Бесконечность простых чисел-близнецов

[Skipper]

mihaild в сообщении #1584664 писал(а):

Т.е. если выбрать подмножество натуральных чисел, причем число $n$ берем с вероятностью $\frac{1}{\ln n}$ и все числа берем независимо, то первая гипотеза будет выполнена почти наверное

1) Будем рассматривать не все простые числа, а только кортежи длиной $N$, пусть $N = 1000000$.
Выберем подмножество натуральных чисел, причем число $n$ берем с вероятностью $\frac{1}{C \cdot (\ln n)^{1000000}}$ и все числа берем независимо. (C - некая константа).
Тогда каждое выбранное число $n$ - это "вероятностный аналог", или "прототип" стартового числа каждого кортежа. Получается, на достаточно большом промежутке натуральных чисел, количество таких выбранных чисел, будет асимптотически стремиться, к количеству стартовых чисел реально существующих кортежей из $1000000 $ простых чисел?

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1584663 писал(а):

И что, до сих пор не найден?

Я не слежу. Вот более-менее свежая инфа (встречаются результаты 2022 и 2023 годов):

Prime k-tuplets писал(а):

At this site I have collected together what I believe to be the largest known prime k-tuplets for k = 2, 3, 4, ..., 20 and 21. I do not know of any prime k-tuplets for k greater than 21, except for the ones that occur near the beginning of the prime number sequence.

[mihaild]

Skipper, вроде да, причем для $C = 1$. Побьем натуральные числа на отрезки возрастающей длины (так, чтобы число кортежей на очередном отрезке возрастало, но не слишком быстро), тогда число кортежей равно числу кортежей целиком на отрезке плюс число кортежей, пересекающих два отрезка. Число кортежей на разных отрезках независимо и его мат. ожидание какое нужно, а число кортежей между отрезками мало.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1584664 писал(а):

вроде утверждает, что простые числа распределены случайно

1) Как они могли такое утверждать, если вторая гипотеза прямо этому и противоречит..

2) Я читал книгу Дербишира, там сравнивали статистические свойства вот такого множества -

Цитата:

если выбрать подмножество натуральных чисел, причем число $n$ берем с вероятностью $\frac{1}{\ln n}$ и все числа берем независимо,

и настоящего множества из простых чисел, вышло так, что они вообще говоря, отличались.
Всякие гипотезы типа "между $n^2$ и $(n+1)^2$ обязательно существует простое число", и тому подобные - вроде тоже противоречат этой первой гипотезе Харди-Литтлвуда..

[mihaild]

Skipper в сообщении #1584710 писал(а):

1) Как они могли такое утверждать, если вторая гипотеза прямо этому и противоречит..

Так речь о первой гипотезе. Известно, что она противоречит второй.

Skipper в сообщении #1584710 писал(а):

и настоящего множества из простых чисел, вышло так, что они вообще говоря, отличались

Это очевидно. Например соседние числа простыми не бывают никогда.

Skipper в сообщении #1584710 писал(а):

Всякие гипотезы типа "между $n^2$ и $(n+1)^2$ обязательно существует простое число", и тому подобные - вроде тоже противоречат этой первой гипотезе Харди-Литтлвуда

Это надо считать.

Вообще, я всего лишь хотел сказать, что первая гипотеза не говорит, что простые числа расположены как-то особо неравномерно. По крайней мере я не готов назвать совсем случайное распределение как выше сильно неравномерным, а для него первая гипотеза выполнена.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1584664 писал(а):

Skipper в сообщении #1584663 писал(а):

На каком основании тогда кто-то полагает, что согласно 1-й гипотезе Харди-Литтлвуда - простые числа расположены столь неравномерно ?

Она же вроде утверждает, что простые числа распределены случайно. Т.е. если выбрать подмножество натуральных чисел, причем число $n$ берем с вероятностью $\frac{1}{\ln n}$ и все числа берем независимо, то первая гипотеза будет выполнена почти наверное. Соответственно вся эта неравномерность - просто естественный разброс.

