Точечная частица в ПТГ Мошинского

[Munin]

VladTK в сообщении #180175 писал(а):

Но самому считать в лом

Ну не считайте! Оцените! Загоните сложности в буковку, и не считайте её. И сделайте эту буковку порядка единицы.

[homounsapiens]

Munin
КХДшному теоретику такое бы сказали - он бы повесился с тоски...

[Munin]

Да ладно, первые расчёты на таком уровне и делались...

[VladTK]

Munin писал(а):

Ну не считайте! Оцените! Загоните сложности в буковку, и не считайте её. И сделайте эту буковку порядка единицы.

Ну не я же вопросом интересовался Ладно, часть посчитал благодаря Вашей настойчивости Правда, я по ходу переиграл шары местами (т.е. нахожу силу действующую на первый шар со стороны второго) и в расчетах ось z направил по направлению оси вращения первого шара. А "оценивать" в случаях когда можно посчитать точно я не люблю. Понимаю, что нелогично, но вот...

Третье слагаемое в лагранжиане ("Ньютон" с добавками) состоит из 3 членов: первый - "чистый" Ньютон (считать как не просите не буду ), второй - релятивисткая корректировка "Ньютона" из-за изменения полной энергии, третий - тоже что и второй но с хитроумной угловой зависимостью (но в принципе ничего нового по сравнению со вторым членом). Итак второй член:

$$ 3 \int_{V_1} \int_{V_2} \frac {G \rho(\vec r_3) \rho(\vec r_4) \vec v^2(\vec r_3)} {c^2 |\vec r_3-\vec r_4|} d \vec r_3 d \vec r_4 $$

Перейдем к новым переменным:

$$ \vec r_3 = \vec r_1 + \vec r_{31} $$

$$ \vec r_4 = \vec r_2 + \vec r_{41} $$

Якобиан единичный. Сначала проинтегрируем по $\vec r_{41}$ с помощью формулы

$$ \frac {1} {|\vec r_3-\vec r_4|} = 4 \pi \sum\limits_{l=0}^{\infty} \sum\limits_{m=-l}^{l} \frac {r_4^l} {(2 l+1) r_3^{l+1}} Y_{l m} (\Omega_{r_3}) Y_{l m}^{\star} (\Omega_{r_4}) $$

с учетом ортогональности сферических функций

$$ \int_{\Omega_{r_4}} Y_{l m} (\Omega_{r_4}) Y_{l' m'}^{\star} (\Omega_{r_4}) d \Omega_{r_4} = \delta_{l l'} \delta_{m m'} $$

Получим

$$ \frac {3 G M_2 \rho_1} {c^2} \int_{V_1} \frac {\vec v^2(\vec r_1 +\vec r_{31})} {|\vec r_1-\vec r_2 + \vec r_{31}|} d \vec r_{31} $$

Далее, скорость точки определяется как

$$ \vec v = \dot \vec r_1 + \dot \vec r_{31} $$

Точка над величинами означает производную по времени. При этом последний член выражается через векторное произведение угловой скорости и радиус-вектора

$$ \vec v = \dot \vec r_1 + \vec \omega_1 \times \vec r_{31} $$

Берем квадрат скорости

$$ \vec v^2 = {\dot \vec r_1}^2 + 2 \dot \vec r_1 (\vec \omega_1 \times \vec r_{31}) + (\vec \omega_1 \times \vec r_{31})^2 $$

Второе слагаемое здесь вклада в интеграл не даст, вследствие нечетности, а последнее распишем по правилам векторной алгебры

$$ \vec v^2 = {\dot \vec r_1}^2 + \vec \omega_1^2 \vec r_{31}^2 - (\vec \omega_1 \vec r_{31})^2 $$

Собирая все в это в интеграл и производя интегрирование с помощью все тех же сферических функций окончательно получим

$$ 3 \int_{V_1} \int_{V_2} \frac {G \rho(\vec r_3) \rho(\vec r_4) \vec v^2(\vec r_3)} {c^2 |\vec r_3-\vec r_4|} d \vec r_3 d \vec r_4 = \frac {3 G M_1 M_2} {|\vec r_1 - \vec r_2|} \left ( \frac {{\dot \vec r_1}^2} {c^2} + \frac {2 \omega_1^2 R_1^2} {5 c^2} \right ) - \frac {3 G M_1 M_2 \omega_1^2 R_1^4} {35 c^2 |\vec r_1 - \vec r_2|^3} \left ( 3 \cos^2 (\theta_{r_1 r_2}) - 1 \right ) $$

Напомню, что $\vec r_1$ и $\vec r_2$ - радиус-векторы центров шаров, $\vec \omega_1$ и $\vec \omega_2$ -угловые скорости их вращения (причем ось z системы координат направлена по угловой скорости первого шара),$ M_1, M_2, R_1, R_2$ - их массы и радиусы соответственно. Хочу особо заметить, что последний член в данной формуле дает отрицательный вклад в Ньютоновскую силу при параллельных оси вращения шара и линии соединяющей центры шаров

[Munin]

Аплодирую вашему мастерству, но всё равно ж меня только скобочки интересуют. И вот они-то подозрительны: почему от угла между $\boldsymbol{\omega}_1$ и $\mathbf{r}_{12}$ зависимость есть, а угол $\boldsymbol{\omega}_1$ по боку?

