Геометрия и алгебра

[Slim]

Скоро сессия, поэтому нужно поскорее решать контрольные (заочник)
Стопор на двух задачах.
Первая
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти:
1) синус угла между ребром A1A4 и гранью A1A2A3;
2) площадь грани A1A2A3;
3) объем пирамиды A1A2A3A4;
4) длину высоты, опущенной из точки A4 на грань A1A2A3;
5) координаты точки A5, симметричной точке A4 относительно грани
A1A2A3.

Эту задачу я решил кроме пятого пункта. Тут даже не знаю с какого места приложиться.

Вторая задача
Линия задана уравнением p=p(e) в полярной системе ко-
ординат. Требуется:
1)построитьлиниюпоточкам,придавая e значениячерезпромежуток
П/4;
2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox – с полярной осью.


Тут я вообще засел. Знаете ведь как преподают заочникам.

Помогите пожалуйста, направьте в нужное русло...

[GAA]

1.5 Шаги решения:
A. Найти общее уравнение плоскости $\alpha$, содержащую грань $A_1, A_2, A_3$.
B. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через $A_4$ и перпендикулярной плоскости $\alpha$.
C. Найти значение параметра $t^*$, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости.
D. Найти точку $A_c(x_c, y_c, z_c)$ пересечения прямой и плоскости.
E. Считая $A_c(x_c, y_c, z_c)$ серединой отрезка $A_4, A_5$, используя формулы координат середины отрезка, найти $A_5$.

Добавлено спустя 6 минут 59 секунд:

2. Не приведено конкретное уравнение кривой $\rho = \rho(\varphi)$.
2.2 Воспользуйтесь формулами перехода из полярной в прямоугольную систему координат (эти формулы приводятся в учебниках по аналитической геометрии).

Добавлено спустя 8 минут 54 секунды:

Если у Вас нет учебника, попробуйте скачать его с какого-нибудь сайта. Например, можно посмотреть учебники по аналитической геометрии на EqWorld. Или в других местах: [1] Ильин В.А. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия

[Slim]

Кажется она должна проще решаться. Задача в разрезе векторной алгебры. Первые четыре пункта решались достаточно просто.

Спасибо за ссылку к книге.
По второму заданию \rho = 3(1- 2$\cos \omega).

[vvvv]

Slim,по задаче №5 сделайте так:
1.Через точки А1,А2, А3 проведите плоскость.
2.Через точку А4 проведите прямую ,перпендикулярную
вышепостроенной плоскости.
3.Найдите точку пересечения плоскости из пункта 1, и
прямой из пункта 2. (пусть это будет точка О).
4.На прямой (из пункта 2) найдите точку (А5), которая
находится по другую сторону плоскости относительно
точки А4 и на расстоянии от точки О равном расстоянию
точки А4 от точки О.
Желаю успеха.

[Slim]

Ну перпендикуляр у меня есть - он получился из других пунктов задачи. Его длинна тоже есть - значит удаление от плоскости найти можно. Значит мне видимо нужно найти уравнение прямой, проходящую через плоскость, и тогда я могу вычислить координаты ее любой точки? И как тогда выглядят координаты начала и конца отрезка.

[GAA]

Моя схема решения и сема решения vvvv, по существу, отличаются только последним пунктом. Если формула середины отрезка не входить в программу, делайте последний пункт, как предложил vvvv. Решать за Вас — неэтично, и это есть нарушение правил Форума.

[Slim]

Нет нет, не в коем случае не решать - у меня ж еще и экзамен будет.

[GAA]

На каждой станице сверху написано: «Для набора любых формул следует использовать тег [math]. В противном случае сообщение будет отправлено в карантин.» Отредактируйте полярное уравнение кривой!

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

Выполняйте указанные Вам шаги решения и записывайте результаты, используя принятые на Форуме средства набора формул, и Вам, возможно, помогут в решении.

