2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение05.01.2009, 23:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Someone писал(а):
Среди записей Ферма найдено только одно доказательство, относящееся к обсуждаемой теореме - для четвёртой степени. Зато известно некоторое количество высказанных им (без доказательства) неверных утверждений. Наиболее известное из них - утверждение о том, что все числа вида $2^{2^n}+1$ при $n=0,1,2,3,\ldots$ - простые.

Верно! Но есть также письмо к де Каркави, в котором Ферма указывает также и метод, использованный им при доказательстве $4p+1=a^2+b^2$. А именно, если бы заданное простое число не было бы суммой двух квадратов, то существовало бы меньшее простое число $4p+1$, обладающее тем же свойством и т.д. Пока не было бы достигнуто число 5, которое является суммой двух квадратов.

Добавлено спустя 3 минуты 7 секунд:

Nilenbert писал(а):
Так всё-таки, а как ЭВМ использовались для доказательства? ДЛя того чтобы пересылать данные по интернету?

Я не в курсе всех дел, но могу сказать одно: сама работа проделанная Вайлсом (если вы с ней ознакомитесь) очень трудноосуществима без применения ЭВМ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 23:27 


20/07/07
834
ЭВМ могла использоваься для запуска CAS.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 23:34 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Someone писал(а):
Гы-гы-гы!!!

Ферма, надо сказать, вообще весьма любил подшучивать над современниками, высылая им всяческие задачки, решение которых он в основном заранее знал. В основном это относилось к королевскому математическому обществу в Париже, куда Ферма, считая себя провинциалом недостойным высылал пищу для размышления. От чего современники приходили в ярость. Особенно это относится к Рене Декарту, который больше всех не любил, даже ненавидел Ферма, считая вообще нецелесообразной какую-либо переписку с ним. Ферма же, в отместку, продолжал делать свои мелкие колкости и пакости. Чего стоит один только факт того, когда он предложил современникам задачку о разложении куба на сумму двух кубов. Разумеется, ее никто не решил.
Многие письма Ферма начинались с заголовка "Вызов № k Пьера де Ферма математикам"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
Мат в сообщении #174138 писал(а):
Ферма, надо сказать, вообще весьма любил подшучивать над современниками


Ладно, будем считать, что Ферма пошутил, делая запись на полях книги из личной библиотеки.

Кстати, Ферма свои ошибочные утверждения не посылал как "Вызов № ...". Он их посылал Мерсенну, что в те времена было равносильно публикации в солидном математическом журнале.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 23:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Равно как и запись о том, что все числа вида $2^{2^n}+1$ при $n=0,1,2,3,\ldots$ - простые.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:36 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Someone писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #174105 писал(а):
Мне вот Ваша информация кажется сомнительной. Двадцать лет упорного труда и всего 707 знаков


Вы недооцениваете объём вычислительной работы.


Хм... ну давайте проведём небольшую по объёму вычислительную работу, чтобы оценить степень правдоподобности высказанного утверждения.

В году 365 дней. Возможно, товарисч, о котором идёт речь, работал не каждый день, но поскольку имеется утверждение об его "упорном труде", то можно без преувеличения предположить, что шесть из семи дней каждой недели он всё же был погружён в вычисления. Отсюда вывод: каждый год он работал не менее 300 дней. Пусть для круглости будет триста.

$300 \times 20 = 6000$. Итого, на вычисление 700 знаков он потратил 6000 дней. То есть в среднем выходило около восьми-девяти дней на каждый знак.

Сколько часов в день он работал? Раз речь идёт об "упорном труде", то логично предположить, что не менее стандартного рабочего дня, то есть часов по 8. Но пусть будет 5. Восемь часов вычислений --- слишком утомительно для организма, а пять выглядит довольно правдоподобно.

Умножаем 5 на 8 и получаем, что на каждый знак после запятой в среднем тратилось около сорока часов. И вот в это верится с трудом. Что там за работа такая может быть?

Конечно, все эти умозаключения есть просто трёп на пустом месте, ибо мы не знаем, каким методом он вычислял эти знаки.

Я вот, к сожалению, плохо знаком с методами вычисления подобных вещей. На ум приходит только ряд

$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

Вычислять $\pi$ через этот ряд с точностью до $10^{-707}$ --- удовольствие сомнительное. Приходится брать квадратный корень из вычисленной частичной суммы но не это главное. А главное то, с какой скоростью ряд сходится? Точнее, существует ли достаточно "хорошая" оценка остаточного члена? Боясь ошибиться, всё же прикину, что если заменить ряд интегралом и оценивать остаточный член через интеграл, будет что-то вроде

$$
\sum_{i=n}^\infty \frac{1}{i^2} = O\left(\frac{1}{n}\right)
$$

Н-да, даже с учётом квадратного корня как-то не очень улыбается суммировать порядка $10^{350}$ членов ряда. Это даже компьютеру неподвластно! Так что вычислял он всё как-то по-другому, более эффективным методом. Должен, явно должен быть какой-то ряд, сходящийся к $\pi$ с оценкой остатка $O(1/n^\alpha)$ при $\alpha > 1$.

