Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681496 писал(а):

Так там же остальные строки считаются по оптимизированной формуле, где вместо формулы Римана используется прямое вычисление j(n) через primepi(n)!

Да, это прекрасно видно. Это Ваша оптимизация, не моя. Но Вы ни слова не сказали, что она не для всех чисел работает. Или сказали, но я не заметил?

Dmitriy40 в сообщении #1681496 писал(а):

Кстати первые нули дзета-функции Римана можно получить прямо в PARI командой zm=lfunzeros(1,1e3)

Спасибо, в курсе. Можно и в диапазоне, не только с первого.

[Dmitriy40]

Да, для степеней простых моя оптимизация некорректна. Понадеялся что такие n нас не интересуют.

[Dmitriy40]

Для корректной оптимизации надо из primepi(yy)/k вычесть if(floor(yy)^k==y&&ispseudoprime(floor(yy)),1/2/k,0).
Программу на предыдущей странице поправил.

[Dmitriy40]

Как известно программа расчёта констант для HL1, и в частности даже одной главной, не может посчитать паттерны большого диаметра - не хватает памяти под массивы, да и циклы внутри сложные. А иногда хочется, для диаметров в миллионы, хотя бы одну константу (которой и достаточно для непоследовательных простых).
Вчера наконец дошли руки разобраться и упростить код для конкретно этого случая, когда считается лишь одна главная константа, вот что получилось:

v=[0..20]*9699690;\\AP21
C=2^#v/2.0*prodeulerrat((p^#v-#v*p^#v/p)/(p-1)^#v, 1, nextprime(#v+1)); forprime(p=3,v[#v]/2, C/=if(p>#v, p-#v , p*(1-1.0/p)^#v); C*=p-#Set(-v%p););
print("v=",v); print("C=",C);

Ни массивы, ни длиннющие списки допустимых остатков вообще не понадобились!
Есть мнение что ровно так же можно считать и остальные vC[], просто меняя паттерн. Пока не проверял.
Мнение правильное, только не сильно полезное: программа сводится к предыдущей, улучшается лишь вычисление CC[] для больших диаметров паттерна, для констант с большими номерами это несущественно.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681237 писал(а):

заметил интересную формулу:

$$\operatorname{Li}_2(x)=\operatorname{Li}(x)+\frac{2}{\ln 2}-\frac{x}{\ln x}$$

Из Альфы можно выудить несколько иную:

$$\int\limits_{a}^{x}\frac1{\ln^2t} dt = \operatorname{Li}(x) + \frac{a}{\ln(a)} - \frac{x}{\ln x} - \operatorname{Li}(a)$$

Специально обозначения сблизил. Интеграл от $a$ до $b$ было бы естественнее.

Для куба более сложная.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1681731 писал(а):

Из Альфы можно выудить несколько иную:

$$\int\limits_{a}^{x}\frac1{\ln^2t} dt = \operatorname{Li}(x) + \frac{a}{\ln(a)} - \frac{x}{\ln x} - \operatorname{Li}(a)$$

Она отличается ровно на константу $Li(a=2)=0$ - т.е. ровно та же.

Yadryara в сообщении #1681731 писал(а):

Для куба более сложная.

О, если посмотреть на следующие степени, то можно вывести и чуть более общую для $k=2\ldots4$:

$$\int\limits_a^b\frac{1}{\ln^k t}=\frac{1}{(k-1)!}\left(Li(b)-Li(a) - b\frac{(k-2)!+\sum\limits_{i=1}^{k-2}\ln^i b}{\ln^{k-1} b} + a\frac{(k-2)!+\sum\limits_{i=1}^{k-2}\ln^i a}{\ln^{k-1} a}\right)$$

Впрочем она нарушается уже для $Li_5()$, для неё в сумме первый логарифм (который в первой степени) будет уже от квадрата аргумента.
А начиная с $Li_6()$ в числителе начинается бардак ...
$Li_{19}()$ же посчитал, но расписать уже не смог.

Вообще конечно интересно.
Правда возникают вопросы, уже математические, например доказано ли превышение $k C_k Li_k()$ над $\pi_k()$ для $k>1$ хотя бы для интересующих нас интервалов; или какова вообще точность этой аппроксимации $\pi_k(x)\approx k C_k Li_k(x)$; плюс для получения именно чистых кортежей нам надо считать не только $Li_{19}()$, но и все $Li_{19\ldots49}()$ вместе с соответствующими константами $C_k$ (хотя конечно загрязнения в 12-13 уже достаточно для оценки 19-252).