[Slim]

В общем дорогие друзья хочу проверить верно ли я решил.
Для задания пять вершины пирамиды следующие:
A_{1}(-3;-1;0), A_{2}(1;2;-5), A_{3}(-3;0;-1), A_{4}(2;5;-4)
Для решения задания "вычислим" общее уравнение плоскости, на которой лежит грань А_1$,А_2$,А_3$. Для этого нужно взять любую точку, лежащую на этой плоскости и нормальный вектор к плоскости. Нормальный вектор к плоскости - вектор, перпендикулярный плоскости, мы можем узнать исходя из свойств векторного произведения двух векторов, лежащих в этой плоскости.
У нас такими векторами является $\overrightarrow {$А_1$А_2}$\times $\overrightarrow {$А_1$А_3}$.
Данные вектора в координатной форме будут выглядеть как: $\overrightarrow {$А_1$А_2} = (4;3;-5); $\overrightarrow {$А_1$А_3}=(0;1;-1)

Их векторное произведение будет: $ \left| \begin{array}{ccc} i&j&k\\ 4&3&-5\\ 0&1&-1\\ \end{array} \right | $ = 2$i + 4$j + 4$k

Координаты вектора, назовем его $\overrightarrow {N}=($2;$4;$4)
Формула вычисления общего уравнения плоскости выглядит :$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0)=0$ где $A,B,C$ - координаты нормального вектора и x_0,y_0,z_0 - координаты точки, через которую проходит плоскост - А_1
Итак получаем уравнение вида: $x+2$y+2$z+5=0

Итак мы имеем - уравнение плоскости и знаем что точка, которая лежит симмитрично лежит на прямой, проходящей через A_4 которая пересекает плоскость в определенной точке, делящей эту прямую пополам.

Пересечение прямой и плоскости решается путем решения системы уравнений прямой и плоскости вместе.
К сожалению уравнения прямой мы не знаем. Нам нужна прямая, перпендикулярная плоскости и проходящая через A_4. Для вычисления уравнения прямой нам хватит направляющего вектора и точки. За направляющий вектор возмем наш нормальный вектор. Уравнения прямой можно представить в нескольких видах, но мне подсказали что нужно именно параметрическом (действительно, тогда не решить систему).

Итак параметрическое уравнение прямой будет выглядеть так : $ \left\{ \begin{array}{l} x=2+2t,\\ y=5+4t,\\ z=-4+4t \end{array} \right. $

а точка пересечения будет вычисляться системой $ \left\{ \begin{array}{l} x=2+2t,\\ y=5+4t,\\ z=-4+4t,\\ x+2y+2z+5=0 \end{array} \right. $

в уравнение плоскости подставим $x,$y,$z из друх уравнений системы вычислим $t=-\frac{1}{2}
подставим $t в другие системы уравнений и подучим $x=1, $y=3,$z=-6

Это координаты пересечения плоскости и прямой. Соответственно если это координаты середины, то координаты конца отрезка вычислим по двум точкам и по формулам середины отрезка: $x=\frac{x-x_0}{2},$y=\frac{y-y_0}{2},$z=\frac{z-z_0}{2}, где $x,$y,$z - координаты точки A_4, а $x_0,$y_0,$z_0 - искомые координаты конца отрезка.

Получаем $x=0, $y=1,$z=-8

Определитель теперь посчитан верно. Решение правильное

[GAA]

В наборе формул допущено большое число огрех. Крайне желательно отредактировать. Дело в том, что если эту тему поместят в карантин, то и последующие (даже написанные без недостатков) могут перемещаться в карантин до исправления первой темы. Может эта тема и не нуждается в обсуждении на Форуме, но Форум Вам может пригодиться в более трудных задачах.
1. Проверьте, нет ли в формулах «кириллицы» (буквы, набранные кириллицей, не отображаются).

Slim писал(а):

А_{1}(-3;-1;0), А_{2}(1;2;-5), А_{3}(-3;0;-1), А_{4}(2;5;-4)

2. Формулы и переменные следует окружать символами доллара (тег math для формул не всегда обязателен — для формул без переноса на новую строку он будет установлен автоматически, если будет стоять символ доллара).
3. Внутри формулы не следует ставить символы доллара (Вы это делаете в системах).

