\neq n$.
$x^n+y^n=(a^n+b^n)^k$
2. Тогда в силу найденного мной свойства полиномов, о котором я упоминал shwedke на стр.3 т.к. никакие два полинома степени $k$ и $n$ не могут иметь общих множителей, если $k$и$n$ - взаимно простые числа, то если:
$x^n+y^n=(a^n+b^n)^{k-1}$
Применив, к правой части малую теорему Ферма получим, если $k$- простое, то:
$(a^n+b^n)^{k-1}=k_1\cdot k+1$
3. Но тогда в силу п.1 получится, что полином $x^n+y^n$ имеет те же множители, что и полином $(a^n+b^n)^{k-1}-1$, что невозможно в силу свойства 1. Вернее немножко не так но не в этом суть.
4. Мне удалось также показать что равенство $x^n+y^n=(a^n+b^n)^k$ невозможно и в общем случае, когда $k\neq n$, суть доказательства такая же. В силу п.1. это говорит также что и равенство $x^n+y^n=z^k$ также невозможно, если $z^k$представимо как$(a^n+b^n)^k$

[shwedka]

Мат в сообщении #187140 писал(а):

1. Ввиду п.2. если $x^n+y^n=z^n$, то $z=a^n+b^n$, где $a, b < x, y$.

Было бы это прекрасно, но доказательства пункта 2 Вы так и не предъявили.
Или я что-то пропустила? Тогда, пожалуйста, скопируйте доказательство сюда.

[Мат]

shwedka
Доказательство предъявлено на стр.3. Вернее, там доказано, что если $x^n+y^n=z^n$, то $z\in(a^n+b^n)$ причем как в основании, так и в полиноме, откуда следует:

$$x^n+y^n=\frac{(a^n+b^n)}{k_1^nk_2^n}$$

, где $k_1$$k_2$ - какие-то множители соответственно основания и полинома числа $a^n+b^n$, на которые не делится ни $z$,ни $x^n+y^n$.
Откуда, умножая на $k_1^nk_2^n$ обе части получаем новое равенство $x_1^n+y_1^n=(a^n+b^n)^n$, где к сожалению $x_1$,$y_1$ не взаимно простые.
Я тщательно изучил данный результат. Его также достаточно для перехода к п.3. Но с небольшими трудностями в отличие от утверждения п.2, которое к сожалению в чистом виде так и не доказано.

Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:

Мат писал(а):

В силу п.1. это говорит также что и равенство $x^n+y^n=z^k$ также невозможно, если $z^k$представимо как$(a^n+b^n)^k$

Вернее немножко не так. Исправляюсь. Невозможно равенство $x_1^n+y^n_1=z^k$, откуда следует и невозможность равенства $x^n+y^n=z^k$. Но к сожалению п.2. для данного уравнения справедлив не во всех случаях.

[shwedka]

Мат в сообщении #187144 писал(а):

$z\in(a^n+b^n)$

Что эти символы означают?

заявлено

Цитата:

Если $x^n+y^n=z^n$, то $z=a^n+b^n$, где $a, b < x, y$

'доказано''

Цитата:

$x'^n+y'^n=(a^n+b^n)^n$, где $a, b < x, y$

То есть п.2, как он сформулирован, не доказан.

Может, все же предъявите доказательство п.2, как он сформулирован. Если нет, до приведите полное 'доказательство' с измененной формулировкой п.2.

[Мат]

shwedka писал(а):

Мат в сообщении #187144 писал(а):

$z\in(a^n+b^n)$

Что эти символы означают?

То существует число $a^n+b^n$ такое, что оно содержит число $z$, причем как в полиноме так и в основании. Т.е. $z$ обязательно должно являться частью некоего числа $a^n+b^n$.

Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды:

shwedka писал(а):

Может, все же предъявите доказательство п.2, как он сформулирован. Если нет, до приведите полное 'доказательство' с измененной формулировкой п.2.

С измененной формулировкой п.2:
будет невозможно не равенство $x^n+y^n=z^n$, а равенство $x_1^n+y_1^n=z'^n$, откуда следует и невозможность равенства $x^n+y^n=z^n$. Но использование $x_1$,$y_1$ вместо $x$,$y$ накладывает некоторые трудности на п.3.
К сожалению п.3. также не доказан.

