Геометрия и алгебра

[Slim]

Спасибо всем большое!!! Вы делаете хорошее дело!!! Огромное спасибо!!!

[Slim]

Дорогие форумчане!!! Сессия вот вот уже на носу. А у меня не решено еще несколько задач. Дело в том что нам вообще не дали раздел линейной и высшей алгебры. А литература, которую дали для ознакомления - она очень сложная для понимания на лету (с аналитической геометрией было проще). Да и вообще по программе почему-то на линейную алгебру уделяется всего два часа.

В связи с этим встает вопрос. Или уже не париться и заказать решение платно у кого-нибудь. Или быстро разобраться самому. Только вот самому не получается. Поэтому я опять с поклоном к вам. Скажите, реально ли за сутки-полтора узнать все что необходимо для решения этих задач? Возможно кто сможет поможет. Я рад буду принять любой сове, помощь и т.д.

1.Найти матрицу заданного линейного преобразования (оператора), указать его область значений и ядро.Оператор поворота относительно оси $Oy$ на угол $\pi/4$ в положительном направлении.

2.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы. $ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{ccc} 7 & -6 & 6 \\ 4 & -1 & 4 \\ 4 & -2 & 5 \end{array} \right) $

3.Привести кривую второго порядка к каноническому виду,сделать чертеж в канонической системе координат. $4x^2 +4y^2 +10xy- 32 \sqrt{2x}- 40\sqrt{ 2y} +137 = 0$

4.Решить уравнение в поле вычетов по модулю $p$... $x^2 +6x+6 = 0$ в $\mathbb Z_{13}$

5.Выяснить, образует ли указанное множество кольцо относительно обычных операций сложения и умножения .Множество матриц вида $ \left( \begin{array}{cc} x & y \\ -y & x \end{array} \right) $
, где $x,y \in \mathbb Z$

[Таня Тайс]

Slim в сообщении #174650 писал(а):

реально ли за сутки-полтора узнать все что необходимо для решения этих задач?

Да, задачи довольно простые. Вам нужно знать все определения, и только. Предлагаю Вам начать решать.

[Slim]

Может посоветуете литературу попроще? Я бы начал да не знаю с чего

[Cat]

Кострикина можно посмотреть, Линейную алгебру.

[Профессор Снэйп]

Эти задачи гораздо проще, чем тот \LaTeX, которым Вы пользовались для их набора Обычно люди сначала учатся перемножать матрицы, а потом узнают, как их набирать в \LaTeX. Первый раз вижу обратное!

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

Re: Линейная алгебра. Help

Slim писал(а):

Скажите, реально ли за сутки-полтора узнать все что необходимо для решения этих задач?

Думаю, что реально за полсуток. Хотя, конечно, всё от скорости мозга зависит И от предварительной подготовки.

Вот, к примеру, задача номер 5. Вы что, в самом деле матрицы перемножать не умеете? Или не знаете, что такое кольцо?

[Slim]

Цитата:

Кострикина можно посмотреть, Линейную алгебру.

Есть такая книжка

Цитата:

Эти задачи гораздо проще, чем тот \LaTeX, которым Вы пользовались для их набора Smile Обычно люди сначала учатся перемножать матрицы, а потом узнают, как их набирать в \LaTeX. Первый раз вижу обратное! Smile

Эх мне бы так считать

Цитата:

Думаю, что реально за полсуток. Хотя, конечно, всё от скорости мозга зависит Smile И от предварительной подготовки.

Вот, к примеру, задача номер 5. Вы что, в самом деле матрицы перемножать не умеете? Или не знаете, что такое кольцо?

Что такое кольцо не знаю. Матрицы перемножать умею. Поможешь мне если что, вдруг вопросы будут, я буду спрашивать, ок?

[alleut]

я бы на вашем месте поступил так (для каждой задачи):
1) посмотрел бы неизвестные мне терминыы в
-википедии
-математической энциклопедии
-учебнике
-гугле, наконец
2) нашел бы в книге главу и параграф, соотв. задаче. посмотрел бы там все примеры
3) попытался бы понять, что от меня хотят
4) попытался бы решить
5) спросил/попросил проверить

Литература.
1 и 2: Гантмахер, Теория матриц (там в основном доступные алгоритмы, но указатель так себе)
3: та самая аналитическая геометрия. Кузютин В., Зенкевич Н., Геометрия
4: не знаю
5: задача не полная. но тут просто проверить определение кольца: по 4 аксиомы для сложения и умножения и дистрибутивность.

поиск электрокниг: ebdb.ru

[Slim]

Я уже не могу сам. Помогите....меня уже начинают раздражать эти абстрактные до нельзя понятия алгебры. Покупать я кр не хочу, сам решить не могу вовсе.....наверное отчислиться проще....))))

Итак. По поводу первой задачи. Я нашел где более менее человеческим языком написано что да как. Так вот выдержка по поводу определения линейного оператора :
.......Рассмотрим линейный оператор $A$, действующий в конечномерном линейном пространстве $X$, $dim(X)=n$ и пусть $e_1,...,e_n$ - базис в $X$. Обозначим через $Ae_1(a_{11},...,a_{n1}),...,Ae_n(A_{1n},...,A_{nn})$ образы базисных векторов $e_1,...,e_n$.

Матрица

$$ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{nn} \end{array} \right) $$

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в $n$-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка $n$; и обратно - каждая квадратная матрица порядка $n$ задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

$y=Ax$

$$ \mathbf{Y} = \left( \begin{array}{c} Y_{1} & Y_{2} & \ldots & Y_{n} \end{array} \right)= $$

$$ \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{nn} \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{c} X_{1} & X_{2} & \ldots & X_{n} \end{array} \right)$$

.....

И вот куда и каким образом приложить это к задаче ума не приложу. Причем это еще хоть как-то внятно. В книгах так вообще ужос. Помогите пожалуста кто сможет и не поленится.

[Azov]

правильный первый результат
во втором перед j должен стоять знак -

[Brukvalub]

Slim в сообщении #175522 писал(а):

Матрица

$$ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{nn} \end{array} \right) $$

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Вот и возьмите стандартный базис из ортов осей, поверните его

Slim в сообщении #174650 писал(а):

относительно оси $Oy$ на угол $\pi/4$ в положительном направлении.

и запишите по столбцам координаты образов векторов в этом базисе. Так Вы получите матричную запись оператора поворота, и тогда ответить на остальные пункты этой задачи будет совсем легко.