По решению.
1. Определитель, выражающий векторное произведение, записан с опечаткой. Если даже считать, что он записан верно, то все равно у меня получается другой результат. У меня получается отличный от Вашего результат и в том случае, если определитель записать правильно.
2.

Slim писал(а):

Итак мы имеем - уравнение плоскости и знаем что точка, которая лежит симметрично лежит на прямой, проходящей через $A_4$, которая пересекает плоскость в определенной точке, делящей эту прямую пополам.

Не прямую, а отрезок.
3. Значение параметра, соответствующее точке пересечения, лучше обозначить другой буквой, например, $t_0$, если координаты точки пересечения обозначить через $x_0$, $y_0$, $z_0$; либо $t_c$, если координаты точки пересечения обозначить через $x_c$, $y_c$, $z_c$.

[Slim]

Цитата:

1. Определитель, выражающий векторное произведение, записан с опечаткой. Если даже считать, что он записан верно, то все равно у меня получается другой результат. У меня получается отличный от Вашего результат и в том случае, если определитель записать правильно.

Да действительно определитель записан с опечаткой - но вычислен правильно. Я пересчитал снова получился тот же ответ.
Не прямую, а отрезок.

Цитата:

3. Значение параметра, соответствующее точке пересечения, лучше обозначить другой буквой, например, $t_0$, если координаты точки пересечения обозначить через $x_0$, $y_0$, $z_0$; либо $t_c$, если координаты точки пересечения обозначить через $x_c$, $y_c$, $z_c$.

За это тоже спасибо. Но все таки - в остальном все верно?
Определитель посчитан верно.

З.Ы. формулы подправил

[GAA]

Определитель найден неверно.

[Slim]

Все, определитель пересчитал - где-то ошибся знаком. Вследствие этого все дальнейшие расчеты были неверны.
Я исправил все в посте с решением.
Надеюсь сейчас все верно. Главное чтобы ход событий был верным. Верный ли?

Теперь осталось со второй задачей - Точки по уравнению я нашел подставляя косинус угла в уравнение. Проблема с вычислением уравнения кривой в прямоугольной системе координат.

А да, еще вот пересчитав определитель - у меня получилась странная величина длинны высоты. Ох уж эта математика....


Добавлено: е мое, посмотрел на точки полученные с помощью подстановки косинуса - получилась по моему парабола с вершиной в $\pi

[GAA]

1. Определитель вычислен неправильно. Проще всего его найти «разложением по первой строке» (Этот способ вычисления определителе Вы знать обязаны. Причем многие преподаватели при защите контрольной работы требуют вычислить определитель этим способом, если в контрольной работе он был вычислен другим). Приведите подробное вычисление определителя и Вам помогут найти ошибку.
2. Приведите (перепишите из конспекта или учебника) формулы перехода из полярной в прямоугольную систему координат. И выполняйте переход по этим формулам. Четко укажите, в каком месте у вас возникает затруднение. Полярный угол обозначается через $\varphi$. Укажите на рисунок этой буквы мышью, чтобы увидеть

$\varphi$

[Slim]

Странно конечно - возможно я уже просто запутался во всем ведь приходится проходить курс алгебры и геометрии заново самому.

Определитель я вычислял по методу треугольника. Вычислял не правильно. Теперь поднял книги, пересчитал. Выглядит это так: Сумма произведений элементов главной диагонали, элементов образующих треугольник над главной диагональю и элементов образующих треугольник под главной диагональю минус разница того же самого но с второй диагональю. Вот как это выглядело:$\left| \begin{array}{ccc}i&j&k\\4&3&-5\\0&1&-1\\\end{array} \right | =$-3i + 4k + 0 - 0 + 5i + 4j = 2i + 4j + 4k$

Методом "вычерка строки" получается так:

$\left| \begin{array}{ccc}i&j&k\\4&3&-5\\0&1&-1\\\end{array} \right | = i \left| \begin{array}{cc}3&-5\\1&-1\\\end{array} \right | + j \left| \begin{array}{cc}4&-5\\0&-1\\\end{array} \right | + k \left| \begin{array}{cc}4&3\\0&1\\\end{array} \right | = $2i - 4j + 4k $

И какой после этого правильный результат?