Вопросы по диффурам

[ShMaxG]

Помогите доказать, что при

\[ \alpha < 0 \]

нетривиальное решение уравнения

\[ y'' + q\left( x \right)y = 0 \]

имеет на интервале

\[ \left( {1; + \infty } \right) \]

лишь конечное число нулей.

\[ q\left( x \right) = - \frac{1} {4} + \frac{1} {{4x}} + \frac{3} {{16x^2 }} - \frac{\alpha } {x} \]

Добавлено спустя 5 минут 52 секунды:

Пробовал так: максимум функции

\[ y = - 4x^2 + 4x\left( {1 - 4\alpha } \right) + 3 \]

равен

\[ \left( {1 - 4\alpha } \right)^2 + 3 \]

. Т.о.

\[ q\left( x \right) \leqslant \frac{{\left( {1 - 4\alpha } \right)^2 + 3}} {{16x^2 }} \]

Рассматривая диффур

\[ y'' + \frac{{\left( {1 - 4\alpha } \right)^2 + 3}} {{16x^2 }}y = 0 \]

прихожу к характеристическому уравнению с отрицательным дискриминантом. Т.е. нулей бесконечно много, а не конечно, как хотелось бы...

[ewert]

Не понял вопроса. Почему только при меньших нуля? Функция-то "в существенном отрицательна" независимо от альфы. Поэтому на всех достаточно далёких отрезках краевая задача с условиями Дирихле не может иметь нетривиальных решений.

[ShMaxG]

Вообще надо это доказать для любых значений параметра. Просто для

\[ \alpha \geqslant 0 \]

мажорируется довольно просто.

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

ewert писал(а):

краевая задача с условиями Дирихле

Но в общем я понял, спасибо.

[ewert]

ну и чего доказывать? На конечных промежутках бесконечного количества нулей быть не может -- это общее свойство линейных уравнений. А достаточно далеко справа "потенциал" отрицателен и, следовательно, более одного нуля там тоже не может быть.

[ShMaxG]

ewert
Да эт я понял. Просто не знаю что такое краевая задача с условиями Дирихле...

[ewert]

условиями Дирихле называются краевые условия на саму функцию (по умолчанию -- однородные, т.е. нулевые)

--------------------------------------------
мы, как обычно, вперемежку постим, поэтому ответ накладывается на ответ

[ShMaxG]

В одном из вариантов контрольных к письменному экзамену встретил такую задачу:

Доказать, что задача Коши $ y' = xy + 2 + \sin y $$, $$ y\left( 0 \right) = 0 $ имеет решение, определенное при $ - \infty < x < + \infty $.

По теореме существование решения гарантируется лишь в некоторой окрестности данной точки. Но как быть с $x$ за пределами этой окрестности?

[vlad239]

Рассмотрите максимальный промежуток, на который можно продолжить эту функцию. Почему нельзя за его пределы? Либо проблемы с правой частью (тут их не будет), либо уход решения в бесконечность с вертикальной асимптотой (надо доказать, что и этого не будет, то есть что решение растет не очень быстро. Медленнее экспоненты какой-нибудь, типа $e^{x^2}$).

Влад.

[V.V.]

ShMaxG в сообщении #221462 писал(а):

По теореме существование решения гарантируется лишь в некоторой окрестности данной точки. Но как быть с $x$ за пределами этой окрестности?

Теорема Чаплыгина помогает. Оцените сверху и снизу синус. И проинтегрируйте уравнения. Решение исходного будет зажато между решениями мажоранты и миноранты.

[ShMaxG]

Ну, мы вообще теорему Чаплыгина не проходили... Но я показал, что

$$ y\left( x \right) \sim e^{\frac{1} {2}x^2 } ,x \to + \infty $$

. Может быть попробовать провести доказательство теоремы Чаплыгина именно для этого случая? Я подумаю еще....

Хотя, может просто надо грамотно обосновать, особо доказывать ничего не надо, потому что как-то это интуитивно понятно, что решение будет зажато между мажорантой и минорантой.

[ShMaxG]

В общем так, без теоремы Чаплыгина (по-крайней мере ссылки на нее):

оценим синус сверху и снизу, решим уравнения:
$\[ \begin{gathered} z_1^{'} = xz_1 + 1 \hfill \\ z_2^{'} = xz_2 + 3 \hfill \\ \end{gathered} \]$

Их решения:
$\[ \begin{gathered} z_1 \left( {x,C_1 } \right) = \left( {\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1} {2}t^2 } } dt + C_1 } \right)e^{\frac{1} {2}x^2 } \hfill \\ z_2 \left( {x,C_2 } \right) = \left( {3\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1} {2}t^2 } } dt + C_2 } \right)e^{\frac{1} {2}x^2 } \hfill \\ \end{gathered} \]$

Теперь, в точке $x=0$ выберем константы таким образом, чтобы $z_2 > 0$, а $z_1 < 0$. Но раз в точке $(0,0)$
$\[ z_1 ' < y{'},{\text{ }}z_2 ' > y' \]$

то заключаем, что решение исходного уравнения должно быть зажато между $z_1$ и $z_2$. (Достаточно взять $C_1 < 0, C_2 > 0$).

-- Пт июн 12, 2009 13:16:11 --

А вот еще вопрос: с чего начать:

Доказать, что существует решение уравнения $ y''\operatorname{sh} x + y = 0 $, не ограниченное на интервале $ \left( {1; + \infty } \right) $.

Если посмотреть на это уравнение как на линейное однородное с переменными коэффициентами, то, зная какое-либо его нетривиальное решение $y_1$, можно получить, что другие решения:

$ y\left( x \right) = y_1 \left( x \right)\int\limits_1^x {\frac{1} {{y_1^2 \left( t \right)}}} dt + C_2 $. Дальше не знаю как.

Больше что-то ничего не приходит в голову.

[V.V.]

ShMaxG в сообщении #221537 писал(а):

Доказать, что существует решение уравнения $ y''\operatorname{sh} x + y = 0 $, не ограниченное на интервале $ \left( {1; + \infty } \right) $.

1. Покажите, что для того, чтобы уравнение было устойчивым, необходимо, чтобы оно было колеблющимся.
2. Примените теорему сравнения, чтобы показать, что уравнение неколеблющееся.