Доказательство теоремы Ферма

[ljubarcev]

Мат писал(а):

Повторюсь:
$(a^n+b^n)(c^n+d^n)=(ac)^n+(bc)^n+(ad)^n+(bd)^n=p^n+q^n+u^n+t^n$
Т.е. произведение любых двух чисел вида $a^n+b^n$ есть также число $p^n+q^n+u^n+t^n$. То же самое относится к частным и степеням указанных чисел. Любое произведение, частное, степень чисел $a^n+b^n$ представима как $a^n+b^n+c^n+...+k^n$.
Если вы занимались проблемой, то это и так должно быть ясно для Вас.
Причем, поскольку разложение является произведением исходных чисел $a^n+b^n^$ то для него характерны те же свойства что и для них. Можно доказать и обратное.
Интерес же, с точки зрения доказательства п.2 представляет обратное представление чисел $a^n+b^n+c^n+...+k^n$ числами $p^n+q^n$.

Уважаемый Mat! Приведенное Вами доказательство в первой части верно. Хочу обратить внимание, что из него следует вывод:произведение двух сумм пары любых натуральных чисел в $n$ степени представимо суммой четырёх $(2^2)&$ натуральных чисел в той же степени $n$.
Если пойти дальше этим путем,то получим, что произведение трёх сумм пары любых натуральных чисел в $n$ степени представимо суммой восьми $(2^3)$ .натуральных чисел в той же степени $n$. Произведение четырёх сумм пары любых натуральных чисел
в $n$ степени представимо суммой $16=2^4$ натуральных чисел в той же степени $n$. Так придём к тому, что всегда верно:произведение $n$ сумм пар любых натуральных чисел в $n$ степени представимо суммой $2^n$ натуральных чисел в той же степени $n$. Теперь легко понять, что если слева взять все пары одинаковыми.то получим:
$(a^n+b^n)^n$ представимо суммой $2^n$ натуральных чисел в той же степени $n$.В последующих утверждениях я не разобрался, но думаю господин Коровьев прав.
Дед.


.

[Мат]

ljubarcev писал(а):

Теперь легко понять, что если слева взять все пары одинаковыми.то получим:
$(a^n+b^n)^n$ представимо суммой $2^n$ натуральных чисел в той же степени $n$.В последующих утверждениях я не разобрался, но думаю господин Коровьев прав.
Дед.

Только все числа уникальным образом свернутся и получится биноминальный полином Ньютона:
$(a^n+b^n)^n=a^{n^2}+na^{n(n-1)}b^n+...+na^nb^{n(n-1)}+b^{n^2}$
В котором будет вместо $2^n$ всего лишь $n+1$ членов.
Но самое удивительное не это. Самое удивительное что сумма биноминальных коэффициентов бинома Ньютона будет также $2^n$ - ровно столько, сколько натуральных чисел в степени $n$ необходимо взять для представления произведения $n$ пар чисел:
$\sum\limits_{i=0}^n{C_i}=2^n$
С чем именно не разобрался? Давайте разбираться вместе. Теорема Ферма ни для кого не секрет.

[Мат]

