Какие вопросы актуальны в современной математике

[Мат]

Someone писал(а):

Среди записей Ферма найдено только одно доказательство, относящееся к обсуждаемой теореме - для четвёртой степени. Зато известно некоторое количество высказанных им (без доказательства) неверных утверждений. Наиболее известное из них - утверждение о том, что все числа вида $2^{2^n}+1$ при $n=0,1,2,3,\ldots$ - простые.

Верно! Но есть также письмо к де Каркави, в котором Ферма указывает также и метод, использованный им при доказательстве $4p+1=a^2+b^2$. А именно, если бы заданное простое число не было бы суммой двух квадратов, то существовало бы меньшее простое число $4p+1$, обладающее тем же свойством и т.д. Пока не было бы достигнуто число 5, которое является суммой двух квадратов.

Добавлено спустя 3 минуты 7 секунд:

Nilenbert писал(а):

Так всё-таки, а как ЭВМ использовались для доказательства? ДЛя того чтобы пересылать данные по интернету?

Я не в курсе всех дел, но могу сказать одно: сама работа проделанная Вайлсом (если вы с ней ознакомитесь) очень трудноосуществима без применения ЭВМ.

[Nxx]

ЭВМ могла использоваься для запуска CAS.

[Мат]

Someone писал(а):

Гы-гы-гы!!!

Ферма, надо сказать, вообще весьма любил подшучивать над современниками, высылая им всяческие задачки, решение которых он в основном заранее знал. В основном это относилось к королевскому математическому обществу в Париже, куда Ферма, считая себя провинциалом недостойным высылал пищу для размышления. От чего современники приходили в ярость. Особенно это относится к Рене Декарту, который больше всех не любил, даже ненавидел Ферма, считая вообще нецелесообразной какую-либо переписку с ним. Ферма же, в отместку, продолжал делать свои мелкие колкости и пакости. Чего стоит один только факт того, когда он предложил современникам задачку о разложении куба на сумму двух кубов. Разумеется, ее никто не решил.
Многие письма Ферма начинались с заголовка "Вызов № k Пьера де Ферма математикам"

[Someone]

Мат в сообщении #174138 писал(а):

Ферма, надо сказать, вообще весьма любил подшучивать над современниками

Ладно, будем считать, что Ферма пошутил, делая запись на полях книги из личной библиотеки.

Кстати, Ферма свои ошибочные утверждения не посылал как "Вызов № ...". Он их посылал Мерсенну, что в те времена было равносильно публикации в солидном математическом журнале.

[Мат]

Равно как и запись о том, что все числа вида $2^{2^n}+1$ при $n=0,1,2,3,\ldots$ - простые.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #174105 писал(а):

Мне вот Ваша информация кажется сомнительной. Двадцать лет упорного труда и всего 707 знаков

Вы недооцениваете объём вычислительной работы.

Хм... ну давайте проведём небольшую по объёму вычислительную работу, чтобы оценить степень правдоподобности высказанного утверждения.

В году 365 дней. Возможно, товарисч, о котором идёт речь, работал не каждый день, но поскольку имеется утверждение об его "упорном труде", то можно без преувеличения предположить, что шесть из семи дней каждой недели он всё же был погружён в вычисления. Отсюда вывод: каждый год он работал не менее 300 дней. Пусть для круглости будет триста.

$300 \times 20 = 6000$. Итого, на вычисление 700 знаков он потратил 6000 дней. То есть в среднем выходило около восьми-девяти дней на каждый знак.

Сколько часов в день он работал? Раз речь идёт об "упорном труде", то логично предположить, что не менее стандартного рабочего дня, то есть часов по 8. Но пусть будет 5. Восемь часов вычислений --- слишком утомительно для организма, а пять выглядит довольно правдоподобно.

Умножаем 5 на 8 и получаем, что на каждый знак после запятой в среднем тратилось около сорока часов. И вот в это верится с трудом. Что там за работа такая может быть?

Конечно, все эти умозаключения есть просто трёп на пустом месте, ибо мы не знаем, каким методом он вычислял эти знаки.

Я вот, к сожалению, плохо знаком с методами вычисления подобных вещей. На ум приходит только ряд

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

Вычислять $\pi$ через этот ряд с точностью до $10^{-707}$ --- удовольствие сомнительное. Приходится брать квадратный корень из вычисленной частичной суммы но не это главное. А главное то, с какой скоростью ряд сходится? Точнее, существует ли достаточно "хорошая" оценка остаточного члена? Боясь ошибиться, всё же прикину, что если заменить ряд интегралом и оценивать остаточный член через интеграл, будет что-то вроде

$$ \sum_{i=n}^\infty \frac{1}{i^2} = O\left(\frac{1}{n}\right) $$

Н-да, даже с учётом квадратного корня как-то не очень улыбается суммировать порядка $10^{350}$ членов ряда. Это даже компьютеру неподвластно! Так что вычислял он всё как-то по-другому, более эффективным методом. Должен, явно должен быть какой-то ряд, сходящийся к $\pi$ с оценкой остатка $O(1/n^\alpha)$ при $\alpha > 1$.