-- 11.04.2025, 12:17 --

Про точность аппроксимации можно надеяться на примерно $\sqrt{x}$, во всяком случае и для $\pi(x)$ и для $\pi_2(x)$ она примерно такова. Вот только в районе $1$, что нас и интересует для длинных паттернов, это сильно нивелирует ценность формулы ... Ведь $1\pm1$ нас не устроит, если хотим чтобы $n-\sqrt{n}>1$ для гарантированного нахождения кортежа, то надо чтобы $n>(3+\sqrt{5})/2=2.618$, т.е. почти три ожидаемых кортежа.
В принципе это тоже интересный результат, если научиться и выражать $Li_k()$ через $Li()$ и считать все нужные $C_k$.

-- 11.04.2025, 12:27 --

Хм, а так $Li_{19}(x)$ выдал ... И $Li_{29}(x)$ тоже ... Можно не париться с выводом, а просто вбить их все нужные и пользоваться.

-- 11.04.2025, 13:01 --

Разложение неопределённого интеграла:

$$\int \frac{x}{\ln^k x}dx = \frac{2^{k-1}}{(k-1)!} \left( Li(x^2) - x^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{(i-1)!}{2^i \ln^i x}\right)$$

Сверил с вольфрамальфа для $k=2,3,4,5,19,20,21$.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681750 писал(а):

Она отличается ровно на константу $Li(a=2)=0$ - т.е. ровно та же.

$Li(2)$ всё-таки не ноль, а $1.04516...$

Yadryara в сообщении #1681442 писал(а):

Сравним:

808675901493606.3
808675901493607.7

Почти совпали.

Здесь правда разность побольше — примерно $1.38$

Остальное читал, но пока не комментирую.

Как быть с дзета-функцией — непонятно.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1681787 писал(а):

$Li(2)$ всё-таки не ноль, а $1.04516...$

Во первых не суть (погрешность аппроксимации всё равно намного выше), во вторых это $li(2)=1.045...$, а вот $Li(2)=0$. И какая из них в формулах я не уверен, скорее $li()$.
И кстати кажется я взял не тот интеграл, откуда-то $x$ в числителе появилась и соответственно $x^2$ в правой части. Да, степень надо понизить до первой и коэффициенты тоже будут другими.

-- 11.04.2025, 15:09 --

Вот такими:

$$\int \frac{1}{\ln^k x}dx = \frac{1}{(k-1)!} \left( li(x) - x \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{(i-1)!}{\ln^i x}\right)$$

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1681147 писал(а):

                 Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношение
                  в группе      цепочек        на юнит             между
                                 тысячи                         группами
1-й период 61# G19   100 %           98           2242            1.1112
1-й период 61# G20   100 %         2645           2025            1.1157
1-й период 61# G21   100 %        23366           1815            
1-й период 61# G22    25 %        22648           1598            1.1358
...
1-й период 61# G28   100 %        11231            813            1.1216
1-й период 61# G29   100 %         1566            731            1.1204
1-й период 61# G30   100 %           73            656            1.1198

Как видим кэф действительно растёт к центру — 1.1358 явно больше всех остальных в этом же столбце.

И лично мне это не очень нравится, поскольку сглаживает преимущество самых чистых групп над более грязными.

После обсчёта 52% от группы снизился до 1.1190. Если рост к центру и есть, то он крошечный.

Текущая статистика по кортежам 15-228-2:

                 0-53#   0-59#   0-61#
Посчитано          35%      8%      8%
Прогноз по HL1       2      49    1133
Найдено              2       5     111

Из этих 111-ти 103 кортежа найдено мной.

72 из 103-х при желании можно назвать хромоногими 17-ками.

А сколько из этих 103-х настоящих симметричных 17-к? Ни одной.

Dmitriy40 в сообщении #1681790 писал(а):

это $li(2)=1.045...$, а вот $Li(2)=0$.

Я вслед за Альфой их не различаю. И Li, и li считаются от нуля.

