Вопросы по диффурам

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста разрешить 2 вопроса:

1) Исследовать функционал на экстремум при

\[ \alpha = 1,\alpha = 4 \]

\[ J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {y'} \right)^2 - \alpha ^2 y^2 } \right]dx,y\left( 0 \right) = 0,y\left( 1 \right) = \sin \alpha } \]

.

Я нашел допустимую экстремаль -

\[ y = \sin \alpha x \]

. Проверяю на экстремум функционал:

\[ \Delta J\left( y \right) = J\left( {y + \eta } \right) - J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {\eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} \]

, беру

\[ \eta _{m,n} \left( x \right) = \frac{1} {n}\sin mx,n \in N,m \in N \]

, тогда

\[ \Delta J\left( y \right) = J\left( {y + \eta _{m,n} } \right) - J\left( y \right) = \left( {m^2 - \alpha ^2 } \right)\frac{\pi } {{2n^2 }} \]

. Следовательно,

\[\Delta J\left( y \right) < 0\]

при

\[ m < \alpha \]

и

\[ \Delta J\left( y \right) \geqslant 0 \]

при

\[ m \geqslant \alpha \]

.

Но возникает вопрос: а зачем в условии даны два значения

\[ \alpha \]

?

2) Могут ли две интегральные кривые уравнения касаться друг друга в некоторой точке

\[ \left( {x_0 ,y_0 } \right) \]

:

а) для уравнения

\[ y' = x^2 + y^3 \]

(нет, потому что через каждую точку

\[ \left( {x_0 ,y_0 } \right) \]

проходит только одна интегральная кривая)

б) для уравнения

\[ y'' = x^2 + y^3 \]

(тоже нет, интегральные кривые в точке могут отличаться только углом касательной).

в) для уравнения

\[ y''' = x^2 + y^3 \]

(да, в точке угол наклона касательных может быть одинаковым, но кривизна этих кривых разная).

Но ответ: а) да, б) нет, б) да.

[gris]

Наивный вопрос по второму пункту. Нет ли тут какой-нибудь особенности из-за того, что кривая $x^2-y^3=C$ теряет гладкость при $x=\pm \sqrt C$?

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #180461 писал(а):

Но возникает вопрос: а зачем в условии даны два значения

\[ \alpha \]

?

Чтобы Ваша пробная функция

ShMaxG в сообщении #180461 писал(а):

\[ \eta _{m,n} \left( x \right) = \frac{1} {n}\sin mx,n \in N,m \in N \]

,

им не удовлетворяла, поэтому
"...и трогать ее не моги
за ее малый рост, малый рост.."

[Андрей123]

ShMaxG писал(а):

\[ \Delta J\left( y \right) = J\left( {y + \eta } \right) - J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {\eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} \]

Второе равенство неверно(или его надо обосновать), т.к. функционал у Вас нелинеен.

[ShMaxG]

Brukvalub

Так, ошибку понял. В таком случае, для

\[ \alpha = 1 \]

,

\[ \eta _1 \left( x \right) = \sin \left( {\pi x} \right) \]

, в этом случае

\[ \Delta J\left( y \right) \geqslant 0 \]

. А в случае

\[ \alpha = 4 \]

-

\[ \eta _1 \left( x \right) = x^2 - x \]

, тогда

\[ \Delta J\left( y \right) < 0 \]

.

Добавлено спустя 6 минут 56 секунд:

Андрей123

\[ \begin{gathered} \Delta J\left( y \right) = J\left( {y + \eta } \right) - J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {y' + \eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \left( {y + \eta } \right)^2 - \left( {y'} \right)^2 + \alpha ^2 y^2 } \right]dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {2y'\eta ' + \left( {\eta '} \right)^2 - 2\alpha ^2 y\eta - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {\eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} + \int\limits_0^1 {\left[ {2y'\eta ' - 2\alpha ^2 y\eta } \right]dx} \hfill \\ \end{gathered} \]

Используя уравнения Эйлера

\[ 2y'' + 2\alpha ^2 y = 0 \]

, получим:

\[ \Delta J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {\eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} + \int\limits_0^1 {\left[ {2y'\eta ' + 2y''\eta } \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {\eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} + 2y'\eta \left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {\eta '} \right)^2 - \alpha ^2 \eta ^2 } \right]dx} \]

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Сейчас подумаю, какие можно функции придумать, чтобы остальные случаи получить...

Добавлено спустя 7 минут 52 секунды:

А, не, в случае

\[ \alpha = 4 \]

все в порядке, в качестве

\[m\]

можно выбрать

\[ \pi \]

, тогда

\[ \Delta J\left( y \right) < 0 \]

, а можно

\[ 2\pi \]

, тогда

\[ \Delta J\left( y \right) \geqslant 0 \]

[Brukvalub]

1.Пробные функции не должны менять краевых условий для суммы стационарной функции и пробной.
2. Вы изучаете локальные экстремумы, поэтому нужно рассматривать не какие попало пробные функции, а пробные функции со сколь угодно малой нормой, которые к тому же не нарушают краевых условий.

