Доказательство гипотезы Римана

[shwedka]

mathematician писал(а):

так как она, подобно $\Phi(u)$, является четной функцией и
(Перевод с англ. М.А.Евграфова, под ред. А.О.Гельфонда)

Да, люди авторитетные, но своим глазам я все же верю больше. Если можете, приведите аргументацию, почему эта функция все же четная.

[vvvv]

Вот график функции для n=10000

[Мат]

Меня аж колотит от нерусских слов. Может лучше перейти на англ.форум? И вообще, если Гусейнову так важно мнение русских математиков, быть может он удосужился бы написать на русском? Раз нет, значит ему важно лишь мнение американцев и англичан. Для чего тогда статью размещать здесь, если автору это не нужно?
И второе. Я знаю англ.язык. Но я к нему очень плохо отношусь в силу литературной слабости и ущербности. Он не может выразить и десятой доли того, что позволяют возможности русского языка. Англ.язык поэтому никто не называл и никогда не назовет Великим. Мое мнение - игнорировать статьи на нерусском языке, если автор язык знает, но не желает на нем писать.

Добавлено спустя 14 минут 23 секунды:

vvvv писал(а):

Вот график функции для n=10000

Не понимаю, что вам мешает аппроксимировать данный график на $\infty$?

[shwedka]

vvvv
Я и сама в моем заявлении об отсутствии четности стала сомневаться. Дело в том, что на прямой $\re s=\frac12$ дзета-функция вещественная и четная. следовательно, то же верно для ее преобразования Фурье, функции $\Phi(u)$.
Ну, найдем вранье в другом месте.

Мат в сообщении #183028 писал(а):

Меня аж колотит от нерусских слов

Выпейте валерианочки, поможет.

Мат в сообщении #183028 писал(а):

Я знаю англ.язык. Но я к нему очень плохо отношусь в силу литературной слабости и ущербности.

своей??

[Heathy]

Maple дает более точный график:

[Мат]

shwedka писал(а):

своей??

В общем-то своей. Но свой родной язык я знаю лучше, чем многие англичане английский

Добавлено спустя 56 секунд:

Heathy
Функция vvvv была четная, ваша - ни четная, ни нечетная. Вы можете как-то объяснить экстремум между точками 7 и 8?

Добавлено спустя 46 минут 42 секунды:

Хотя функция - интегральная. Интегрирование ведется по $n$, значит, $u$ выступает как константа. Поэтому интеграл распадается на два интеграла: один по $n^4$, другой по $n^2$. Тогда после интегрирования мы поличим все те же две функции по $u$ с другими коэффициентами по $n$. Другими словами, выражение в скобках после суммирования по $n$ останется по прежнему значимым для определения четности/нечетности функции. Значит достаточно рассмотреть лишь выражение в скобках:

$$\Phi(u)=\sum_{1}^\infty \left(2n^4\pi^2e^{\frac92 u}-3n^2\pi e^{\frac52 u}\right)$$

. Которое после интегрирования по $n$ даст:

$$\left(\frac52 n^5\pi^2e^{\frac92 u}-n^3\pi e^{\frac52 u}\right)$$

Для экстремума необходима производная по $u$. Она будет равна:

$$\left(\frac{45}{4} n^5\pi^2e^{\frac92 u}-\frac52 n^3\pi e^{\frac52 u}\right)$$

После приравнивания к нулю получим:

$$\frac92 n^2\pi e^{2u}=1$$

Откуда

$$u=\frac12ln(\frac{2}{9\pi n^2})$$

Один единственный экстремум. Который при $n\to \infty$ равен $-\infty$.
Функция не является ни четной, ни нечетной
Т.е. по моим расчетам в примере vvvv экстремум должен быть где-то в районе точки $-10,5347$, что не попало в график. Интересно, я прав? Экстремум в нуле видимо как-то связан с перемножением функций, чего я не учел.

[Gafield]

Функция $e^{-x^4}(x^2-1)$ удовлетворяет условиям основной теоремы. Однако, как показывают вычисления в Математике, у нее имеются мнимые корни $\pm4.80655266170109 i$.