Простые числа - это сложный обьент. При описании сложных обьектов с успехом применяется вероятностная теория чисел. Поэтому здесь надо говорить о вероятностной модели простых чисел, которая используется Харди-Литтлвудом в первой гипотезе. Базовая модель распределения простых чисел - это модель Крамера. То что Вы описали - это есть модель Крамера. Однако, согласно этой модели количество близнецов меньших $x$ асимптотически равно $\sum_{n=2}^x{\frac{1}{\ln^2 n}$, что не соответствует первой гипотезе Харди-Литтлвуда.

[Skipper]

Цитата:

Утверждение второй гипотезы Харди – Литтлвуда эквивалентно утверждению, что количество простых чисел от $x + 1$ до $x + y$ всегда меньше или равно количеству простых чисел от $1$ до $y$.

Да сам факт того, что два знаменитых математика выдвинули две гипотезы, и второй - опровергли сами же себя, т.е. свою первую гипотезу, говорит о том, что эти обе гипотезы "высосаны из пальца", и вряд ли соответствуют действительности. Я раньше ещё думал, что по крайней мере одна из них верна, но сейчас склоняюсь к тому, что неверны они обе..

Смотрел лекцию Карацубы, видео, он там говорит, что есть большое множество всяких подобных гипотез, о распределении нулей ДФР, и ничего подобного - большинство из них потом были опровергнуты,

и само возможное доказательство Гипотезы Римана вряд ли лежит в области ТФКП, её конечно нужно знать, чтобы вообще всё понимать, но для доказательства этого недостаточно. Это как Уайльс доказал великую теорему Ферма, только когда развил теорию в области эллиптических кривых и модулярных форм. Или некоторые теоремы вообще нельзя доказать, без теории ФКП и изучения комплексных чисел. Вот пока изучаешь только анализ с действительными числами, не докажешь.
Так и с гипотезой Римана, все знатоки пытались доказать, уже более 160 лет, не доказывается, значит и скорее всего ТФКП тут совсем недостаточно знать.

Нужна какая то новая, другая развитая для этого теория..

-- Вс мар 12, 2023 17:38:18 --

Вот я гипотезу выдвину - кортежи из $2$ простых, (обычные простые числа близнецы, отличающиеся на 2);
простые-триплеты, т.е. тройки простых, как $p , p+2, p+6,$ или $p , p+4, p+6,$ т.е. кортежи из $3$ простых,
далее кортежи из $4$ простых, т.е. простые-квадруплеты, как $p , p+2, p+6, p+8,$
кортежи-квинтуплеты из $5$ простых, наконец,
кортежи-секступлеты из $6$ простых, как $p , p+4, p+6, p+10, p+12, p+16, $ встречаются бесконечное количество раз на числовом ряду.
Они "содержат", как часть себя, более короткие кортежи, например, очевидно, что секстпулет содержит и квадруплет, только дополнен ещё парой простых чисел рядом, с двух сторон.

Но это уже нарушается, в следующем кратчайшем кортеже из $7$ простых чисел, такой кортеж уже не содержит секступлет, (т.е. кортеж из $6$ простых), а все их содержащие, и расширенные до $7$-ми, будут на более длинном отрезке.
По этой причине, 1) количество кратчайших кортежей из 7 простых, (т.е. на самом коротком возможном отрезке) - уже встречаются лишь конечное количество раз.
И даже на более длинном отрезке, кортежей из $7$ простых чисел, даже и содержащих секступлеты - тоже встречаются лишь конечное количество раз.

Мне такая гипотеза представляется более вероятной, чем Харди-Литтлвуда..