Dmitriy40 в сообщении #1681790 писал(а):

И какая из них в формулах я не уверен

Смотря в каких формулах. Для формул Альфы уверен — от нуля.

[DemISdx]

(Оффтоп)

DemISdx в сообщении #1678750 писал(а):

Yadryara в сообщении #1678657 писал(а):

Но 4 с лишним сотни компов пока не справились даже с нахождением минимально заявленной цели: не найдено даже одной-единственной 17-240-1.

Пока там все печальненько:

   4762 valids=11
    837 valids=12
    117 valids=13
      8 valids=14
================= 
   5724 

ничего не найдено, хотя три месяца прошло. Полно дубликатов:

5724 (all data) 
5568 (only unique data) 
================= 
156 (doubles, thriples and more dublicates found) 

некоторые из них уже по девятому разу пошли...
Ну и скорость увеличить хотя бы раз в 30 пока так и не смогли.

Ошибки шлют постоянно, похоже это никого не волнует, ехала болела...
Не говоря о числах из явно ошибочного диапазона.
И в новом приложении те-же самые косяки...

Видимо на несколько лет прогрева атмосферы запланировано...

Что-то сильно закрутился.
Сегодня глянул "что нового?".

Ну приложение, очередное, вчера опубликовано, теперь уже algo_21...

Глянул стату на то, что есть:
algo_17

   6447 valids=11
   1119 valids=12
    157 valids=13
     13 valids=14
================= 
   7736

7736 (all data) 
7580 (only unique data) 
================= 
156 (doubles, thriples and more dublicates found) 

 

algo_19

    540 valids=11
     97 valids=12
     17 valids=13
      1 valids=14
      1 valids=15
================= 
   656 

656 (all data) 
646 (only unique data) 
================= 
10 (doubles, thriples and more dublicates found) 

algo_21 пока статистики пока нет.
Найденная 15-шка в algo_19:

Цитата:

15716649489301365203702777: [0,6,24,36,66,84,90,114,122,126,150,156,164,204,216,234,240] valids=15

[Yadryara]

О! Демис нашёлся. Но... почему же ни слова по обсуждаемому последнему вопросу...

Желаете прорекламировать очередное чудачество ТС? Или не только отрекламить, но и обсудить? Тогда чего же вопросов нет...

DemISdx в сообщении #1682442 писал(а):

Найденная 15-шка в algo_19:

Всё-таки в рамках темы мы такие цепочки 15-шками не называем. Потому что это 15/17, а не 15/15. А вот настоящие 15-шки, коих с марта мной найдено больше сотни, могу для сравнения показать. Десятка самых маленьких:

2079914861571286679        TBEG
3665619319531504883        TBEG
214946236533755076289      An+Dm
271541128585758431779      An+Dm
944273532072632171243      An+Dm
1006882292528806742273     Jarek
2162149531729604295103     An+Dm
2225037046903483907473     An+Dm
2321104522630063134343     An+Dm
2938616605475118382193     An+Dm

И пока ни одна из ста с лишним так и не сматрёшничала ни в какую 17-ку... Я уже показывал кэфы для таких событий — для нечётных кортежей длин 15, 17, 19 они все трёхзначные.

То есть искать 21-ку таким способом ещё гораздо медленнее. И зачем тогда было запускать 3-е приложение? Потому что только спустя 3 с лишним месяца стало понятно, что двумя первыми приложениями заявленных целей за ближайшие годы не достичь? Так об этом давным-давно предупреждали. И даже побочных надуманных целей, таких как полное заполнение спектров, при такой скорости тоже не достичь.

Ну ладно, есть один понятный момент. Всё-таки будут находиться именно симметричные кортежи, а не приближения к ним. Но... про 17-ки, 19-ки и 21-ки не спрашиваю, если кому-то непонятно, что ни одна не найдётся, конечно могут попробовать.

Хотя бы настоящих 15-к сколько найдётся? Хоть одну найдут за год в этом 3-м приложении?

Между тем у меня в последнем поиске количество найденных цепочек перевалило за 100 млн. Стату пока не публикую — интересно ли это хоть кому-нибудь кроме меня...

[DemISdx]

За 15-ки - каюсь.

(Оффтоп)

Когда вылетаю из темы на некоторое время, легко забывается...

