уравнение x!+1=y^2 в натуральных числах

[dm]

Sultan
Замечание за дубли.

[Феликс Шмидель]

Руст, а почему при больших $x$, невозможно $rad(x!\times y)>y^2$?

[Руст]

Легко оценивается значение мультипликативной функции rad

$$rad(x!y^2)=rad(y)\prod_{p\le x} p \le y* e^{x(1+o(1))},y=O((x/e)^x).$$

Следовательно

$$rad(x!y)<y^{(1/2+1/ln x)(1+o(1))}$$

, что дает противоречие.

[Феликс Шмидель]

Вы оценили произведение всех простых чисел, которые не превосходят x функцией e^x. Почему? Я также не понял вторую строчку, пожалуйста поподробнее.

[Руст]

1.Оценка

$$\sum_{p\le x} \ln p =x(1+o(1))$$

была выдвинута ещё Гауссом. Чебышев доказал, что если есть предел отношения этой суммы к х то он равен 1. Но существование предела доказали позже, сам Чебышев оценил с двух сторон константами близкими к 1. Это имеется в любом учебнике по аналитической теории чисел.
2. Из формулы Стирлинга $\ln y=(x\ln x -x)/2 +O(\ln x),$ следовательно

$$e^x=y^{\frac{2}{\ln x -1}}, rad(x!y)\le c^{\frac 12 +\frac{1}{\ln x -1}(1+o(1))},c=y^2.$$

А это противоречит тому, что $ rad(x!c)>C(1/4)c^{3/4}$. вытекающему из гипотезы.

[незваный гость]

photon писал(а):

незванный гость писал(а):

:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

Если не секрет, при помощи чего Вы это проверили?

Wolfram's Mathematica

[Феликс Шмидель]

Теперь понятно. Спасибо.

[Феликс Шмидель]

Заметим, что если $x!+1=y^2$, то все делители чисел $x!-1$, $x!-7$, ..., $x!-(2^k-1)$ ($k$-нечётное) дают при делении на $8$ остаток $1$ или $-1$.

[Руст]

В этом ничего удивительного, так как
$ord_p(x!)=\sum_i [\frac{x}{p^i}]$
Соответственно при $p=2 \ x>3$ это выражение делится на $8$. Если бы вместо $1$ стояло число не равное $0,1,4$ по модулю $8$, легко бы установили, что нет решений кроме случая $x<4$.

[Руст]

Точнее легко устанавливается, что уравнение:
$x!+a=y^2$
не имеет решений при $x\geq p$, ($a>1$) где $p$ первое простое число, что $(\frac ap )=-1.$

[Феликс Шмидель]

Пусть $x!+1=y^2$ и $x!=z^2 d$. Получается уравнение Пелля: $z^2 d+1=y^2$. Таким образом, достаточно доказать гипотезу $abc$ для решений уравнения Пелля (для них есть формула).

[Руст]

не вижу никакой связи.

[Феликс Шмидель]

Если гипотеза $abc$ верна в общем случае, то она верна и для уравнения Пелля $z^2 d+1=y^2$. Я предположил, что доказать эту гипотезу в частном случае уравнения Пелля проще чем в общем случае. Если это сделать, то невозможность уравнения $x!+1=y^2$ следует из Ваших рассуждений.

[Руст]

Допустим доказали для частного случая и соответствующая константа стала ещё зависящей от $d$. И таким образом не будет никакого применения, так как конечное число решений при каждом $d$, а возможных решений может быть бесконечно из-за бесконечности возможных значений $d$.

[Феликс Шмидель]

Во-первых, при каждом $d$ есть бесконечно много решений $(y, z)$. Это числитель и знаменатель подходящих дробей при разложении $\sqrt{d}$ в непрерывную дробь. В моём рассуждении, бесконечность возможных решений не играет роли. Я имею в виду, что если доказать, например, что $rad(zdy)>y^{\frac{3}{2}}$, то в случае $x!=z^2 d$, можно получить противоречие, используя Вашу оценку $rad(x!y)$.