Геометрия и алгебра

[Brukvalub]

Slim в сообщении #173595 писал(а):

Методом "вычерка строки" получается так:

$\left| \begin{array}{ccc}i&j&k\\4&3&-5\\0&1&-1\\\end{array} \right | = i \left| \begin{array}{cc}3&-5\\1&-1\\\end{array} \right | + j \left| \begin{array}{cc}4&-5\\0&-1\\\end{array} \right | + k \left| \begin{array}{cc}4&3\\0&1\\\end{array} \right | = $2i - 4j + 4k $

У второго слагаемого - неверный знак.

[Slim]

Все спасибо большое. Исправил в посте с решением. Определитель наконец-то верно посчитан.

По поводу второго задания сделал следующее. Сначала построил график в полярной системе координат придавая углу значение через шаг $\pi/4$, потом самое важное нужно было представить в виде уравнения в декартовой системе координат.

Получилось следующее:
Исходя из того что $\cos \varphi= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2)}}$ а $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$

получаем из уравнения $\rho = 3(1-2\cos\varphi)$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3 - \frac{6x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$x^2+y^2=3\sqrt{x^2+y^2}-6x$

$x^2 + y^2 - 3\sqrt{x^2+y^2}+6x=0$

Получилось итоговое уравнение.

У меня тут еще проблема, за которую мне очень очень стыдно. Если есть возможность помогите пожалуйста.

Даны уравнения двух сторон треугольника $5x-2y-8 = 0$
и $3x-2y-8 = 0$, а середина третьей стороны совпадает с началом
координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

Самое первое что я решил сделать - найти общее уравнение прямой, проходящей через начало координат - она же медиана треугольника. Такое уравнение можно в данном случаем только по двум точкам - $А и O$. Точку $A$ мы можем узнать путем решения системы уравнений \left\{ \begin{array}{с} 5x-2y-8 = 0,\\ 3x-2y-8 = 0. \end{array} \right.

Откуда получим точку пересечения. Но вот проблема. Решения системы у меня получилось два - x=-4;y=-10 а также x=0,y=-4
В первом случаем получаю уравнение прямой, проходящей через начало координат как $5x-2y=0$, во втором бред какой-то. Ну это не суть важно.

Так как я получил координаты точки, допустим $A$, то я решил проверить верность уравнения стороны, например $3x-2y-8=0$, а из него нормальный вектор будет $\overrightarrow{n}=(3;-2)$
Как только я не пытался записать уравнение исходя из точки и вектора - и параметрическое, и каноническое - получалось не то уравнения, которое было задано в условии.
Я тогда решил что не верно нашел координаты точки. Но решений системы других нет.

Далее - я предположил, даже пусть я нашел верное уравнение прямой, проходящей через середину. Дальше - кроме того что эта прямая медиана больше ничего не известно. Возможно я чего-то не понимаю, возможно решить с помощью общих и параметрических уравнений прямых невозможно. Возможно например с помощью уравнения с угловым коофициентом.

Мне действительно стыдно за такое легкое задание, но уже часа полтора сижу и мучаюсь. Потому что постоянно во всем не уверен.
Подскажите что я делаю не так.

[GAA]

Во втором задании Вам надо составить уравнение кардиоиды в прямоугольной декартовой системе координат (уравнение четвертого порядка, без радикалов). Т.е. следует еще раз возвести в квадрат, для того, чтобы избавиться от радикала.

Добавлено спустя 25 минут 48 секунд:

К третьей задаче.
1. Я бы проверил, что уравнением третьей стороны не может быть $x=0$.
2. Записал бы искомое уравнение в виде $y = kx$.
3. Нашел бы точки пересечения третьей стороны с двумя первыми (нашел бы концы этой третьей стороны). И из условия, что серединой этой третьей стороны является начало координат, определил бы значение $k$.

[Slim]

Цитата:

Во втором задании Вам надо составить уравнение кардиоиды в прямоугольной декартовой системе координат (уравнение четвертого порядка, без радикалов). Т.е. следует еще раз возвести в квадрат, для того, чтобы избавиться от радикала.

Обязательно приводить к уравнению именно такого вида, или достаточно просто избавиться от радикала?

Цитата:

К третьей задаче.
1. Я бы проверил, что уравнением третьей стороны не может быть $x=0$.
2. Записал бы искомое уравнение в виде $y = kx$.
3. Нашел бы точки пересечения третьей стороны с двумя первыми (нашел бы концы этой третьей стороны). И из условия, что серединой этой третьей стороны является начало координат, определил бы значение $k$.

Самое то и тяжелое найти точки пересечения. Чтобы записать уравнение в виде $y = kx$ нужны дополнительные параметры - угол или две точки либо общее уравнение прямой на плоскости.
Всего этого нет.

