Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681496 писал(а):

Так там же остальные строки считаются по оптимизированной формуле, где вместо формулы Римана используется прямое вычисление j(n) через primepi(n)!

Да, это прекрасно видно. Это Ваша оптимизация, не моя. Но Вы ни слова не сказали, что она не для всех чисел работает. Или сказали, но я не заметил?

Dmitriy40 в сообщении #1681496 писал(а):

Кстати первые нули дзета-функции Римана можно получить прямо в PARI командой zm=lfunzeros(1,1e3)

Спасибо, в курсе. Можно и в диапазоне, не только с первого.

[Dmitriy40]

Да, для степеней простых моя оптимизация некорректна. Понадеялся что такие n нас не интересуют.

[Dmitriy40]

Для корректной оптимизации надо из primepi(yy)/k вычесть if(floor(yy)^k==y&&ispseudoprime(floor(yy)),1/2/k,0).
Программу на предыдущей странице поправил.

[Dmitriy40]

Как известно программа расчёта констант для HL1, и в частности даже одной главной, не может посчитать паттерны большого диаметра - не хватает памяти под массивы, да и циклы внутри сложные. А иногда хочется, для диаметров в миллионы, хотя бы одну константу (которой и достаточно для непоследовательных простых).
Вчера наконец дошли руки разобраться и упростить код для конкретно этого случая, когда считается лишь одна главная константа, вот что получилось:

v=[0..20]*9699690;\\AP21
C=2^#v/2.0*prodeulerrat((p^#v-#v*p^#v/p)/(p-1)^#v, 1, nextprime(#v+1)); forprime(p=3,v[#v]/2, C/=if(p>#v, p-#v , p*(1-1.0/p)^#v); C*=p-#Set(-v%p););
print("v=",v); print("C=",C);

Ни массивы, ни длиннющие списки допустимых остатков вообще не понадобились!
Есть мнение что ровно так же можно считать и остальные vC[], просто меняя паттерн. Пока не проверял.
Мнение правильное, только не сильно полезное: программа сводится к предыдущей, улучшается лишь вычисление CC[] для больших диаметров паттерна, для констант с большими номерами это несущественно.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681237 писал(а):

заметил интересную формулу:

$$\operatorname{Li}_2(x)=\operatorname{Li}(x)+\frac{2}{\ln 2}-\frac{x}{\ln x}$$

Из Альфы можно выудить несколько иную:

$$\int\limits_{a}^{x}\frac1{\ln^2t} dt = \operatorname{Li}(x) + \frac{a}{\ln(a)} - \frac{x}{\ln x} - \operatorname{Li}(a)$$

Специально обозначения сблизил. Интеграл от $a$ до $b$ было бы естественнее.

Для куба более сложная.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1681731 писал(а):

Из Альфы можно выудить несколько иную:

$$\int\limits_{a}^{x}\frac1{\ln^2t} dt = \operatorname{Li}(x) + \frac{a}{\ln(a)} - \frac{x}{\ln x} - \operatorname{Li}(a)$$

Она отличается ровно на константу $Li(a=2)=0$ - т.е. ровно та же.

Yadryara в сообщении #1681731 писал(а):

Для куба более сложная.

О, если посмотреть на следующие степени, то можно вывести и чуть более общую для $k=2\ldots4$:

$$\int\limits_a^b\frac{1}{\ln^k t}=\frac{1}{(k-1)!}\left(Li(b)-Li(a) - b\frac{(k-2)!+\sum\limits_{i=1}^{k-2}\ln^i b}{\ln^{k-1} b} + a\frac{(k-2)!+\sum\limits_{i=1}^{k-2}\ln^i a}{\ln^{k-1} a}\right)$$

Впрочем она нарушается уже для $Li_5()$, для неё в сумме первый логарифм (который в первой степени) будет уже от квадрата аргумента.
А начиная с $Li_6()$ в числителе начинается бардак ...
$Li_{19}()$ же посчитал, но расписать уже не смог.

Вообще конечно интересно.
Правда возникают вопросы, уже математические, например доказано ли превышение $k C_k Li_k()$ над $\pi_k()$ для $k>1$ хотя бы для интересующих нас интервалов; или какова вообще точность этой аппроксимации $\pi_k(x)\approx k C_k Li_k(x)$; плюс для получения именно чистых кортежей нам надо считать не только $Li_{19}()$, но и все $Li_{19\ldots49}()$ вместе с соответствующими константами $C_k$ (хотя конечно загрязнения в 12-13 уже достаточно для оценки 19-252).

