Возвращаюсь к вопросу составления пар ортогональных классических латинских квадратов (ОЛК), пригодных для построения МК. Получила много статей на эту тему, но во всех статьях, в которых мне удалось что-то понять без перевода, строятся пары ОЛК, как правило, не пригодные для построения МК. А дело в том, что эти ЛК не являются нетрадиционными магическими квадратами, то есть в них нет нужных сумм чисел в главных диагоналях. Понятно, что если ЛК диагональные, тогда всё в порядке. Но диагональные ОЛК я нашла пока только для порядка 10. Так что, мне приходится решать задачу преобразования найденных мной ОЛК, чтобы они были пригодны для построения МК. Например, для ОЛК 22-го порядка мне эту задачу решить удалось.
В статье (Stenson) нашла очень интересный алгоритм составления пар ОЛК 10-го порядка. Однако все эти ЛК тоже не пригодны для построения МК. Составила по этому алгоритму одну пару ОЛК. Один из ЛК удалось преобразовать так, что он стал пригоден для построения МК. Вот этот ЛК:
Код:
0 8 1 9 2 7 5 6 3 4
4 1 8 2 9 5 7 0 6 3
7 3 2 8 5 9 4 1 0 6
3 7 6 5 8 4 9 2 1 0
9 6 7 0 4 8 3 5 2 1
6 9 0 7 1 3 8 4 5 2
8 0 9 1 7 2 6 3 4 5
1 2 5 4 3 6 0 8 9 7
2 5 4 3 6 0 1 9 7 8
5 4 3 6 0 1 2 7 8 9
Очевидно, что этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 45 и, значит, пригоден для построения МК.
Итак, один ЛК есть. Второй ЛК, ортогональный этому, взяла из той же пары, из которой приведённый ЛК. Ортогональность вроде бы сохранилась (а есть способ быстрой проверки ортогональности двух ЛК?). Но второй квадрат “хромает” на одну диагональ, то есть сумма чисел в этой диагонали не равна 45. Так близка была цель! И вот одна диагональ всё испортила. И никак не удаётся преобразовать этот ЛК, чтобы исправить “хромую” диагональ. Вот второй ЛК:
Код:
0 4 8 5 9 6 7 1 2 3
7 1 5 8 6 9 0 2 3 4
1 7 2 6 8 0 9 3 4 5
9 2 7 3 0 8 1 4 5 6
2 9 3 7 4 1 8 5 6 0
8 3 9 4 7 5 2 6 0 1
3 8 4 9 5 7 6 0 1 2
6 0 1 2 3 4 5 8 9 7
5 6 0 1 2 3 4 7 8 9
4 5 6 0 1 2 3 9 7 8
Вопрос первый: можно ли преобразовать второй ЛК так, чтобы он стал нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 45 и при этом остался ортогональным первому ЛК?
Вопрос второй: Можно ли, отвлекаясь от готового второго ЛК, составить ЛК, ортогональный к первому, чтобы он был нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 45?
Итак, мы вплотную подошли к задаче составления ЛК ортогонального данному. Если раньше у нас не было этого самого данного ЛК, то теперь он есть.
В другой статье (тоже на английском) вижу алгоритм составления пар ОЛК 12-го порядка. Однако больше пока ничего не вижу. Если кто-то заинтересовался темой, пишите, статью пришлю. Мне надо её ещё перевести, чтобы что-нибудь в ней понять.
Есть у меня ещё идея получения пары ОЛК – идти обратным путём: от магического квадрата к ЛК. Ведь каждый МК можно разложить на пару ЛК. Но при этом эти ЛК могут оказаться обобщёнными, а мне нужны классические ЛК. МК любого порядка в принципе можно построить. У меня есть, например, программа, которая строит МК, используя функцию случайных чисел. Программа эффективно работает (на Бейсике) до порядков 9-10. А дальше уже не очень эффективно. Мысль такая: если, например, строить по этой программе МК 12-го (14-го и т.д.) порядка и попутно раскладывать их на пару ЛК, то, может быть, так удастся найти пару классических ОЛК. Верная мысль? Или я уже перегрелась с этими ОЛК
Добавлено спустя 51 минуту 23 секунды:Сейчас посмотрела реализацию своей идеи. Вот МК 9-го порядка, построенный по программе с использованием функции случайных чисел:
Код:
75 29 65 49 34 22 5 13 77
27 76 37 31 3 30 74 39 52
50 6 54 41 17 36 56 63 46
9 10 80 2 58 42 73 38 57
61 20 69 32 28 71 8 62 18
1 59 23 60 68 25 48 40 45
81 79 4 47 44 55 19 33 7
14 12 26 72 53 67 16 66 43
51 78 11 35 64 21 70 15 24
Разложила этот МК на два ОЛК. Как и следовало ожидать, эти ЛК оказались обобщёнными.
Поняла, что получить по такой программе пару классических ОЛК - это всё равно что выиграть в лотерею автомобиль. Но теоретически-то это возможно!