Не в рекламе дело, просто прошел месяц и решил глянуть, вдруг чего интересное смогли сделать.
Но не судьба, все по прежнему...

А по срокам - тут как повезет, могут что-то и найти единичное,
но крайне сомневаюсь, что в количестве "100 млн" даже и за год.

Не совсем понял как у Вас получилось "100 млн" чистых за месяц.
Это 3 333 333 в сутки.

У меня чистых пятнашек в час получалось около 10-тка (подзабыл).
Т.е. примерно 10 * 24 * 30 = 7200 в месяц

[Yadryara]

DemISdx в сообщении #1682626 писал(а):

Не совсем понял как у Вас получилось "100 млн" чистых за месяц.
Это 3 333 333 в сутки.

Не, ну Вы напрасно на 30 разделили. Поменьше 3 млн в сутки. Я 100 миллионов
достиг почти за 35 дней.

DemISdx в сообщении #1682626 писал(а):

У меня чистых пятнашек в час получалось около 10-тка (подзабыл).Т.е. примерно 10 * 24 * 30 = 7200 в месяц

Ну мы о небось о разном говорим. Предъявите пару штук, станет понятно о чём Вы говорите.

Ибо этих настоящих пятнашек мы втроём в первом периоде, судя по стате Дмитрия, нашли всего 33 штуки.

А сейчас я находил чуть больше чем по 3 в сутки. Именно потому что прога заточена специально именно под поиск центральных 15-к.

Ну вот они эти 100211639 цепочек:

valids/len  Найдено
            штук            k1         k2         k3

     0/0    45260
     1/1    452434         100
     2/2    2121324        213       2132
     3/3    6181760        343       1609       1325
     4/4    12449025       497       1447       1112
     5/5    18417610       676       1361       1063
     6/6    20670544       891       1318       1033
     7/7    17895343      1155       1296       1017
     8/8    12070588      1483       1284       1010
     9/9    6335915       1905       1285        999
    10/10   2571231       2464       1293        993
    11/11   791404        3249       1318        981
    12/12   178295        4439       1366        965
    13/13   28049         6357       1432        954
    14/14   2745         10218       1608        891
    15/15   112          24509       2399        670

Они здесь разбиты на 16 частей, от 0/0 до 15/15. Самые редкие — это как раз те самые чистые 15-ки, всего 112 штук. Самые частые — цепочки 6/6, их всего 20 млн 670 тысяч 544 штуки.

[DemISdx]

Наверное о разном.
Плаваю в терминологии.
Мной имелись ввиду найденные значения такого вида:

13604788516843899946130381: [   0,   6,  12,  30, +42,  72,  90,  96, 120, 126, 132,+156,+162, 180, 210, 222, 240, 246,+252], len=15, valids=15
9172636305290840309617511: [  +0,   6,  12,  30,  42, +72,  90,  96, 120, 126, 132, 156, 162,+180, 210, 222, 240, 246,+252], len=15, valids=15
10267182983294062987781441: [   0,   6,  12,  30,  42,  72,  90,  96, 120, 126,+132, 156, 162, 180, 210, 222,+240,+246,+252], len=15, valids=15
15328538788447818355381781: [   0,   6, +12,  30, +42,  72,  90, +96, 120, 126, 132, 156, 162, 180,+210, 222, 240, 246, 252], len=15, valids=15
7932434291647461535813541: [   0,   6,  12, +30, +42,  72,  90,  96, 120, 126, 132, 156, 162,+180, 210,+222, 240, 246, 252], len=15, valids=15

[Yadryara]

Это же приближения к 19-252, а вовсе не настоящие 15-шки. У настоящих диаметр 228 и всего 15 позиций в паттерне. А здесь 19, а не 15. Значит 4 числа чужие, то бишь составные.

Например

DemISdx в сообщении #1682671 писал(а):

13604788516843899946130381: [ 0, 6, 12, 30, +42, 72, 90, 96, 120, 126, 132,+156,+162, 180, 210, 222, 240, 246,+252], len=15, valids=15

Здесь ведь как раз плюсиком отмечены эти 4 составных числа: они стоят на позициях с гэпами 42, 156, 162 и 252.

Вот если бы все 4 стояли на краях, то есть плюсики были бы +0, +6, +246, +252, то это как раз и была бы центральная 15-ка с диаметром $240-12=228$