[vicvolf]

Skipper в сообщении #1585200 писал(а):

Вот я гипотезу выдвину - кортежи из $2$ простых, (обычные простые числа близнецы, отличающиеся на 2);
простые-триплеты, т.е. тройки простых, как $p , p+2, p+6,$ или $p , p+4, p+6,$ т.е. кортежи из $3$ простых,
далее кортежи из $4$ простых, т.е. простые-квадруплеты, как $p , p+2, p+6, p+8,$
кортежи-квинтуплеты из $5$ простых, наконец,
кортежи-секступлеты из $6$ простых, как $p , p+4, p+6, p+10, p+12, p+16, $ встречаются бесконечное количество раз на числовом ряду.
Они "содержат", как часть себя, более короткие кортежи, например, очевидно, что секстпулет содержит и квадруплет, только дополнен ещё парой простых чисел рядом, с двух сторон.

Но это уже нарушается, в следующем кратчайшем кортеже из $7$ простых чисел, такой кортеж уже не содержит секступлет, (т.е. кортеж из $6$ простых), а все их содержащие, и расширенные до $7$-ми, будут на более длинном отрезке.
По этой причине, 1) количество кратчайших кортежей из 7 простых, (т.е. на самом коротком возможном отрезке) - уже встречаются лишь конечное количество раз.
И даже на более длинном отрезке, кортежей из $7$ простых чисел, даже и содержащих секступлеты - тоже встречаются лишь конечное количество раз.

Мне такая гипотеза представляется более вероятной, чем Харди-Литтлвуда..

Эта гипотеза Диксона, о которой уже здесь говорилось.

vicvolf в сообщении #1506761 писал(а):

Ответ на Ваш вопрос содержит гипотеза Диксона о бесконечности простых кортежей https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BD%D0%B0

Гипотеза Харди-Литтлвуда говорит о количестве простых кортежей на определенном интервале натурального ряда.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1507866 писал(а):

известно что на январь 2021 досчитано как минимум до $10^{30}$ (там найдены
новые вхождения паттернов выше длиной 20). Из этого же файла можно прикинуть и скорость, по тем же 20-tuplets, с 26 декабря 2020 по 21 января 2021 пройдено $3.45\cdot10^{28}$ или примерно $1.5\cdot10^{22}$ в секунду. Это хорошая скорость,

Что-то уже недоступна указанная ссылка, а прошло 4 года с момента обсуждения,
может кто знает, другую ссылку, по которой можно узнать про рекордные кортежи простых чисел на 2025-й год?

[Dmitriy40]

Skipper
Чего-то я сомневаюсь в своих тогдашних словах про тотальную проверку всех простых до $10^{30}$, нереально это. Скорее ищут список паттернов/кортежей, а не тотально все простые.

Текущие найденные кортежи есть на страницах сайта https://pzktupel.de/ktuplets.php - там и новости есть по годам, и списки по разделам. Он достаточно актуальный (обновление было например и вчера (мой результат) и сегодня), но разные страницы обновляются по разному, на дату на главной не смотрите.

[Skipper]

Skipper в сообщении #1507914 писал(а):

Да, получается , действительно мировой рекорд, получается, который с 2016 до 2021 года не могут улучшить.

Dmitriy40 в сообщении #1507924 писал(а):

Странно что не найден 22-tuple, вроде он должен был быть из 30 цифр, т.е. до $10^{30}$, однако уже дошли до $1.2\cdot10^{30}$, а его нету ... Но так как это лишь малообоснованная надежда, то опровержением служить не может разумеется, найдут.

Ну вот по вашей ссылке,
https://pzktupel.de/ktuplets.php
так написано:
"I do not know of any prime k-tuplets for k greater than 21, except for the ones that occur near the beginning of the prime number sequence."

Наибольший 21-tuple,
https://pzktupel.de/Top10.php
"622803914376064301858782434517 + d, d = 0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84 * smallest & first known to given pattern ",

значит 22-tuple, не могут найти уже целых 9 лет, с 2016 до 2025 года?

-- Вс апр 27, 2025 19:58:41 --

Dmitriy40 в сообщении #1683988 писал(а):

Чего-то я сомневаюсь в своих тогдашних словах про тотальную проверку всех простых до $10^{30}$, нереально это. Скорее ищут список паттернов/кортежей, а не тотально все простые.

