2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение06.05.2006, 19:36 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Sultan
Замечание за дубли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 19:48 


31/03/06
1384
Руст, а почему при больших $x$, невозможно $rad(x!\times y)>y^2$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 20:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Легко оценивается значение мультипликативной функции rad
$$rad(x!y^2)=rad(y)\prod_{p\le x} p \le y* e^{x(1+o(1))},y=O((x/e)^x).$$
Следовательно $$rad(x!y)<y^{(1/2+1/ln x)(1+o(1))}$$, что дает противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 20:54 


31/03/06
1384
Вы оценили произведение всех простых чисел, которые не превосходят x функцией e^x. Почему? Я также не понял вторую строчку, пожалуйста поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 21:22 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
1.Оценка $$\sum_{p\le x} \ln p =x(1+o(1))$$ была выдвинута ещё Гауссом. Чебышев доказал, что если есть предел отношения этой суммы к х то он равен 1. Но существование предела доказали позже, сам Чебышев оценил с двух сторон константами близкими к 1. Это имеется в любом учебнике по аналитической теории чисел.
2. Из формулы Стирлинга $\ln y=(x\ln x -x)/2 +O(\ln x),$ следовательно
$$e^x=y^{\frac{2}{\ln x -1}}, rad(x!y)\le c^{\frac 12 +\frac{1}{\ln x -1}(1+o(1))},c=y^2.$$
А это противоречит тому, что $ rad(x!c)>C(1/4)c^{3/4}$. вытекающему из гипотезы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
photon писал(а):
незванный гость писал(а):
:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

Если не секрет, при помощи чего Вы это проверили?

Wolfram's Mathematica

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 22:56 


31/03/06
1384
Теперь понятно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 03:36 


31/03/06
1384
Заметим, что если $x!+1=y^2$, то все делители чисел $x!-1$, $x!-7$, ..., $x!-(2^k-1)$ ($k$-нечётное) дают при делении на $8$ остаток $1$ или $-1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 08:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
В этом ничего удивительного, так как
$ord_p(x!)=\sum_i [\frac{x}{p^i}]$
Соответственно при $p=2 \ x>3$ это выражение делится на $8$. Если бы вместо $1$ стояло число не равное $0,1,4$ по модулю $8$, легко бы установили, что нет решений кроме случая $x<4$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 09:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Точнее легко устанавливается, что уравнение:
$x!+a=y^2$
не имеет решений при $x\geq p$, ($a>1$) где $p$ первое простое число, что $(\frac ap )=-1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 21:51 


31/03/06
1384
Пусть $x!+1=y^2$ и $x!=z^2 d$. Получается уравнение Пелля: $z^2 d+1=y^2$. Таким образом, достаточно доказать гипотезу $abc$ для решений уравнения Пелля (для них есть формула). :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 22:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
не вижу никакой связи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 22:18 


31/03/06
1384
Если гипотеза $abc$ верна в общем случае, то она верна и для уравнения Пелля $z^2 d+1=y^2$. Я предположил, что доказать эту гипотезу в частном случае уравнения Пелля проще чем в общем случае. Если это сделать, то невозможность уравнения $x!+1=y^2$ следует из Ваших рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 22:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Допустим доказали для частного случая и соответствующая константа стала ещё зависящей от $d$. И таким образом не будет никакого применения, так как конечное число решений при каждом $d$, а возможных решений может быть бесконечно из-за бесконечности возможных значений $d$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 23:11 


31/03/06
1384
Во-первых, при каждом $d$ есть бесконечно много решений $(y, z)$. Это числитель и знаменатель подходящих дробей при разложении $\sqrt{d}$ в непрерывную дробь. В моём рассуждении, бесконечность возможных решений не играет роли. Я имею в виду, что если доказать, например, что $rad(zdy)>y^{\frac{3}{2}}$, то в случае $x!=z^2 d$, можно получить противоречие, используя Вашу оценку $rad(x!y)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Kostya187


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group