[GAA]

Ко второй задаче.
Главное получить уравнение четвертой степени (без радикала).

К третьей задаче.

2. Запишите уравнение третьей стороны буквально в виде $y = kx$.
3. Выразите точки пересечения через $k$, т.е. подставьте $y = kx$ в уравнения первых двух сторон (и найдите ($x_1(k), y_1(k))$, $(x_2(k), y_2(k))$). И из условия, что серединой этой третьей стороны является начало координат, определите значение $k$.

[Slim]

Уважаемый GAA, извеняюсь за свою тупость конечно, но.
Я выразил в двух уравнениях сторон через $y=kx$
Получилось:
1. У уравнения $5x-2y-8 = 0$ координаты $x=\frac{8}{5-2k} ; y=\frac{8k}{5-2k}$
2. У уравнения $3x-2y-8 = 0$ координаты $x=\frac{8}{3-2k} ; y=\frac{8k}{3-2k}$

Не могу понять как привязать середину отрезка. Мне то ведь нужно уравнение третей стороны.
Единственная "привязка" к середине отрезка - найти исходя из координат $1,2$ по формулам середины отрезка координаты середины. Потом прировнять их к нулю и вычислить $k$. Но тогда получается выражение типа (эта координата середины отрезка $x$) : $\frac{-16}{15-12k}=0$. Исходя из этого знаменатель никак не может быть равен нулю...

[ИСН]

Slim в сообщении #174096 писал(а):

Единственная "привязка" к середине отрезка - найти исходя из координат $1,2$ по формулам середины отрезка координаты середины. Потом прировнять их к нулю и вычислить $k$.

Вот начиная с этого места поподробнее, пожалуйста.

[Slim]

Цитата:

Вот начиная с этого места поподробнее, пожалуйста.

Когда получил координаты пересечения двух сторон я попытался вычислить координаты середины отрезка, зная его координаты.

Для этого я от координат начала отнял координаты конца и разделил на два.
$x=\frac{\frac{8}{5-2k} - \frac{8}{3-2k}}{2}$
$\frac{8}{5-2k} - \frac{8}{3-2k}=$ $\frac{8(3-2k) - 8(5-2k)}{(5-2k)(3-2k)}=$ $\frac{24-16k-40+16k}{15-10k-6k+4k}=$ $\frac{24-40}{15-12k}=\frac{-16}{15-12k}$

$x=\frac{\frac{8}{5-2k} - \frac{8}{3-2k}}{2}=$ $\frac{\frac{-16}{15-12k}}{2}=\frac{1}{2} \frac{-16}{15-12k}=$
$\frac{-16}{30-24k}$

Это координаты середины отрезка. Так как середина отрезка имеет также координату $0$ (начало координат), то вполне можем сказать что эти две координаты равны. Но вот только они противоречат математике.

[ИСН]

Для начала пересмотрите свои взгляды на нахождение середины отрезка.

[Slim]

Цитата:

Для начала пересмотрите свои взгляды на нахождение середины отрезка.

В какую сторону. Я использовал формулу нахождения середины отрезка зная координаты
$x_c=\frac{x-x_0}{2}$ То же самое с другими координатами. Что именно не так?

[ИСН]

Многое не так, но до этого мы доберёмся в свой черёд. Нарисуйте систему координат. Проведите, например, отрезок от точки (2,2) до точки (2,4). Найдите середину. Где она?

[Slim]

Цитата:

Многое не так, но до этого мы доберёмся в свой черёд. Нарисуйте систему координат. Проведите, например, отрезок от точки (2,2) до точки (2,4). Найдите середину. Где она?

Мда, действительно, на самом деле $x_c=\frac{x+x_0}{2}$

[ИСН]

Так. Идём дальше.

[Slim]

$x=\frac{\frac{8}{5-2k} + \frac{8}{3-2k}}{2}$
$\frac{8}{5-2k} + \frac{8}{3-2k}=$ $\frac{8(3-2k) + 8(5-2k)}{(5-2k)(3-2k)}=$ $\frac{24-16k+40-16k}{15-10k-6k+4k}=$ $\frac{64-32k}{15-12k}$

$x=\frac{\frac{8}{5-2k} + \frac{8}{3-2k}}{2}=$ $\frac{64-32k}{15-12k} \frac{1}{2}=\frac{64-32k}{30-24k}$

$\frac{64-32k}{30-24k}=0$
$k=2$

Это верный ответ?

Соответственно уравнение $2x-y=0$ ?

[ИСН]

Ответ, если нигде не ошиблись в арифметике, верный. А раскрывать скобки типа $(5-2k)(3-2k)$ можете научиться в другой раз, чёрт с ними.