[Андрей123]

В случае $\alpha=1$ можно воспользоваться неравенством Фридрикса:$\int_0^1\eta^2dx<=\int_0^1\eta'^2dx$

[ShMaxG]

Андрей123

Вообще, мы не проходили такое неравенство, но можно попробовать самому его доказать...

Brukvalub

Спасибо! Прояснили.

Добавлено спустя 30 минут 32 секунды:

gris

Не совсем понимаю...

[Андрей123]

ShMaxG писал(а):

Андрей123

Вообще, мы не проходили такое неравенство, но можно попробовать самому его доказать...

Его можно несложно доказать, если знать неравенство Гельдера или Коши-Буняковского(которое впрочем тоже несложно доказать).

[ShMaxG]

Андрей123
Это нужно доказывать как-то через понятие нормы функции? Мы ввели только расстояние между функциями по формуле:

\[ \left\| {y_1 \left( x \right) - y_2 \left( x \right)} \right\|_{C^1 \left[ {a,b} \right]} = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {y_1 \left( x \right) - y_2 \left( x \right)} \right| + \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {y'_1 \left( x \right) - y'_2 \left( x \right)} \right| \]

.

Норму через интегралы не вводили.

[Андрей123]

Для начала докажите, что $|\int_0^1f(x) g(x)dx|<=\sqrt{\int_0^1f^2(x)}\sqrt{\int_0^1g^2(x)}$. Для этого рассмотрите $\int_0^1(f+a g)^2dx$ как квадратный трехчлен по $a$, выпишите условие его неотрицательности(дискриминант меньше либо равен нулю). Получите требуемое. Дальше

$$|\eta(x)|=|\int_0^x\eta'(x)dx|<=\int_0^x|\eta'(x)|dx<=\sqrt{\int_0^x\eta'^2(x)dx}\sqrt{\int_0^x1^2}=\sqrt{x}\sqrt{\int_0^x\eta'^2(x)dx}<= \sqrt{\int_0^x\eta'^2(x)dx}<=\sqrt{\int_0^1\eta'^2(x)dx}.$$

Возводя в квадрат, а затем интегрируя от 0 до 1 обе крайние части последнего неравенства, получаем требуемое.

[ShMaxG]

Андрей123
Класс! Спасибо!

Добавлено спустя 40 минут 24 секунды:

Поправьте меня, если не правильно:

Функция

\[ f\left( {x,y} \right) = x^2 + y^3 \]

удовлетворяет условию Липшица по $y$ равномерно по $x$ на любом компакте области, тогда, в частности, решение задачи Коши единственно, через эту точку проходит только одна интегральная кривая, поэтому в этой точке не может быть пересечений интегральных кривых и их касаний.

[Андрей123]

Вроде бы, все правильно.Там, наверное, просто ошибка в ответе.

[ShMaxG]

Еще у меня вопрос по условию Липшица:

Определение. Говорят, что

\[ f\left( {x,y} \right) \]

в области

\[ G \subseteq R_{\left( {x,y} \right)}^{n + 1} \]

удовлетворяет условию Липшица относительно $y$ равномерно по $x$, если

\[ \exists L > 0 \]

такое, что

\[ \left| {f\left( {x,y_1 } \right) - f\left( {x,y_2 } \right)} \right| \leqslant L\left| {y_1 - y_2 } \right| \]

, (и т.д.)

Что понимается под

\[ \left| {y_1 - y_2 } \right| \]

?

\[ \left| {y_1 - y_2 } \right| = \sqrt {\left( {y_1^1 - y_2^1 } \right)^2 + \left( {y_1^2 - y_2^2 } \right)^2 + ... + \left( {y_1^n - y_2^n } \right)^2 } \]

, где

\[ R_{\left( {x,y} \right)}^{n + 1} \]

- $(n+1)$- мерное пространство с декартовыми прямоугольными координатами

\[ x,y^1 ,y^2 ,...,y^n \]

?

Добавлено спустя 14 минут 16 секунд:

или там сумма модулей, а не корень суммы квадратов?

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #180609 писал(а):

Что понимается под

\[ \left| {y_1 - y_2 } \right| \]

?

ShMaxG в сообщении #180609 писал(а):

\[ \left| {y_1 - y_2 } \right| = \sqrt {\left( {y_1^1 - y_2^1 } \right)^2 + \left( {y_1^2 - y_2^2 } \right)^2 + ... + \left( {y_1^n - y_2^n } \right)^2 } \], где \[ R_{\left( {x,y} \right)}^{n + 1} \]

- $(n+1)$- мерное пространство с декартовыми прямоугольными координатами

\[ x,y^1 ,y^2 ,...,y^n \]

?

Эта метрика, или любая другая, ей эквивалентная, например, сумма модулей от разностей одноименных координат.....