Какие вопросы актуальны в современной математике

[Мат]

Someone писал(а):

Например, в своём письме к Мерсенну от 1641 года П.Ферма сформулировал следующие теоремы.

1. Ни одно из простых чисел вида $12k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
2. Ни одно из простых чисел вида $12k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
3. Ни одно из простых чисел вида $10k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.
4. Ни одно из простых чисел вида $10k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.

Три из этих теорем неверны.

М.М.Постников в своей книге о великой теореме Ферма пишет, что известно только одно полное доказательство Ферма, относящееся к теории чисел - это доказательство ВТФ для четвёртой степени. Другие его доказательства не сохранились и были восстановлены позже другими математиками (в основном, Л.Эйлером).

Какие именно три? Из них только два неверны

[Nxx]

MaximKat писал(а):

Nxx в сообщении #174178 писал(а):

В любой системе счисления. Например, в 16-ричной:

а в десятичной слабо?

Формула распространяется на любые основания:

http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_n2/pi_n2.html

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #174190 писал(а):

Так что, возможно, байка про шведа с его 400000 знаками за 40 лет вполне правдива

На мой взгляд, совершенно неправдоподобна. Да и нигде этот швед не упоминается. Как бы могли мимо этого пройти, если в середине XX века на компьютерах вычисляли первые тысячи десятичных цифр числа $\pi$?

Добавлено спустя 1 минуту 14 секунд:

Мат в сообщении #174195 писал(а):

Какие именно три? Из них только два неверны

1, 3 и 4.

[Мат]

Хммм... надо подумать. Действительно, удивительные утверждения! Действительно 3 неверны:
$3^5+1\div (12*5+1)$
$5^7+1\div (10*3-1)$
$5^{11}+1\div (10*528+1)$

[Nilenbert]

Вот краткая биография Шэнкса:
William Shanks

[MaximKat]

Nxx в сообщении #174198 писал(а):

Формула распространяется на любые основания:
http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_n2/pi_n2.html

вообще-то там говорится про вычисления за $O(n^2)$, что гораздо менее интересно

[Nxx]

MaximKat писал(а):

Nxx в сообщении #174198 писал(а):

Формула распространяется на любые основания:
http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_n2/pi_n2.html

вообще-то там говорится про вычисления за $O(n^2)$, что гораздо менее интересно

BPP имеет сложность

$$O(n \log^3 (n))$$

. Разница невелика - ведь если ты знаешь пи в 16-ричной или двоичной системе счисления, ее легко перевести в десятичную.

При том, это сложность вычисления всего числа пи до n-го знака, а не конкретной цифры. Сложность вычисления конкретной цифры гораздо меньше (линейная).

[MaximKat]

разница между $O(n\log^3(n))$ и $O(n^2)$ существенная

Nxx в сообщении #174211 писал(а):

При том, это сложность вычисления всего числа пи до n-го знака, а не конкретной цифры. Сложность вычисления конкретной цифры гораздо меньше (линейная).

источник

[Nxx]

Вот, кстати, дальнейшее улучшение алгоритма для основания 10:

http://numbers.computation.free.fr/Cons ... ldigit.pdf


Сложность

$$O(n^2 \log \log n / \log^2 n)$$

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #174190 писал(а):

Так что, возможно, байка про шведа с его 400000 знаками за 40 лет вполне правдива

На мой взгляд, совершенно неправдоподобна.

Я теперь, пожалуй, сам склоняюсь к мысли, что история не имела места быть. Что-то я, видать, от себя додумал, год за годом прибавляя новые удивительные подробности к этой истории. Вспоминается анекдот про литературу.

Слухи. Первый человек второму: вчера Пушкин, проходя возле дворца, увидел выходящую с бала Наталью Гончарову и поздоровался с ней кивком головы. Второй человек третьему: вчера Пушкин после бала поздоровался с Натальей Гончаровой. Третий четвёртому: Пушкин после бала говорил с Натальей и расточал ей комплименты... Десятый человек одиннадцатому: Пушкин танцевал на балу с Натальей Гончаровой и делал ей недвусмысленные предложения. Одиннадцатый двенадцатому: Пушкин танцевал с Натальей, а после бала они, возможно, уединились, так как их никто не видел... Сотый сто первому: ой, что было, расскажу, не поверите; иду я по лесу и вижу, сидит Гоголь на пеньке, занимается онанизмом!

А тут, похоже, все сто уместились в одной голове

Но всё равно удивительно: ряды с арктангенсами сходятся досточно быстро, а люди десятками лет считали какие-то жалкие семь сотен знаков!

[Мат]

Скажите пожалуйста, Someone, а нет ли у Вас случайно доказательства второго утверждения и доказано ли оно?

[Someone]

В.Серпинский в книжечке "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах" утверждает, что доказано. Но без ссылок на кого-либо конкретного.

[Коровьев]

Доказательство этого утверждения Ферма не сложно - несколько строк/без воды/. Правда, необходимо знание основ теории чисел хотя б на уровне книги Виноградова - сравнения, первообразные корни, символ Лежандра.
Этого всего при Ферма не было. Но и отрицать элементарного доказательства на основе знаний тех лет нет оснований. Однако три неверных предпосылки из четырёх многовато, чтобы доверять Ферма в существовании у него доказательства второй предпосылки.

[Мат]

Коровьев писал(а):

Доказательство этого утверждения Ферма не сложно - несколько строк/без воды/. Правда, необходимо знание основ теории чисел хотя б на уровне книги Виноградова - сравнения, первообразные корни, символ Лежандра.
Этого всего при Ферма не было. Но и отрицать элементарного доказательства на основе знаний тех лет нет оснований. Однако три неверных предпосылки из четырёх многовато, чтобы доверять Ферма в существовании у него доказательства второй предпосылки.

Понимаю. Сравнения, первообразные корни, символ Лежандра. Это все понятно. Но позвольте Вам возразить, чего я не сделал Someone'у
Как видно из моих проверок, найденных буквально за 5 минут, что уже $3^5+1|(12*5+1)$ - простое.
А теперь подумайте. Неужели если я нашел это за 5 минут, Ферма не смог этого понять и послал письмо Мерсенну, что было

Цитата:

равносильно публикации в солидном математическом журнале?

Как Вы полагаете? У Ферма иногда наступали приступы слабоумия и он не мог понять абсолютно элементарных вещей?
Нет. Никто из историков не мог бы упрекнуть Ферма в слабоумии и можно было бы назвать его сумасшедшим, если не принять во внимание одну вещь:
Неверные письма он посылал современникам (и отцу Мереснну в том числе) специально. Заведомо спрятав среди трех неверных утверждений одно гениальное. Верное. Которое, я уверен, нельзя доказать (до сих пор) методами элементарной математики. Если Вы хотите понять зачем? То отвечу так. Для этого надо слишком хорошо понять "провинциала" Ферма, жаждущего славы перед лицом столичного королевского общества в Париже, которое в лице Декарта обвиняло его в несостоятельности, слабости, ненужности и проч. Вы должны понять

[Коровьев]

Вы забыли в конце своего поста поставить ИМХО.
ИМХО.