На удивление тупое и "брутальное" доказательство п.2, которое не имеет никакой математической ценности. Буду признателен, если кто-нибудь найдет, что оно неверное.
п.2. Если $x^n+y^n=z^n$, то $z=a^n+b^n$, где $a, b < x, y$
1.Рассмотрим число $(z-x)^n+(z-y)^n$
Оно представляет собой произведение:
$(z-x)^n+(z-y)^n=(2z-(x+y))((z-x)^{n-1}-...+(z-y)^{n-1})$
Его основание $2z-(x+y)$ имеет с $z$ лишь те общие множители, на которые делится $x+y$- основание числа $x^n+y^n$, т.е. основание $(z-x)^n+(z-y)^n$ содержит все множители основания $x^n+y^n$.
2.Число $(z-x)^n+(z-y)^n$ также можно представить как:
$(z-x)^n+(z-y)^n=2z^n-nz^{n-1}(x+y)+...+nz(x^{n-1}+y^{n-1})+x^n+y^n$
Т.к. в правой части $x^n+y^n=z^n$, то вся правая часть делится на $z$, таким образом и число
$(z-x)^n+(z-y)^n$ также делится на $z$.
3.Т.к. основание числа $(z-x)^n+(z-y)^n$ имеет с $z$ лишь те общие множители, на которые делится $x+y$, а само число делится на $z$, то его полином содержит те множители $z$, на которые не делится $x+y$- основание числа $x^n+y^n$.
4.Таким образом полином числа $(z-x)^n+(z-y)^n$ содержит все множители полинома числа $x^n+y^n$, а его основание - множители основания $x^n+y^n$.
5. Учитывая, что $(z-x)^n+(z-y)^n=a^n+b^n$, то
$z=\frac{a^n+b^n}{k_1k_2}$, где $k_1,k_2$ - соответственно некоторые множители основания и полинома числа $(z-x)^n+(z-y)^n$, не входящие в число $x^n+y^n$.
6. Тогда т.к.$x^n+y^n=z^n$, то
$x^n+y^n=(\frac{a^n+b^n}{k_1k_2})^n$. Умножая обе части на $k_1^nk_2^n$ получим:
$k_1^nk_2^nx^n+k_1^nk_2^ny^n=(a^n+b^n)^n$ или
$x'^n+y'^n=(a^n+b^n)^n$, где $a, b < x, y$

[ljubarcev]

Мат писал(а):

На удивление тупое и "брутальное" доказательство п.2, которое не имеет никакой математической ценности. Буду признателен, если кто-нибудь найдет, что оно неверное.
п.2. Если $x^n+y^n=z^n$, то $z=a^n+b^n$, где $a, b < x, y$
1.Рассмотрим число $(z-x)^n+(z-y)&...</div><!-- quote end --> Уважаемый Mat! Расуждение верное, но не доказывает п.2. где надо доказать,что при [math]$x^n+y^n=z^n$ должно быть $z=a^n+b^n$, Вы же, считая его верным, зачем то доказали, что при этом существует $x'^n+y'^n=(a^n+b^n)^n$.Кроме того Вы ввели новое понятие - ОСНОВАНИЕ ЧИСЛА. Что это такое?
Дед.

[shwedka]

Мат в сообщении #181583 писал(а):

само число делится на $z$, то его полином содержит

Понятие полинома числа не определено

[Мат]

ljubarcev писал(а):

Уважаемый Mat! Расуждение верное, но не доказывает п.2. где надо доказать,что при $x^n+y^n=z^n$ должно быть $z=a^n+b^n$, Вы же, считая его верным, зачем то доказали, что при этом существует $x'^n+y'^n=(a^n+b^n)^n$.Кроме того Вы ввели новое понятие - ОСНОВАНИЕ ЧИСЛА. Что это такое?
Дед.

Спасибо. Очень хорошее замечание. Я сам долго не мог понять, что мне не нравится. Оказывается - шаг назад.
Каждое число вида $a^n+b^n$ если $n$- простое, состоит из двух частей: основания $a+b$ и полинома $\frac{a^n+b^n}{a+b}$

Добавлено спустя 6 минут 21 секунду:

shwedka писал(а):

Мат в сообщении #181583 писал(а):

само число делится на $z$, то его полином содержит

Понятие полинома числа не определено

Спасибо за столь прекрасное участие. Не думал что смогу увидеть столь бесценное замечание. Однако при условии справедливости некоторых лемм, мне удалось показать что структура полиномов может быть определена. В частности полином $x^n+y^n$ никогда не может разделиться ни на какой полином вида $a^k+b^k$, если $n$и$k$ - взаимно простые. Это фундаментальнейшее свойство всех полиномов. Можете искать любые $x$,$y$,$a$,$b$. Если хотите.
К сожалению, доказательство слишком длинно и неинтересно, чтобы привести его здесь.