Так все простые перебирать и не надо, насколько я понимаю.
Перебирают только те, которые устраивают условию нетривиального кортежа, а потому
результат тот же, как и в случае если бы перебрали все простые числа.
Именно потому и указано: "smallest & first known to given pattern", из слова smallest ,
следует, что меньше быть и не может.

Чтобы найти большие кортежи, и решить насчёт моей гипотезы (что возможно только конечное количество
24-кортежей из простых, на отрезке 100), или гипотезы Харди-Литтлвуда, что возможен отрезок содержащий 447 простых,
плотнее чем первые 447 простых чисел в начале числового ряда,
необходимы какие-то дополнительные условия, по которым можно было не перебирать их все,
а отсеять ещё бОльшую часть кандидатов в простые числа..

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1684060 писал(а):

Наибольший 21-tuple, https://pzktupel.de/Top10.php
"622803914376064301858782434517 + d, d = 0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84 * smallest & first known to given pattern ",
значит 22-tuple, не могут найти уже целых 9 лет, с 2016 до 2025 года?

Значит не могут. С 27.12.2018, как указано про этот вот кортеж.
Посмотрите на динамику нахождения первых известных кортежей:
16: 1996
17: 1997
18: 13.11.2000
19: 09.02.2011
20: 24.06.2014
21: 08.01.2015
Уже больше 10 лет следующий никак не попадётся.
Он должен быть около $10^{32}$, но мне дотуда его искать 6000 лет ...

-- 27.04.2025, 21:30 --

Skipper в сообщении #1684060 писал(а):

по которым можно было не перебирать их все,
а отсеять ещё бОльшую часть кандидатов в простые числа..

Ну вот моя программа отсеет 99.999999998% чисел, оставит лишь одно из примерно 50млрд и только его и будет проверять (начинается ли с него кортеж). И всё равно порядка 6000 лет работы. Потому что надо проверить порядка $2\cdot10^{21}$ кандидатов в кортеж. Проверить - в смысле убедиться что все 22 числа начиная с вот этого кандидата и правда простые.

-- 27.04.2025, 21:36 --

Skipper в сообщении #1684060 писал(а):

из слова smallest ,
следует, что меньше быть и не может.

Не "не может", а "не обнаружено". Могли что-то и пропустить из-за ошибок в программе или аппаратуре. Очень маловероятно, но вдруг. Вот если у них двойная (и более) проверка - тогда да, практически 100% что меньше нет.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1507866 писал(а):

они отличаются каждый примерно на порядок, значит возможно кортеж 22 будет из 30 цифр (по факту не найден и значит больше), кортеж 23 из 31 цифры, ну а желаемый кортеж 24 из 32 цифр, или считать до него ещё сотню лет при текущей скорости счёта!

Вы же тут писали что 32 цифры- это для кортежа из 24 простых.
Или они там вдруг реже начинают встречаться, если сравнивать разницу между соседними, менее короткими (например из 17 и 18 простых, между 18 и 19 простых и т.д.)?

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1684079 писал(а):

Вы же тут писали что 32 цифры- это для кортежа из 24 простых.

4 года назад оценки были слишком "на пальцах / с потолка", а в прошлом году для других нужд Yadryara разобрался как более точно оценивать мат.ожидание количества кортежей в диапазоне, вот я сейчас подставил и получил что до $10^{32}$ должен быть примерно один такой кортеж. Не обязательно, но вероятно. Но разброс может быть плюс-минус два порядка, $10^{32\pm2}$. Но даже в наилучшем случае 60 лет счёта это перебор.

-- 27.04.2025, 21:50 --

А вот например наименьший 21-tuple начиная с 39433867730216371575457664399 нашёлся примерно в 6.5 раза раньше ожидаемого (около $2.6\cdot10^{29}$).