[shwedka]

Мат писал(а):

shwedka писал(а):

Мат в сообщении #187144 писал(а):

$z\in(a^n+b^n)$

Что эти символы означают?

То существует число $a^n+b^n$ такое, что оно содержит число $z$, причем как в полиноме так и в основании. Т.е. $z$ обязательно должно являться частью некоего числа $a^n+b^n$.

Что значит: Число $a^n+b^n$ содержит число $z$??
Что значит, что одно число - часть другого? Попытайтесь не использовать неопределенных терминов.

[Мат]

shwedka писал(а):

Что значит: Число $a^n+b^n$ содержит число $z$??
Что значит, что одно число - часть другого? Попытайтесь не использовать неопределенных терминов.

Что каждый множитель числа $z$ является множителем некоего числа $a^n+b^n$. Т.е. имеет точно такую же структуру.

Добавлено спустя 5 минут:

Грубо говоря, уравнение $x_1^n+y_1^n=z'^n$ очень во многом похоже на исходное уравнение $x^n+y^n=z^n$ и его неразрешимость также влечет за собой неразрешимость $x^n+y^n=z^n$.

[shwedka]

Цитата:

. имеет точно такую же структуру.

тогда предъявите доказательство того, что $z$ имеет точно такую же структуру.

Цитата:

его неразрешимость также влечет за собой неразрешимость $x^n+y^n=z^n$.

Но неразрешимость $x_1^n+y_1^n=z'^n$ вами не доказана. Опять же, если я пропустила, то укажите, где доказательство.

Цитата:

$(z-x)^n+(z-y)^n$ содержит все множители основания $x^n+y^n$

доказательство того, что 'ВСЕ' не предъявлено.

Цитата:

то его полином содержит те множители $z$, на которые не делится $x+y$

Не доказано. Почему не может содержать множители, на которые делится?

Цитата:

4.Таким образом полином числа $(z-x)^n+(z-y)^n$ содержит все множители полинома числа $x^n+y^n$, а его основание - множители основания $x^n+y^n$.

В рассуждениях, предшествующих этому заявлению, полно вопросов, посему заявление провисает.
Но это все потом. Ответьте на первый вопрос.

Повторяю.
Но неразрешимость $x_1^n+y_1^n=z'^n$ вами не доказана. Опять же, если я пропустила, то укажите, где доказательство.

[Мат]

shwedka писал(а):

Повторяю.
Но неразрешимость $x_1^n+y_1^n=z'^n$ вами не доказана. Опять же, если я пропустила, то укажите, где доказательство.

Верно не доказана. Но речь шла о

shwedka писал(а):

То есть п.2, как он сформулирован, не доказан.
Может, все же предъявите доказательство п.2, как он сформулирован. Если нет, до приведите полное 'доказательство' с измененной формулировкой п.2.

Мат писал(а):

С измененной формулировкой п.2:
будет невозможно не равенство $x^n+y^n=z^n$, а равенство $x_1^n+y_1^n=z'^n$, откуда следует и невозможность равенства $x^n+y^n=z^n$. Но использование $x_1$,$y_1$ вместо $x$,$y$ накладывает некоторые трудности на п.3.

Именно для демонстрации замены п.2 я продемонстрировал данное уравнение, вернее п.3. в случае нового п.2.

[shwedka]

Цитата:

Повторяю.
Но неразрешимость $x_1^n+y_1^n=z'^n$ вами не доказана. Опять же, если я пропустила, то укажите, где доказательство.

Так теперь, может быть, приведете полное 'доказательство', с учетом измененного п.2.

[Мат]

shwedka писал(а):

Цитата:

$(z-x)^n+(z-y)^n$ содержит все множители основания $x^n+y^n$

доказательство того, что 'ВСЕ' не предъявлено.

Цитата:

то его полином содержит те множители $z$, на которые не делится $x+y$

Не доказано. Почему не может содержать множители, на которые делится?