-- 11.04.2025, 12:17 --

Про точность аппроксимации можно надеяться на примерно $\sqrt{x}$, во всяком случае и для $\pi(x)$ и для $\pi_2(x)$ она примерно такова. Вот только в районе $1$, что нас и интересует для длинных паттернов, это сильно нивелирует ценность формулы ... Ведь $1\pm1$ нас не устроит, если хотим чтобы $n-\sqrt{n}>1$ для гарантированного нахождения кортежа, то надо чтобы $n>(3+\sqrt{5})/2=2.618$, т.е. почти три ожидаемых кортежа.
В принципе это тоже интересный результат, если научиться и выражать $Li_k()$ через $Li()$ и считать все нужные $C_k$.

-- 11.04.2025, 12:27 --

Хм, а так $Li_{19}(x)$ выдал ... И $Li_{29}(x)$ тоже ... Можно не париться с выводом, а просто вбить их все нужные и пользоваться.

-- 11.04.2025, 13:01 --

Разложение неопределённого интеграла:

$$\int \frac{x}{\ln^k x}dx = \frac{2^{k-1}}{(k-1)!} \left( Li(x^2) - x^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{(i-1)!}{2^i \ln^i x}\right)$$

Сверил с вольфрамальфа для $k=2,3,4,5,19,20,21$.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681750 писал(а):

Она отличается ровно на константу $Li(a=2)=0$ - т.е. ровно та же.

$Li(2)$ всё-таки не ноль, а $1.04516...$

Yadryara в сообщении #1681442 писал(а):

Сравним:

808675901493606.3
808675901493607.7

Почти совпали.

Здесь правда разность побольше — примерно $1.38$

Остальное читал, но пока не комментирую.

Как быть с дзета-функцией — непонятно.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1681787 писал(а):

$Li(2)$ всё-таки не ноль, а $1.04516...$

Во первых не суть (погрешность аппроксимации всё равно намного выше), во вторых это $li(2)=1.045...$, а вот $Li(2)=0$. И какая из них в формулах я не уверен, скорее $li()$.
И кстати кажется я взял не тот интеграл, откуда-то $x$ в числителе появилась и соответственно $x^2$ в правой части. Да, степень надо понизить до первой и коэффициенты тоже будут другими.

-- 11.04.2025, 15:09 --

Вот такими:

$$\int \frac{1}{\ln^k x}dx = \frac{1}{(k-1)!} \left( li(x) - x \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{(i-1)!}{\ln^i x}\right)$$

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1681147 писал(а):

                 Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношение
                  в группе      цепочек        на юнит             между
                                 тысячи                         группами
1-й период 61# G19   100 %           98           2242            1.1112
1-й период 61# G20   100 %         2645           2025            1.1157
1-й период 61# G21   100 %        23366           1815            
1-й период 61# G22    25 %        22648           1598            1.1358
...
1-й период 61# G28   100 %        11231            813            1.1216
1-й период 61# G29   100 %         1566            731            1.1204
1-й период 61# G30   100 %           73            656            1.1198

Как видим кэф действительно растёт к центру — 1.1358 явно больше всех остальных в этом же столбце.

И лично мне это не очень нравится, поскольку сглаживает преимущество самых чистых групп над более грязными.

После обсчёта 52% от группы снизился до 1.1190. Если рост к центру и есть, то он крошечный.

Текущая статистика по кортежам 15-228-2:

                 0-53#   0-59#   0-61#
Посчитано          35%      8%      8%
Прогноз по HL1       2      49    1133
Найдено              2       5     111

Из этих 111-ти 103 кортежа найдено мной.

72 из 103-х при желании можно назвать хромоногими 17-ками.

А сколько из этих 103-х настоящих симметричных 17-к? Ни одной.

Dmitriy40 в сообщении #1681790 писал(а):

это $li(2)=1.045...$, а вот $Li(2)=0$.

Я вслед за Альфой их не различаю. И Li, и li считаются от нуля.

Dmitriy40 в сообщении #1681790 писал(а):

И какая из них в формулах я не уверен

Смотря в каких формулах. Для формул Альфы уверен — от нуля.