В общем так, без теоремы Чаплыгина (по-крайней мере ссылки на нее):
оценим синус сверху и снизу, решим уравнения:
![$\[
\begin{gathered}
z_1^{'} = xz_1 + 1 \hfill \\
z_2^{'} = xz_2 + 3 \hfill \\
\end{gathered}
\]$ $\[
\begin{gathered}
z_1^{'} = xz_1 + 1 \hfill \\
z_2^{'} = xz_2 + 3 \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/8/e68ce92fb7942bbc5da6d468c7ab5bb282.png)
Их решения:
![$\[
\begin{gathered}
z_1 \left( {x,C_1 } \right) = \left( {\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1}
{2}t^2 } } dt + C_1 } \right)e^{\frac{1}
{2}x^2 } \hfill \\
z_2 \left( {x,C_2 } \right) = \left( {3\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1}
{2}t^2 } } dt + C_2 } \right)e^{\frac{1}
{2}x^2 } \hfill \\
\end{gathered}
\]$ $\[
\begin{gathered}
z_1 \left( {x,C_1 } \right) = \left( {\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1}
{2}t^2 } } dt + C_1 } \right)e^{\frac{1}
{2}x^2 } \hfill \\
z_2 \left( {x,C_2 } \right) = \left( {3\int\limits_0^x {e^{ - \frac{1}
{2}t^2 } } dt + C_2 } \right)e^{\frac{1}
{2}x^2 } \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/2/7b2be3da382ea50bd9321f601d15cb6682.png)
Теперь, в точке

выберем константы таким образом, чтобы

, а

. Но раз в точке

![$\[
z_1 ' < y{'},{\text{ }}z_2 ' > y'
\]$ $\[
z_1 ' < y{'},{\text{ }}z_2 ' > y'
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/1/871e75bb73a71425420855509d96c27a82.png)
то заключаем, что решение исходного уравнения должно быть зажато между

и

. (Достаточно взять

).
-- Пт июн 12, 2009 13:16:11 --А вот еще вопрос: с чего начать:
Доказать, что существует решение уравнения

, не ограниченное на интервале

.
Если посмотреть на это уравнение как на линейное однородное с переменными коэффициентами, то, зная какое-либо его нетривиальное решение

, можно получить, что другие решения:

. Дальше не знаю как.
Больше что-то ничего не приходит в голову.