2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение23.01.2009, 22:35 
Неправильный вопрос. Все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, поэтому не имеет значения, что понимать под знаком модуля.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 22:50 
Аватара пользователя
Понятно.

Еще, у нас в задании есть такая задача:

Сколько решений в зависимости от \[
n = 1,2,3
\] и \[
\alpha  \in R
\] имеет задача:

\[
y' = x^2  - \alpha ^2 y^2 ,y\left( 1 \right) = \alpha ,y'\left( 1 \right) = 0
\]. Верно ли, что при $n=1$ решение есть (и единственно) только при \[
\alpha  = 1
\]. При $n=2$ решение существует и единственно при любых "альфа", а в случае $n=3$ решения существуют и их бесконечное число. Меня просто настораживают слова "сколько решений". Правильно ли под этими словами понимать в этом случае число интегральных кривых, проходящих через данную точку?

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 22:53 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #180625 писал(а):
Правильно ли под этими словами понимать в этом случае число интегральных кривых, проходящих через данную точку?
Различных кривых. А как это можно понять иначе? :shock:

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 22:54 
хрен его знает, скока. У Вас же в задаче эн не присутствует.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 22:57 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
хрен его знает, скока. У Вас же в задаче эн не присутствует.


Прошу прощения, \[
y^{\left( n \right)}  = x^2  - \alpha ^2 y^2 
\]

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 23:09 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #180628 писал(а):
Прошу прощения, \[ y^{\left( n \right)} = x^2 - \alpha ^2 y^2 \]
Не понял.... Получается, что при n=1 и при n>2 задача Коши поставлена некорректно:
ShMaxG в сообщении #180628 писал(а):
Прошу прощения, \[ y^{\left( n \right)} = x^2 - \alpha ^2 y^2 \]

ShMaxG в сообщении #180625 писал(а):
\[ y\left( 1 \right) = \alpha ,y'\left( 1 \right) = 0 \].

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 23:11 
Аватара пользователя
Brukvalub
В задаче не сказано, что это задача Коши.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 23:17 
в разные стороны некорректна. При $n=1$ решение возможно только в исключительных случаях (может, и в этом -- лень вникать). При $n>2$ задача недоопределена и почти наверняка к-во решений бесконечно. А вот при $n=2$ решение действительно единственно, т.к. соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 23:17 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #180633 писал(а):
Brukvalub
В задаче не сказано, что это задача Коши.
Вот незадача... Выходит, я сболтнул лишнего.. А мне еще военрук внушал: "Болтун - находка для шпиёнов"!

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 18:20 
Аватара пользователя
Такой вопрос еще: могут ли 2 решения уравнения \[y''' + xy = 0\] касаться в одной точке и быть линейно зависимыми?

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 18:35 
Конечно, могут. Одно и то же решение касается себя -- и в то же время зависимо с самим собой.

Это к тому, что вопрос как-то странно поставлен.

Ну а по существу. Множество решений взаимно однозначно соответствует множеству начальных условий. Фиксация любого конкретного линейного требования всего лишь уменьшает размерность задачи на единичку. Вот и тут: требование касания -- всего лишь делает пространство решений из трёхмерного двумерным, отчего это пространство не перестаёт быть бесконечным.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 18:51 
Попробуйте пойти от противного.
P.S. Я думаю в вопросе имелось ввиду быть линейно зависимыми и не совпадать.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 20:33 
Аватара пользователя
Да, вообще имелось ввиду, что решения эти не совпадают. Если эти функции линейно зависимы, то и их вторые производные тоже линейно зависимые. С чем находить противоречие, что-то не видно.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 21:56 
Я, наверное, немного поторопился. Думал из начальных условий для функций и производных следует, что константа пропорциональности равна 1, т.е. решения совпадают. Но это не так, когда эти условия нулевые. Поэтому ответ положительный. Для доказательства в качестве первого решения берем решение $y$ с начальными условиями $y_0=0,y'_0=0,y''_0=1$, а в качестве второго $2y$.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:11 
Аватара пользователя
Андрей123
А, понятно, спасибо)

 
 
 [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group