[shwedka]

Похоже, что таки нашла я ошибку у Гусейнова. На стр.3, в доказательстве леммы 2 утверждается следующее.
Пусть $f$ удовлетворяет условиям основной теоремы. Тогда функция
$f(x)e^{-\frac{x^2}{c^2-x^2}},$
очевидно, допускает аналитическое продолжение с интервала $(-c,c)$ вещественной оси в полоску вдоль вещественной оси. Это утверждение ошибочно, так как $\pm c$ являются существенно особыми точками для функции $e^{-\frac{x^2}{c^2-x^2}}$.

[MaximKat]

Gafield писал(а):

Однако, как показывают вычисления в Математике, у нее имеются мнимые корни $\pm4.80655266170109 i$.

[Xaliuss]

Gafield писал(а):

Функция $e^{-x^4}(x^2-1)$ удовлетворяет условиям основной теоремы. Однако, как показывают вычисления в Математике, у нее имеются мнимые корни $\pm4.80655266170109 i$.

Несложно заметить чисто аналитически, что кроме +1 и -1 других корней нет..
Так что это не опровержение...

[Gafield]

Цитата:

Несложно заметить чисто аналитически, что кроме +1 и -1 других корней нет..
Так что это не опровержение...

В теореме идет речь о том, что преобразовании Фурье от такой функции имееет только действительные корни. Так что я неправильно выразился. Имелись в виду мнимые корни $F[e^{-x^4}(x^2-1)]$.

[mathematician]

shwedka писал(а):

Похоже, что таки нашла я ошибку у Гусейнова. На стр.3, в доказательстве леммы 2 утверждается следующее.
Пусть $f$ удовлетворяет условиям основной теоремы. Тогда функция
$f(x)e^{-\frac{x^2}{c^2-x^2}},$
очевидно, допускает аналитическое продолжение с интервала $(-c,c)$ вещественной оси в полоску вдоль вещественной оси. Это утверждение ошибочно, так как $\pm c$ являются существенно особыми точками для функции $e^{-\frac{x^2}{c^2-x^2}}$.

Вообще-то вы правы, эта функция не допускает аналитическое продолжение на всю полосу, но кажется в доказательстве это не используется. Контур, по которому ведется интегрирование, остается строго внутри круга $|z| < c$.

[Someone]

Gafield в сообщении #183211 писал(а):

В теореме идет речь о том, что преобразовании Фурье от такой функции имееет только действительные корни. Так что я неправильно выразился. Имелись в виду мнимые корни $F[e^{-x^4}(x^2-1)]$.

Mathematica 5.1 даёт следующее преобразование Фурье этой функции:

$$F(\omega)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^4}(x^2-1)e^{-i\omega x}dx=$$

$$=\frac{\sqrt{\pi}}{64}\left(\frac{32\,_0F_2\left(;\frac 14,\frac 12;\frac{\omega^4}{256}\right)}{\Gamma\left(\frac 14\right)}+\frac{128\,_0F_2\left(;\frac 12,\frac 34;\frac{\omega^4}{256}\right)}{\Gamma\left(-\frac 14\right)}+\omega^2\left(-\frac{3\,_0F_2\left(;\frac 34,\frac 32;\frac{\omega^4}{256}\right)}{\Gamma\left(\frac 74\right)}+\frac{16\,_0F_2\left(;\frac 54,\frac 32;\frac{\omega^4}{256}\right)}{\Gamma\left(\frac 14\right)}\right)\right)\text{.}$$

Построение графика функции $F(i\omega)$ показывает, что функция $F(\omega)$ имеет корни около точек $\pm 4.4680655i$.

Gafield в сообщении #183186 писал(а):

$\pm4.80655266170109 i$

Похоже на опечатку при переписывании.

[shwedka]

mathematician писал(а):

Вообще-то вы правы, эта функция не допускает аналитическое продолжение на всю полосу, но кажется в доказательстве это не используется. Контур, по которому ведется интегрирование, остается строго внутри круга $|z| < c$.

Нет, неверно!
Теорема Коши применяется к контуру, описанному на стр. 4, проходящему через плохие точки -- а это в приличных домах не принято.

... where the segments of integration $\ell_{-c}$...are defined as

$$\ell_{-c}=\{z\in C: z=-c+\rho e^{- i\pi/4},\ 0\le\rho\le\delta\}$$

...

[Gafield]

Someone в сообщении #183232 писал(а):

Похоже на опечатку при переписывании.

Ага. Не оттуда скопировал.