2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение30.01.2009, 22:43 
Аватара пользователя
Помогите доказать, что при \[
\alpha  < 0
\] нетривиальное решение уравнения \[
y'' + q\left( x \right)y = 0
\] имеет на интервале \[
\left( {1; + \infty } \right)
\] лишь конечное число нулей.
\[
q\left( x \right) =  - \frac{1}
{4} + \frac{1}
{{4x}} + \frac{3}
{{16x^2 }} - \frac{\alpha }
{x}
\]

Добавлено спустя 5 минут 52 секунды:

Пробовал так: максимум функции \[
y =  - 4x^2  + 4x\left( {1 - 4\alpha } \right) + 3
\] равен \[
\left( {1 - 4\alpha } \right)^2  + 3
\]. Т.о. \[
q\left( x \right) \leqslant \frac{{\left( {1 - 4\alpha } \right)^2  + 3}}
{{16x^2 }}
\]
Рассматривая диффур \[
y'' + \frac{{\left( {1 - 4\alpha } \right)^2  + 3}}
{{16x^2 }}y = 0
\] прихожу к характеристическому уравнению с отрицательным дискриминантом. Т.е. нулей бесконечно много, а не конечно, как хотелось бы...

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 22:50 
Не понял вопроса. Почему только при меньших нуля? Функция-то "в существенном отрицательна" независимо от альфы. Поэтому на всех достаточно далёких отрезках краевая задача с условиями Дирихле не может иметь нетривиальных решений.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 22:55 
Аватара пользователя
Вообще надо это доказать для любых значений параметра. Просто для \[
\alpha  \geqslant 0
\] мажорируется довольно просто.

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

ewert писал(а):
краевая задача с условиями Дирихле
:shock:
Но в общем я понял, спасибо.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 22:56 
ну и чего доказывать? На конечных промежутках бесконечного количества нулей быть не может -- это общее свойство линейных уравнений. А достаточно далеко справа "потенциал" отрицателен и, следовательно, более одного нуля там тоже не может быть.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 23:05 
Аватара пользователя
ewert
Да эт я понял. Просто не знаю что такое краевая задача с условиями Дирихле...

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 23:09 
условиями Дирихле называются краевые условия на саму функцию (по умолчанию -- однородные, т.е. нулевые)

--------------------------------------------
мы, как обычно, вперемежку постим, поэтому ответ накладывается на ответ

 
 
 
 Re: Вопросы по диффурам
Сообщение11.06.2009, 21:26 
Аватара пользователя
В одном из вариантов контрольных к письменному экзамену встретил такую задачу:

Доказать, что задача Коши $
y' = xy + 2 + \sin y
$$, $$
y\left( 0 \right) = 0
$ имеет решение, определенное при $
 - \infty  < x <  + \infty 
$.

По теореме существование решения гарантируется лишь в некоторой окрестности данной точки. Но как быть с $x$ за пределами этой окрестности?

 
 
 
 Re: Вопросы по диффурам
Сообщение11.06.2009, 22:15 
Рассмотрите максимальный промежуток, на который можно продолжить эту функцию. Почему нельзя за его пределы? Либо проблемы с правой частью (тут их не будет), либо уход решения в бесконечность с вертикальной асимптотой (надо доказать, что и этого не будет, то есть что решение растет не очень быстро. Медленнее экспоненты какой-нибудь, типа $e^{x^2}$).

Влад.

 
 
 
 Re: Вопросы по диффурам
Сообщение11.06.2009, 22:27 
ShMaxG в сообщении #221462 писал(а):
По теореме существование решения гарантируется лишь в некоторой окрестности данной точки. Но как быть с $x$ за пределами этой окрестности?


Теорема Чаплыгина помогает. Оцените сверху и снизу синус. И проинтегрируйте уравнения. Решение исходного будет зажато между решениями мажоранты и миноранты.

 
 
 
 Re: Вопросы по диффурам
Сообщение12.06.2009, 00:46 
Аватара пользователя
Ну, мы вообще теорему Чаплыгина не проходили... Но я показал, что $$
y\left( x \right) \sim e^{\frac{1}
{2}x^2 } ,x \to  + \infty 
$$. Может быть попробовать провести доказательство теоремы Чаплыгина именно для этого случая? Я подумаю еще....

Хотя, может просто надо грамотно обосновать, особо доказывать ничего не надо, потому что как-то это интуитивно понятно, что решение будет зажато между мажорантой и минорантой.

 
 
 
 Re: Вопросы по диффурам
Сообщение12.06.2009, 11:14 
Аватара пользователя
В общем так, без теоремы Чаплыгина (по-крайней мере ссылки на нее):

оценим синус сверху и снизу, решим уравнения:
$\[
\begin{gathered}
  z_1^{'}  = xz_1  + 1 \hfill \\
  z_2^{'}  = xz_2  + 3 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

Их решения:
$\[
\begin{gathered}
  z_1 \left( {x,C_1 } \right) = \left( {\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1}
{2}t^2 } } dt + C_1 } \right)e^{\frac{1}
{2}x^2 }  \hfill \\
  z_2 \left( {x,C_2 } \right) = \left( {3\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1}
{2}t^2 } } dt + C_2 } \right)e^{\frac{1}
{2}x^2 }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

Теперь, в точке $x=0$ выберем константы таким образом, чтобы $z_2  > 0$, а $z_1  < 0$. Но раз в точке $(0,0)$
$\[
z_1 ' < y{'},{\text{ }}z_2 ' > y'
\]$

то заключаем, что решение исходного уравнения должно быть зажато между $z_1$ и $z_2$. (Достаточно взять $C_1  < 0, C_2  > 0$).

-- Пт июн 12, 2009 13:16:11 --

А вот еще вопрос: с чего начать:

Доказать, что существует решение уравнения $
y''\operatorname{sh} x + y = 0
$, не ограниченное на интервале $
\left( {1; + \infty } \right)
$.

Если посмотреть на это уравнение как на линейное однородное с переменными коэффициентами, то, зная какое-либо его нетривиальное решение $y_1$, можно получить, что другие решения:

$
y\left( x \right) = y_1 \left( x \right)\int\limits_1^x {\frac{1}
{{y_1^2 \left( t \right)}}} dt + C_2 
$. Дальше не знаю как.

Больше что-то ничего не приходит в голову.

 
 
 
 Re: Вопросы по диффурам
Сообщение13.06.2009, 18:29 
ShMaxG в сообщении #221537 писал(а):

Доказать, что существует решение уравнения $
y''\operatorname{sh} x + y = 0
$, не ограниченное на интервале $
\left( {1; + \infty } \right)
$.



1. Покажите, что для того, чтобы уравнение было устойчивым, необходимо, чтобы оно было колеблющимся.
2. Примените теорему сравнения, чтобы показать, что уравнение неколеблющееся.

 
 
 [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group