Если интересно, давайте обсудим существующие на данный момент и известные в XIX веке методы вычисления числа $\pi$. Я тут, как окружающие уже поняли, немного "не в теме", но, надеюсь, пойму то, что мне расскажут. Дабы не флудить здесь, заведу соответствующую тему.

А каковы инструменты? Компьютер, естественно, не дозволяется. Дозволяются арифмометр, логарифмическая линейка, всевозможные таблицы логарифмов и т. п... Короче, я слегка в недоумении, но всё равно в 707 знаков за 20 лет упорного труда не верю. Должно быть больше, гораздо больше!!!

[Nxx]

Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

[Someone]

Например, в своём письме к Мерсенну от 1641 года П.Ферма сформулировал следующие теоремы.

1. Ни одно из простых чисел вида $12k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
2. Ни одно из простых чисел вида $12k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
3. Ни одно из простых чисел вида $10k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.
4. Ни одно из простых чисел вида $10k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.

Три из этих теорем неверны.

М.М.Постников в своей книге о великой теореме Ферма пишет, что известно только одно полное доказательство Ферма, относящееся к теории чисел - это доказательство ВТФ для четвёртой степени. Другие его доказательства не сохранились и были восстановлены позже другими математиками (в основном, Л.Эйлером).

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

Что это за формула? И была ли она известна в XIX веке? Если можно, то напишите ответ здесь.

[MaximKat]

Nxx писал(а):

Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

угу, только в двоичной системе счисления

[Nxx]

MaximKat писал(а):

Nxx писал(а):

Вообще-то, есть формула для вычисления конкретного знака числа пи. Хоть стамиллионного. Без вычисления предыдущих.

угу, только в двоичной системе счисления

В любой системе счисления. Например, в 16-ричной:

http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html

Цитата:

И была ли она известна в XIX веке?

Нет. Открыта в 1995 году.

[MaximKat]

Nxx в сообщении #174178 писал(а):

В любой системе счисления. Например, в 16-ричной:

а в десятичной слабо?

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Например, в своём письме к Мерсенну от 1641 года П.Ферма сформулировал следующие теоремы.

1. Ни одно из простых чисел вида $12k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
2. Ни одно из простых чисел вида $12k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $3^n+1$.
3. Ни одно из простых чисел вида $10k+1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.
4. Ни одно из простых чисел вида $10k-1$ не является делителем ни одного из чисел вида $5^n+1$.

Три из этих теорем неверны.

Меня это сейчас очень порадовало, поскольку подтверждает высказанный ранее тезис. Пьер Ферма был, конечно, гениальным математиком, но всё-таки всего лишь человеком. А человеку свойственно ошибаться.

Ну не мог он обладать корректным доказательством, которое за 300 лет никому не удавалось найти! Я верю в то, что короткого доказательства ВТФ, доступного современникам Пьера Ферма, просто не существует.

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #174168 писал(а):

Короче, я слегка в недоумении, но всё равно в 707 знаков за 20 лет упорного труда не верю. Должно быть больше, гораздо больше!!!

Возможно, он пользовался формулой Мэчина: $\pi=16\arctg\frac 15-4\arctg\frac 1{239}$ (естественно, арктангенсы нужно разложить в степенной ряд).
А насколько "упорно" он занимался этими вычислениями, мы можем только гадать

Добавлено спустя 3 минуты 33 секунды:

Профессор Снэйп в сообщении #174181 писал(а):

Я верю в то, что короткого доказательства ВТФ, доступного современникам Пьера Ферма, просто не существует.

Более того, элементарными методами, доступными Ферма, удаётся доказать теорему только для четвёртой степени.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #174168 писал(а):

Короче, я слегка в недоумении, но всё равно в 707 знаков за 20 лет упорного труда не верю. Должно быть больше, гораздо больше!!!

Возможно, он пользовался формулой Мэчина: $\pi=16\arctg\frac 15-4\arctg\frac 1{239}$ (естественно, арктангенсы нужно разложить в степенной ряд).
А насколько "упорно" он занимался этими вычислениями, мы можем только гадать

Ага! А

$$ (\arctg x)' = \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots $$

и, значит,

$$ \arctg x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} $$

Всё сходится очень быстро, так что если за 20 лет было вычислено всего лишь 707 знаков, то труд был весьма не упорным Так что, возможно, байка про шведа с его 400000 знаками за 40 лет вполне правдива