Хорошо. Спасибо за интерес. Вы первая, кто его по-настоящему проявил. Давайте разбираться, что, признаюсь, доставит мне неслыханное удовольствие!
Вернемся в п.1.
$(z-x)^n+(z-y)^n=(2z-(x+y))((z-x)^{n-1}-...+(z-y)^{n-1})$
Его основание $2z-(x+y)$ имеет с $z$ лишь те общие множители, на которые делится $x+y$- основание числа $x^n+y^n$.
Действительно, если

$$2z-(x+y)\div z_i\in \frac{x^n+y^n}{x+y}$$

, то т.к. $z\div z_i$, то и $x+y\div z_i$. Но тогда окажется, что основание и полином числа $x^n+y^n$ имеют общие множители, что невозможно, т.к. общим множителем они могут иметь лишь $n$. Если $z_i=n$ то нетрудно убедиться что $(z-x)^n+(z-y)^n$ также делится на $n$, т.е. $n$ также является множителем входящим и в полином и в основание числа $a^n+b^n$.
2. Если $2z-(x+y)$ не делится на какой-то множитель $z_k\in x+y$, то и $z$ не делится на $z_k$, т.к.

$$z=\frac{(2z-(x+y))+(x+y)}{2}$$

что невозможно, т.к. $z_k$ есть множитель $z$. Таким образом, основание $(z-x)^n+(z-y)^n$ содержит все множители основания $x^n+y^n$ и ни одного множителя полинома. Т.е. все множители полинома

$$\frac{(z-x)^n+(z-y)^n}{2z-(x+y)}$$

содержат все множители полинома

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

.

[shwedka]

Мат в сообщении #187209 писал(а):

Но тогда окажется, что основание и полином числа $x^n+y^n$ имеют общие множители, что невозможно, т.к. общим множителем они могут иметь лишь $n$. Если $z_i=n$ то нетрудно убедиться что $(z-x)^n+(z-y)^n$ также делится на $n$, т.е. $n$ также является множителем входящим и в полином и в основание числа $a^n+b^n$.

Так вы в результате исключили или нет делимость на $n$?

Мат в сообщении #187209 писал(а):

$z_k\in x+y$, то и $z$ не делится на $z_k$, т.к.

$$z=\frac{(2z-(x+y))+(x+y)}{2}$$

что невозможно, т.к. $z_k$ есть множитель $z$

Поясните, у Вас с самого начала $z_k$ чей множитель? Вы берете его множителем $x+y$, а потом вдруг используете, что это множитель $z$.

[Мат]

shwedka писал(а):

Так вы в результате исключили или нет делимость на $n$?

Нет, не исключил. Если $z\div n$, то и полином и основание как $x^n+y^n$, так и $(z-x)^n+(z-y)^n$ делятся на $n$, т.е. $n$ - единственный множитель, который может входить и в основание и в полином и более того, всегда входит. Делимость на $n$ справедливости п.2 никак не мешает, т.к. если $z\div n$, то $n$ также является множителем числа $(z-x)^n+(z-y)^n$

Цитата:

Поясните, у Вас с самого начала $z_k$ чей множитель? Вы берете его множителем $x+y$, а потом вдруг используете, что это множитель $z$.

Любой множитель $x+y$ одновременно является и множителем $z$, т.к.$z^n\div(x+y)$, а $z^n$и $z$ имеют общие множители.

[Алексей К.]

Мат писал(а):

Давайте разбираться, что, признаюсь, доставит мне неслыханное удовольствие!
Вернемся в п.1.
$(z-x)^n+(z-y)^n=(2z-(x+y))((z-x)^{n-1}-...+(z-y)^{n-1})$
Его основание $2z-(x+y)$ имеет с $z$ лишь те общие множители, на которые делится $x+y$- основание числа $x^n+y^n$.

Его основание --- Чьё? Основание п.1? Основание процитированного равенства? А что такое основание равенства? Основание некого числа в составе равенства? А что такое основание числа? Судя по фразе "$x+y$ - основание числа $x^n+y^n$", речь идёт просто о множителе? А на хрена простое-всем-понятное слово множитель чем-то заменять??? (Написано большими зелёными буквами).

[shwedka]

Мат в сообщении #187231 писал(а):

Любой множитель $x+y$ одновременно является и множителем $z$, т.к.$z^n\div(x+y)$,

Докажите, что из $z^n\div(x+y)$ следует: Любой множитель $x+y$ одновременно является и множителем $z$. Я соглашусь, если речь идет о простых множителях. Тогда нужно переписать все Ваши рассуждения, включив слово 'простой'.вас устроит, если $x+y$ делится на 9, а $z$ только на 3? Но если речь идет о произвольных множителях,, то жду доказательства.