[VladTK]

Потому что ось z направлена по вектору $\omega_1$. Во втором члене, который я не считал, а только прикинул что он там содержит, появляется еще вектор угловой скорости второго шара $\omega_2$

Наиболее интересны трехчастичные силы. Но там вычисления существенно сложнее и "точности" не получается. Получается бесконечный ряд по моментам. Хотя в реале из этого ряда интересуют пара слагаемых. Причем угловая зависимость еще "завернутей" чем в "Ньютоне".

[Munin]

В смысле, это у вас только половина расчёта? Тогда понятно. Я так понимаю, в другом получится та же скобочка $3\cos^2\theta-1?$

А насчёт отрицательного вклада - сравните его с соответствующим первым слагаемым. Если сравнение будет в его пользу только при $\lvert\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rvert<R_1+R_2,$ смысла в такой отрицательности за пределами условий задачи немного.

[VladTK]

Цитата:

В смысле, это у вас только половина расчёта? Тогда понятно. Я так понимаю, в другом получится та же скобочка...

Да. Причем "косинусы" будут оба отрицательны.

Цитата:

А насчёт отрицательного вклада - сравните его с соответствующим первым слагаемым. Если сравнение будет в его пользу только $|\vec r_1-\vec r_2|<R_1+R_2$ при смысла в такой отрицательности за пределами условий задачи немного.

По условию задачи $|\vec r_1-\vec r_2| \ge R_1+R_2$. Вклад "косинусов" в силу, вообще говоря, не мал по сравнению с другими добавками (по крайней мере вблизи шаров).

[Munin]

VladTK в сообщении #181030 писал(а):

По условию задачи $|\vec r_1-\vec r_2| \ge R_1+R_2$.

Вот именно.

VladTK в сообщении #181030 писал(а):

Вклад "косинусов" в силу, вообще говоря, не мал по сравнению с другими добавками (по крайней мере вблизи шаров).

Но это не значит, что превышает.

[VladTK]

Munin писал(а):

Но это не значит, что превышает.

Нет конечно. Предположим мы так зафиксировали шары, что они не могут двигаться поступательно, но могут вращаться. Тогда

$$\dot \vec r_1=\dot \vec r_2=0$$

Далее, пусть $R_1>>R_2$ Тогда при $ |\vec r_1-r_2|=R_1+R_2 $

$$ \frac {R_1^2} {|\vec r_1-\vec r_2|^2} \approx 1 $$

Ось вращения шаров пусть параллельна линии, соединяющей центры шаров

$$ \theta_{r_1 r_2}=0 $$

Тогда слагаемые в моей формуле примут вид

$$ \frac {6} {5} \frac {G M_1 M_2} {R_1} \frac {\omega_1^2 R_1^2} {c^2} $$

и

$$ - \frac {6} {35} \frac {G M_1 M_2} {R_1} \frac {\omega_1^2 R_1^2} {c^2} $$

Т.е. в максимуме отрицательная добавка равна 1/7 от положительной.

[Munin]

Интересно. То есть добавки у вас все положительны, но добавка от поворота оси вращения не равна добавке от раскручивания? Интересно, почему бы это.

[RSaulius]

VladTK в сообщении #180175 писал(а):

Но самому считать в лом Если хотите посчитайте RSaulius сами.

Не хватит у меня подготовки . Пока с Вашей и Мунина помощю пробую выяснить основные принципы ОТО , через примеры.

Munin в сообщении #179977 писал(а):

я для кого приводил? Там - это антивещество. То самое, с отрицательной энергией

Понял.
Если все-же предположить , что гравитация и антигравитация отталкивает - будет ли это противоречить принципу эквивалентности ?

[Munin]

RSaulius в сообщении #182381 писал(а):

Если все-же предположить , что гравитация и антигравитация отталкивает - будет ли это противоречить принципу эквивалентности ?

Да.

[RSaulius]

как Вы думаете , возможно ли впринципе , написать уравнения гравитации под другую симетрию мира - где гравитация и антигравитация - отталкивает , и так , чтоб эти уравнения не противоречили бы известным экспериментальным фактам ?
Ведь нет экспериментальных фактов , что противоположные грав. заряды притягиваются. Даже гравимагнитный эффект экспериментально не обнаружен ,не смотря на все старания ( кстати , в мире этой новой симетрии взаимодействие вращающихся тел ,наверно уже зависело бы от направления вращения).

[Munin]

RSaulius в сообщении #188273 писал(а):

как Вы думаете , возможно ли впринципе , написать уравнения гравитации под другую симетрию мира - где гравитация и антигравитация - отталкивает , и так , чтоб эти уравнения не противоречили бы известным экспериментальным фактам ?

Нет.

RSaulius в сообщении #188273 писал(а):

Ведь нет экспериментальных фактов , что противоположные грав. заряды притягиваются.

Есть такие факты. Это отклонение света Солнцем.

RSaulius в сообщении #188273 писал(а):

Даже гравимагнитный эффект экспериментально не обнаружен ,не смотря на все старания

То же отклонение света Солнцем.