Если интересно, давайте обсудим существующие на данный момент и известные в XIX веке методы вычисления числа $\pi$. Я тут, как окружающие уже поняли, немного "не в теме", но, надеюсь, пойму то, что мне расскажут. Дабы не флудить здесь, заведу соответствующую тему.

А каковы инструменты? Компьютер, естественно, не дозволяется. Дозволяются арифмометр, логарифмическая линейка, всевозможные таблицы логарифмов и т. п... Короче, я слегка в недоумении, но всё равно в 707 знаков за 20 лет упорного труда не верю. Должно быть больше, гораздо больше!!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:40 


20/07/07
834
Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
Например, в своём письме к Мерсенну от 1641 года П.Ферма сформулировал следующие теоремы.

1. Ни одно из простых чисел вида $12k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
2. Ни одно из простых чисел вида $12k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
3. Ни одно из простых чисел вида $10k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.
4. Ни одно из простых чисел вида $10k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.

Три из этих теорем неверны.

М.М.Постников в своей книге о великой теореме Ферма пишет, что известно только одно полное доказательство Ферма, относящееся к теории чисел - это доказательство ВТФ для четвёртой степени. Другие его доказательства не сохранились и были восстановлены позже другими математиками (в основном, Л.Эйлером).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:46 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Nxx писал(а):
Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.


Что это за формула? И была ли она известна в XIX веке? Если можно, то напишите ответ здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:47 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Nxx писал(а):
Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

угу, только в двоичной системе счисления

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:49 


20/07/07
834
MaximKat писал(а):
Nxx писал(а):
Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

угу, только в двоичной системе счисления


В любой системе счисления. Например, в 16-ричной:

http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html

Цитата:
И была ли она известна в XIX веке?

Нет. Открыта в 1995 году.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:51 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Nxx в сообщении #174178 писал(а):
В любой системе счисления. Например, в 16-ричной:

а в десятичной слабо? ;)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:51 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Someone писал(а):
Например, в своём письме к Мерсенну от 1641 года П.Ферма сформулировал следующие теоремы.

1. Ни одно из простых чисел вида $12k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
2. Ни одно из простых чисел вида $12k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
3. Ни одно из простых чисел вида $10k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.
4. Ни одно из простых чисел вида $10k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.

Три из этих теорем неверны.


Меня это сейчас очень порадовало, поскольку подтверждает высказанный ранее тезис. Пьер Ферма был, конечно, гениальным математиком, но всё-таки всего лишь человеком. А человеку свойственно ошибаться.

Ну не мог он обладать корректным доказательством, которое за 300 лет никому не удавалось найти! Я верю в то, что короткого доказательства ВТФ, доступного современникам Пьера Ферма, просто не существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #174168 писал(а):
Короче, я слегка в недоумении, но всё равно в 707 знаков за 20 лет упорного труда не верю. Должно быть больше, гораздо больше!!!


Возможно, он пользовался формулой Мэчина: $\pi=16\arctg\frac 15-4\arctg\frac 1{239}$ (естественно, арктангенсы нужно разложить в степенной ряд).
А насколько "упорно" он занимался этими вычислениями, мы можем только гадать

Добавлено спустя 3 минуты 33 секунды:

Профессор Снэйп в сообщении #174181 писал(а):
Я верю в то, что короткого доказательства ВТФ, доступного современникам Пьера Ферма, просто не существует.


Более того, элементарными методами, доступными Ферма, удаётся доказать теорему только для четвёртой степени.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 01:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Someone писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #174168 писал(а):
Короче, я слегка в недоумении, но всё равно в 707 знаков за 20 лет упорного труда не верю. Должно быть больше, гораздо больше!!!


Возможно, он пользовался формулой Мэчина: $\pi=16\arctg\frac 15-4\arctg\frac 1{239}$ (естественно, арктангенсы нужно разложить в степенной ряд).
А насколько "упорно" он занимался этими вычислениями, мы можем только гадать


Ага! А

$$
(\arctg x)' = \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots
$$

и, значит,

$$
\arctg x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}
$$

Всё сходится очень быстро, так что если за 20 лет было вычислено всего лишь 707 знаков, то труд был весьма не упорным :) Так что, возможно, байка про шведа с его 400000 знаками за 40 лет вполне правдива :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: StepV


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group