Вопросы по диффурам

[ewert]

Неправильный вопрос. Все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, поэтому не имеет значения, что понимать под знаком модуля.

[ShMaxG]

Понятно.

Еще, у нас в задании есть такая задача:

Сколько решений в зависимости от

\[ n = 1,2,3 \]

и

\[ \alpha \in R \]

имеет задача:

\[ y' = x^2 - \alpha ^2 y^2 ,y\left( 1 \right) = \alpha ,y'\left( 1 \right) = 0 \]

. Верно ли, что при $n=1$ решение есть (и единственно) только при

\[ \alpha = 1 \]

. При $n=2$ решение существует и единственно при любых "альфа", а в случае $n=3$ решения существуют и их бесконечное число. Меня просто настораживают слова "сколько решений". Правильно ли под этими словами понимать в этом случае число интегральных кривых, проходящих через данную точку?

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #180625 писал(а):

Правильно ли под этими словами понимать в этом случае число интегральных кривых, проходящих через данную точку?

Различных кривых. А как это можно понять иначе?

[ewert]

хрен его знает, скока. У Вас же в задаче эн не присутствует.

[ShMaxG]

ewert писал(а):

хрен его знает, скока. У Вас же в задаче эн не присутствует.

Прошу прощения,

\[ y^{\left( n \right)} = x^2 - \alpha ^2 y^2 \]

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #180628 писал(а):

Прошу прощения, \[ y^{\left( n \right)} = x^2 - \alpha ^2 y^2 \]

Не понял.... Получается, что при n=1 и при n>2 задача Коши поставлена некорректно:

ShMaxG в сообщении #180628 писал(а):

Прошу прощения,

\[ y^{\left( n \right)} = x^2 - \alpha ^2 y^2 \]

ShMaxG в сообщении #180625 писал(а):

\[ y\left( 1 \right) = \alpha ,y'\left( 1 \right) = 0 \]

.

[ShMaxG]

Brukvalub
В задаче не сказано, что это задача Коши.

[ewert]

в разные стороны некорректна. При $n=1$ решение возможно только в исключительных случаях (может, и в этом -- лень вникать). При $n>2$ задача недоопределена и почти наверняка к-во решений бесконечно. А вот при $n=2$ решение действительно единственно, т.к. соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #180633 писал(а):

Brukvalub
В задаче не сказано, что это задача Коши.

Вот незадача... Выходит, я сболтнул лишнего.. А мне еще военрук внушал: "Болтун - находка для шпиёнов"!

[ShMaxG]

Такой вопрос еще: могут ли 2 решения уравнения

\[y''' + xy = 0\]

касаться в одной точке и быть линейно зависимыми?

[ewert]

Конечно, могут. Одно и то же решение касается себя -- и в то же время зависимо с самим собой.

Это к тому, что вопрос как-то странно поставлен.

Ну а по существу. Множество решений взаимно однозначно соответствует множеству начальных условий. Фиксация любого конкретного линейного требования всего лишь уменьшает размерность задачи на единичку. Вот и тут: требование касания -- всего лишь делает пространство решений из трёхмерного двумерным, отчего это пространство не перестаёт быть бесконечным.

[Андрей123]

Попробуйте пойти от противного.
P.S. Я думаю в вопросе имелось ввиду быть линейно зависимыми и не совпадать.

[ShMaxG]

Да, вообще имелось ввиду, что решения эти не совпадают. Если эти функции линейно зависимы, то и их вторые производные тоже линейно зависимые. С чем находить противоречие, что-то не видно.

[Андрей123]

Я, наверное, немного поторопился. Думал из начальных условий для функций и производных следует, что константа пропорциональности равна 1, т.е. решения совпадают. Но это не так, когда эти условия нулевые. Поэтому ответ положительный. Для доказательства в качестве первого решения берем решение $y$ с начальными условиями $y_0=0,y'_0=0,y''_0=1$, а в качестве второго $2y$.

[ShMaxG]

Андрей123
А, понятно, спасибо)