Добавлено спустя 21 минуту 57 секунд:

Даже скажу более того! Как указывал Someone в одной из тем, что в письмах, которые П.Ферма посылал отцу М.Мерсенну в одном из писем упоминалось о делимости чисел вида:
$3^n+1$ на простые числа вида $12k+1$. Там среди трех ложных утверждений, которые можно опровергнуть за 5-7 минут содержалось удивительнейшее истинное утверждение (не знаю истинное ли!) о том, что числа:
$3^n+1$ не могут делиться на простые числа вида $12k-1$. Доказательства как всегда не было. Участники форума на мой запрос ответили, мол, дескать методами современной математики доказано, что истинно. Но я пока этого не знаю.
С другой стороны данный факт может означать только одно: раз число $3^n+1=(3+1)P=4P$, то речь идет именно о делимости полиномов. Т.е. П.Ферма структура полиномов должна была быть хорошо известна, на что они могут делиться, а на что нет.

[shwedka]

Мат в сообщении #181756 писал(а):

Однако при условии справедливости некоторых лемм, мне удалось показать что структура полиномов может быть определена.

Короче, есть у Вас определение 'полинома числа' или нет? Без определения все дальнейшее-- в пользу бедных.
И, имейте в виду. Если Ваше определение полиномов не согласуется с общепринятым, то рекомендую упоптребить другое слово.

В частности, имеется понятие делимости полиномов. Объяснить Вам придется, как Ваша делимость соотносится с обычной.

Цитата:

В частности полином $x^n+y^n$ никогда не может разделиться ни на какой полином вида $a^k+b^k$, если $n$и$k$ - взаимно простые. Это фундаментальнейшее свойство всех полиномов. Можете искать любые $x$,$y$,$a$,$b$. Если хотите.
К сожалению, доказательство слишком длинно и неинтересно, чтобы привести его здесь.

Такие знакомые слова. В переводе на шведский:
доказательства нет, но автор не хочет в этом признаваться.

[Мат]

Не знаю есть ли у меня определение, но в определенной степени мне удалось понять их структуру. Но для доказательства теоремы Ферма это не нужно. Поэтому бессмысленно здесь приводить.

[shwedka]

Мат в сообщении #181768 писал(а):

Не знаю есть ли у меня определение, но в определенной степени мне удалось понять их структуру. Но для доказательства теоремы Ферма это не нужно. Поэтому бессмысленно здесь приводить.

В перeводе на шведский:
определения нет, но автор намерен манипулировать с объектами, их не определяя. Он надеется, что ему поверят на слово.

[Мат]

shwedka писал(а):

В перeводе на шведский:
определения нет, но автор намерен манипулировать с объектами, их не определяя. Он надеется, что ему поверят на слово.

А рецензент намерен любой ценой вытянуть из автора признание!

[shwedka]

Мат в сообщении #181820 писал(а):

А рецензент намерен любой ценой вытянуть из автора признание!

Чтение мыслей рецензента не заменяет определения.

[Коровьев]

Мат писал(а):

В частности полином $x^n+y^n$ никогда не может разделиться ни на какой полином вида $a^k+b^k$, если $n$и$k$ - взаимно простые. Это фундаментальнейшее свойство всех полиномов. Можете искать любые $x$,$y$,$a$,$b$. Если хотите.
К сожалению, доказательство слишком длинно и неинтересно, чтобы привести его здесь.

Ну да, поля книги в который раз слишком узки...
Да и требование

Цитата:

$a^k+b^k$, если $n$и$k$ - взаимно простые.

на мой взгляд чрезмерно. Мне удалось доказать, что полином $x^6+y^6$ не делится на полином $a^3+b^3$, но поля...Хотя, если Вы покажете только результат деления этих полиномов, не раскажете, а только покажете, буду рад.

Мат писал(а):

Там среди трех ложных утверждений, которые можно опровергнуть за 5-7 минут содержалось удивительнейшее истинное утверждение (не знаю истинное ли!) о том, что числа:
$3^n+1$ не могут делиться на простые числа вида $12k-1$. Доказательства как всегда не было. Участники форума на мой запрос ответили, мол, дескать методами современной математики доказано, что истинно. Но я пока этого не знаю.

Исправляюсь.
Доказательство через символ Лежандра
Пусть
$P=12k-1$
и
3^n \equiv - 1(\bmod P)
Тогда
- 1 = \left( {\frac{{3^n }}{P}} \right) = \left( {\frac{3}{P}} \right)^n = \left[ { - \left( {\frac{P}{3}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( {\frac{{12n - 1}}{3}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( { - 1} \right)} \right]^n = \left[ 1 \right]^n = 1
Получили противоречие.
Правда, этой "современной математике" более 200 лет, и она доступна даже современному школьнику

[Мат]

Коровьев писал(а):

Мне удалось доказать, что полином $x^6+y^6$ не делится на полином $a^3+b^3$, но поля...Хотя, если Вы покажете только результат деления этих полиномов, не раскажете, а только покажете, буду рад.

$$\frac{5^6+3^6}{5^2+3^2}\div \frac{4^3+1^3}{4+1}$$

$$\frac{5^6+3^6}{5^2+3^2}\div \frac{7^3+3^3}{7+3}$$

$$\frac{5^6+3^6}{5^2+3^2}= \frac{7^3+3^3}{7+3}\cdot \frac{4^3+1^3}{4+1}$$

Коровьев писал(а):

Исправляюсь.
Доказательство через символ Лежандра
Пусть
$P=12k-1$
и
3^n \equiv - 1(\bmod P)
Тогда

$$ - 1 = \left( {\frac{{3^n }}{P}} \right) = \left( {\frac{3}{P}} \right)^n = \left[ { - \left( {\frac{P}{3}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( {\frac{{12n - 1}}{3}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( { - 1} \right)} \right]^n = \left[ 1 \right]^n = 1 $$

Получили противоречие.
Правда, этой "современной математике" более 200 лет, и она доступна даже современному школьнику

Опять не соглашусь. Если ваши выводы верны, то их можно применить также и к следующему:

$$5^n \equiv - 1(\bmod P)$$

$$- 1 = \left( {\frac{{5^n }}{P}} \right) = \left( {\frac{5}{P}} \right)^n = \left[ { - \left( {\frac{P}{5}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( {\frac{{10n - 1}}{5}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)} \right]^n = \left[ { - \left( { - 1} \right)} \right]^n = \left[ 1 \right]^n = 1$$

Т.е. числа вида $5^n+1$ не могут делиться на простые числа $10k-1$, но $5^7+1\div 29=10*3-1$

[Коровьев]

Да, уж...Ну тогда и у меня есть пример на полином числа со взаимно простыми показателями

$\frac {4^3+1^3 }{3^2+2^2 }=5$
*****

Цитата:

Опять не соглашусь. Если ваши выводы верны, то их можно применить также и к следующему:

Можете не соглашаться, но истина такова, что тупо менять в значении символа Лежандра 3 на 5 низя!
если
\left( {\frac{3}{P}} \right) = - \left( {\frac{P}{3}} \right)
то
\left( {\frac{5}{P}} \right) = \left( {\frac{P}{5}} \right)
Это следует из закона взаимности для символа Лежандра.
Заучите, не говорю уж изучите, хотя бы основные выводы теории чисел, чтобы не попадать куда ни попади всякий раз.

[Мат]

Коровьев писал(а):

$\frac {4^3+1^3 }{3^2+2^2 }=5$

Красиво, ничего не попишешь! Даже я бы записал:
$\frac {4^3+1^3 }{3^2+2^2 }=2^2+1^2$

Цитата:

Можете не соглашаться, но истина такова, что тупо менять в значении символа Лежандра 3 на 5 низя!

Не знаю, может вы и правы. Я не специалист в символах Лежанра, хотя попробую заучить. Не люблю я эту "вышку", Кстати, $5^n+1$ еще и делятся на $10k+1$:
$\frac{5^5+1}{5+1}\div 521=52*10+1$